Регулярность разбиения

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без ссылок могут быть оспорены и удалены. Найти источники:  "Partition regularity" – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В комбинаторике , разделе математики , регулярность разбиения является одним из понятий величины для совокупности множеств.

При наличии множества набор подмножеств называется регулярным по разделению , если каждое множество A в наборе обладает тем свойством, что независимо от того, как A разбито на конечное число подмножеств, по крайней мере одно из подмножеств также будет принадлежать набору. То есть для любого и любого конечного разбиения существует i  ≤  n такое, что принадлежит . Теорию Рамсея иногда характеризуют как изучение того, какие наборы являются регулярными по разделению.${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {S} \subset {\mathcal {P}}(X)}$${\displaystyle A\in \mathbb {S} }$${\displaystyle A=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{n}}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle \mathbb {S} }$${\displaystyle \mathbb {S} }$

• Типичным примером является совокупность всех бесконечных подмножеств бесконечного множества X. В этом случае регулярность разбиения утверждает, что каждое конечное разбиение бесконечного множества имеет бесконечную ячейку (т. е. принцип бесконечного ящика ).
• Множества с положительной верхней плотностью в : верхняя плотность определяется как ( теорема Семереди )${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\overline {d}}(A)}$${\displaystyle A\subset \mathbb {N} }$${\displaystyle {\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {|\{1,2,\ldots ,n\}\cap A|}{n}}.}$
• Для любого ультрафильтра на множестве является регулярным разбиение: для любого , если , то ровно один .${\displaystyle \mathbb {U} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {U} }$${\displaystyle A\in \mathbb {U} }$${\displaystyle A=C_{1}\sqcup \cdots \sqcup C_{n}}$${\displaystyle C_{i}\in \mathbb {U} }$
• Множества рекуррентности: множество R целых чисел называется множеством рекуррентности , если для любого сохраняющего меру преобразования вероятностного пространства (Ω, β , μ ) и положительной меры существует ненулевое число такое, что .${\displaystyle Т}$${\displaystyle A\in \beta }$${\displaystyle n\in R}$${\displaystyle \mu (A\cap T^{n}A)>0}$
• Назовем подмножество натуральных чисел ap-богатым , если оно содержит произвольно длинные арифметические прогрессии . Тогда совокупность ap-богатых подмножеств является регулярной по разбиению ( Van der Waerden , 1927).
• Пусть будет множеством всех n -подмножеств . Пусть . Для каждого n , является регулярным разбиением. ( Рэмси , 1930).${\displaystyle [A]^{n}}$${\displaystyle A\subset \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}=\bigcup _{A\subset \mathbb {N} }^{}[A]^{n}}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$
• Для каждого бесконечного кардинала набор стационарных множеств является регулярно разделяемым. Верно и другое: если является стационарным и для некоторого , то некоторое является стационарным.${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle S}$${\displaystyle S=\bigcup _{\alpha <\lambda }S_{\alpha }}$${\displaystyle \lambda <\kappa }$${\displaystyle S_{\alpha }}$
• Коллекция -множеств: является -множеством, если содержит набор разностей для некоторой последовательности .${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle A\subset \mathbb {N} }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \{s_{m}-s_{n}:m,n\in \mathbb {N} ,\,n<m\}}$ ${\displaystyle \langle s_{n}\rangle _{n=1}^{\infty }}$
• Множество барьеров на : назовем совокупность конечных подмножеств барьера , если:${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {B} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$
  • ${\displaystyle \forall X,Y\in \mathbb {B} ,X\not \subset Y}$и
  • для всех бесконечных существует такое , что элементы X являются наименьшими элементами I; т.е. и .${\displaystyle I\subset \cup \mathbb {B} }$${\displaystyle X\in \mathbb {B} }$ ${\displaystyle X\subset I}$${\displaystyle \forall i\in I\setminus X,\forall x\in X,x<i}$

Это обобщает теорему Рамсея , поскольку каждый из них является барьером. ( Нэш-Вильямс , 1965) ^[1]${\displaystyle [A]^{n}}$

• Конечные произведения бесконечных деревьев ( Хальперн–Лойхли , 1966)
• Кусочно-синдетические множества (Браун, 1968) ^[2]
• Назовите подмножество натуральных чисел ip-богатым , если оно содержит произвольно большие конечные множества вместе со всеми их конечными суммами. Тогда набор ip-богатых подмножеств является разделяемым регулярно ( Джон Фолкман , Ричард Радо и Дж. Сандерс, 1968). ^[3]
• ( m , p , c )-множества ^{[ необходимо разъяснение ] [4]}
• IP-наборы ^{[5] [6]}
• МТ ^k наборов для каждого k , т.е. k -кортежи конечных сумм (Милликен–Тейлор, 1975)
• Центральные множества; т.е. члены любого минимального идемпотента в , компактификация Стоуна–Чеха целых чисел. (Фюрстенберг, 1981, см. также Хиндман, Штраус, 1998)${\displaystyle \beta \mathbb {N} }$

Диофантово уравнение называется регулярным по разделению , если совокупность всех бесконечных подмножеств, содержащих решение, является регулярным по разделению. Теорема Радо точно характеризует, какие системы линейных диофантовых уравнений являются регулярными по разделению. В последнее время был достигнут значительный прогресс в классификации нелинейных диофантовых уравнений. ^{[7] [8]}${\displaystyle P(\mathbf {x} )=0}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {x} =\mathbf {0} }$

• Виталий Бергельсон , Н. Хиндман Регулярные структуры разбиения, содержащиеся в больших множествах, широко распространены J. Comb. Theory A 93 (2001), 18–36.