Параллелепипед

Параллелепипед
Тип	Призма Плезиоэдр
Лица	6 параллелограммов
Края	12
Вершины	8
Группа симметрии	C i , [2 + ,2 + ], (×), порядок 2
Характеристики	выпуклый, зоноэдр

В геометрии параллелепипед — трёхмерная фигура, образованная шестью параллелограммами ( иногда в этом значении употребляется также термин ромбоид ). По аналогии, он относится к параллелограмму так же, как куб относится к квадрату . ^[a]

Три эквивалентных определения параллелепипеда :

• шестигранник с тремя парами параллельных граней,
• многогранник с шестью гранями ( гексаэдр ), каждая из которых является параллелограммом, и
• призма , основанием которой является параллелограмм .

Прямоугольный кубоид (шесть прямоугольных граней), куб (шесть квадратных граней) и ромбоэдр (шесть ромбовидных граней) являются частными случаями параллелепипеда.

«Параллепипед» сейчас обычно произносится / ˌ p ær ə ˌ l ɛ l ɪ ˈ p ɪ p ɪ d / или / ˌ p ær ə ˌ l ɛ l ɪ ˈ p aɪ p ɪ d / ; ^[1] традиционно это было / ˌ p ær ə l ɛ l ˈ ɛ p ɪ p ɛ d / PARR -ə-lel- EP -ih-ped ^[2] из-за его этимологии в греческом языке παραλληλεπίπεδον параллелепипед (с коротким -i-), тело, «имеющее параллельные плоскости».

Параллелепипеды являются подклассом призматоидов .

Любую из трех пар параллельных граней можно рассматривать как базовые плоскости призмы. Параллелепипед имеет три набора по четыре параллельных ребра; ребра внутри каждого набора имеют одинаковую длину.

Параллелепипеды получаются в результате линейных преобразований куба (для невырожденных случаев: биективные линейные преобразования) .

Поскольку каждая грань имеет точечную симметрию , параллелепипед является зоноэдром . Также весь параллелепипед имеет точечную симметрию C _i (см. также триклинный ). Каждая грань, видимая снаружи, является зеркальным отражением противоположной грани. Грани в общем случае хиральны , но параллелепипед — нет.

Заполняющая пространство мозаика возможна с помощью конгруэнтных копий любого параллелепипеда.

Параллелепипед — это призма с параллелограммом в качестве основания. Следовательно, объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту (см. рисунок). С ${\displaystyle V}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle ч}$

• ${\displaystyle B=\left|\mathbf {a} \right|\cdot \left|\mathbf {b} \right|\cdot \sin \gamma =\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|}$(где — угол между векторами и ), а${\displaystyle \гамма}$${\displaystyle \mathbf {а} }$${\displaystyle \mathbf {б} }$
• ${\displaystyle h=\left|\mathbf {c} \right|\cdot \left|\cos \theta \right|}$(где - угол между вектором и нормалью к основанию), получаем:${\displaystyle \тета}$${\displaystyle \mathbf {c} }$

$${\displaystyle V=B\cdot h=\left(\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|\sin \gamma \right)\cdot \left|\mathbf {c} \right|\left|\cos \theta \right|=\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|\left|\mathbf {c} \right|\left|\cos \theta \right|=\left|\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} \right|.}$$Смешанное произведение трех векторов называется тройным произведением . Его можно описать определителем . Следовательно, для объема:${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})^{\mathsf {T}},~\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})^{\mathsf {T}},~\mathbf {c} =(c_{1},c_{2},c_{3})^{\mathsf {T}},}$

$${\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|.}$$

В1

Другой способ доказательства ( V1 ) — использовать скалярную составляющую в направлении вектора : Результат следующий.${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {c} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}V=\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|\left|\operatorname {scal} _{\mathbf {a} \times \mathbf {b} }\mathbf {c} \right|=\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|{\frac {\left|\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} \right|}{\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|}}=\left|\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} \right|.\end{aligned}}}$$

Альтернативное представление объема использует только геометрические свойства (углы и длины ребер):

$${\displaystyle V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )}},}$$

В2

где , , , и — длины ребер. ${\displaystyle \alpha =\angle (\mathbf {b} ,\mathbf {c} )}$${\displaystyle \beta =\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {c} )}$${\displaystyle \gamma =\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$${\displaystyle a,b,c}$

Соответствующий тетраэдр

Объем любого тетраэдра , имеющего три общих ребра параллелепипеда, равен одной шестой объема этого параллелепипеда (см. доказательство ).

