Параметрическая производная

Эта статья включает список ссылок , связанных материалов или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Май 2024 ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение )

В исчислении параметрическая производная — это производная зависимой переменной по другой зависимой переменной, которая берется, когда обе переменные зависят от независимой третьей переменной, обычно рассматриваемой как «время» (то есть, когда зависимые переменные — это x и y, и они заданы параметрическими уравнениями относительно t ).

Пусть x ( t ) и y ( t ) будут координатами точек кривой, выраженными как функции переменной t : Первая производная, подразумеваемая этими параметрическими уравнениями, есть где обозначение обозначает производную x по t . Это можно вывести с помощью цепного правила для производных: и разделив обе части на , чтобы получить уравнение выше.$${\displaystyle y=y(t),\quad x=x(t).}$$$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy/dt}{dx/dt}}={\frac {{\dot {y}}(t)}{{\dot {x}}(t)}},}$$${\displaystyle {\точка {x}}(т)}$$${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}={\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}}$$${\textstyle {\frac {dx}{dt}}}$

В общем случае все эти производные — dy / dt , dx / dt и dy / dx — сами являются функциями t и поэтому могут быть записаны более явно, например, как .${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}(t)}$

Вторая производная, подразумеваемая параметрическим уравнением, определяется с помощью правила частного для производных. Последний результат полезен при вычислении кривизны .$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}&={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)\\[1ex]&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)\cdot {\frac {dt}{dx}}\\[1ex]&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}\right){\frac {1}{\dot {x}}}\\[1ex]&={\frac {{\dot {x}}{\ddot {y}}-{\dot {y}}{\ddot {x}}}{{\dot {x}}^{3}}}\end{выровнено}}}$$

Например, рассмотрим набор функций , где: Дифференцирование обеих функций по t приводит к функциям Подставляя их в формулу для параметрической производной, получаем , где и понимаются как функции t .$${\displaystyle {\begin{align}x(t)&=4t^{2},&y(t)&=3t.\end{align}}}$$$${\displaystyle {\begin{align}{\frac {dx}{dt}}&=8t,&{\frac {dy}{dt}}&=3.\end{align}}}$$$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}={\frac {3}{8t}},}$$${\displaystyle {\точка {x}}}$${\displaystyle {\точка {y}}}$

• Обобщения производной