Площадь поверхности параллелепипеда равна сумме площадей ограничивающих его параллелограммов: (Обозначения см. в предыдущем разделе.)$${\displaystyle {\begin{aligned}A&=2\cdot \left(|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |+|\mathbf {a} \times \mathbf {c} |+|\mathbf {b} \times \mathbf {c} |\right)\\&=2\left(ab\sin \gamma +bc\sin \alpha +ca\sin \beta \right).\end{aligned}}}$$

Соотношения подгруппы октаэдрической симметрии с центром инверсии

Частные случаи параллелепипеда

Форма	Куб	Квадратный кубоид	Треугольный трапецоэдр	Прямоугольный кубоид	Прямая ромбическая призма	Прямая параллелограммная призма	Наклонная ромбическая призма
Ограничения	${\displaystyle a=b=c}$ ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =90^{\circ }}$	${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =90^{\circ }}$	${\displaystyle a=b=c}$ ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma }$	${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =90^{\circ }}$	${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle \alpha =\beta =90^{\circ }}$	${\displaystyle \alpha =\beta =90^{\circ }}$	${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle \alpha =\beta }$
Симметрия	О , заказ 48	D 4h заказ 16	D 3-й порядок 12	D 2h заказ 8		C 2h порядок 4
Изображение
Лица	6 квадратов	2 квадрата, 4 прямоугольника	6 ромбов	6 прямоугольников	4 прямоугольника, 2 ромба	4 прямоугольника, 2 параллелограмма	2 ромба, 4 параллелограмма

• Параллелепипед с симметрией О _h известен как куб , имеющий шесть конгруэнтных квадратных граней.
• Параллелепипед с симметрией D4h _{известен} как квадратный кубоид , имеющий две квадратные грани и четыре конгруэнтные прямоугольные грани.
• Параллелепипед с симметрией D3d _{известен} как тригональный трапецоэдр , имеющий шесть конгруэнтных ромбических граней (также называемый равногранным ромбоэдром ).
• Для параллелепипедов с симметрией D _2h возможны два случая:
  • Прямоугольный кубоид : имеет шесть прямоугольных граней (также называется прямоугольным параллелепипедом , а иногда просто кубоидом ).
  • Прямая ромбическая призма : имеет две ромбические грани и четыре конгруэнтные прямоугольные грани.

    Примечание: полностью ромбический частный случай с двумя ромбическими гранями и четырьмя конгруэнтными квадратными гранями имеет то же название и ту же группу симметрии (D2h _, порядок 8).${\displaystyle (a=b=c)}$

• Для параллелепипедов с симметрией C _2h возможны два случая:
  • Прямая параллелограммная призма : имеет четыре прямоугольные грани и две параллелограммные грани.
  • Наклонная ромбическая призма : имеет две ромбические грани, а из остальных граней две смежные равны, а две другие также равны (две пары являются зеркальным отражением друг друга).

Идеальный параллелепипед — это параллелепипед с рёбрами, диагоналями граней и пространственными диагоналями целой длины . В 2009 году было показано, что существуют десятки идеальных параллелепипедов, ^[3] отвечая на открытый вопрос Ричарда Гая . Один пример имеет рёбра 271, 106 и 103, малые диагонали граней 101, 266 и 255, большие диагонали граней 183, 312 и 323 и пространственные диагонали 374, 300, 278 и 272.

Известны некоторые идеальные параллелепипеды с двумя прямоугольными гранями. Но неизвестно, существуют ли такие, у которых все грани прямоугольные; такой случай назывался бы идеальным кубоидом .

Коксетер назвал обобщение параллелепипеда в высших измерениях параллелотопом . В современной литературе термин параллелепипед часто используется и в высших (или произвольных конечных) измерениях. ^[4]

В частности, в n -мерном пространстве он называется n -мерным параллелоэдром или просто n -параллелоэдром (или n -параллелепипедом). Таким образом, параллелограмм является 2-параллелоэдром, а параллелепипед - 3-параллелоэдром.

Диагонали n -параллелоэдра пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Инверсия в этой точке оставляет n -параллелоэдр неизменным. См . также Неподвижные точки групп изометрий в евклидовом пространстве .

Ребра, исходящие из одной вершины k -параллелоэдра, образуют k -фрейм векторного пространства, и параллелоэдр может быть восстановлен из этих векторов, взяв линейные комбинации векторов с весами от 0 до 1.${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})}$

Объем n -параллелоэдра , вложенного в , можно вычислить с помощью определителя Грама . В качестве альтернативы объем является нормой внешнего произведения векторов:${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle m\geq n}$$${\displaystyle V=\left\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\right\|.}$$

Если m = n , то это равно абсолютному значению определителя матрицы, образованной компонентами n векторов.

Формула для вычисления объема n -параллелоэдра P в , n + 1 вершинами которого являются , имеет вид : где — вектор-строка, образованный конкатенацией компонентов и 1. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{n}}$$${\displaystyle \mathrm {Vol} (P)=\left|\det \left(\left[V_{0}\ 1\right]^{\mathsf {T}},\left[V_{1}\ 1\right]^{\mathsf {T}},\ldots ,\left[V_{n}\ 1\right]^{\mathsf {T}}\right)\right|,}$$${\displaystyle [V_{i}\ 1]}$${\displaystyle V_{i}}$

Аналогично, объем любого n - симплекса , имеющего n общих сходящихся ребер параллелоэдра, равен одному 1/ n ! объема этого параллелоэдра.

Термин параллелепипед происходит от древнегреческого παραλληλεπίπεδον ( parallēlepípedon , «тело с параллельными плоскими поверхностями»), от parallēl («параллельный») + epipedon («плоская поверхность»), от epi- («на») + pedon («земля»). Таким образом, грани параллелепипеда плоские, а противоположные грани параллельны. ^{[5] [6]}

В английском языке термин parallelipipedon засвидетельствован в переводе « Начал» Евклида 1570 года Генри Биллингсли . Написание parallelepipedum используется в издании 1644 года «Cursus mathematicus» Пьера Эригона . В 1663 году современный параллелепипед засвидетельствован в «Chorea gigantum» Уолтера Чарльтона . ^[5]

Словарь Чарльза Хаттона (1795) показывает параллелопипед и параллелопипедон , показывая влияние объединяющей формы parallelo- , как если бы второй элемент был pipedon, а не epipedon . Ной Вебстер (1806) включает написание parallelopiped . Издание Оксфордского английского словаря 1989 года явно описывает parallelopiped (и parallelipiped ) как неправильные формы, но они перечислены без комментариев в издании 2004 года, и даны только произношения с ударением на пятом слоге pi ( /paɪ/ ).

• Списки фигур

• Коксетер, HSM Regular Polytopes , 3-е изд. Нью-Йорк: Довер, стр. 122, 1973. (Он определяет параллелотоп как обобщение параллелограмма и параллелепипеда в n-мерном пространстве.)

Найдите значение слова «параллелепипед» в Викисловаре, бесплатном словаре.

На Викискладе есть медиафайлы по теме «Параллелепипеды» .

• Вайсштейн, Эрик В. «Параллелепипед». MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Параллелотоп». MathWorld .
• Бумажная модель параллелепипеда (развертка)