Формула приближения синуса Бхаскары I

В математике формула приближения синуса Бхаскары I представляет собой рациональное выражение с одной переменной для вычисления приближенных значений тригонометрических синусов, открытых Бхаскарой I (ок. 600 – ок. 680), индийским математиком седьмого века . [1] Эта формула приведена в его трактате под названием Махабхаскария . Неизвестно, как Бхаскара I пришел к своей формуле приближения. Однако несколько историков математики выдвинули различные гипотезы относительно метода, который Бхаскара мог использовать для получения своей формулы. Формула элегантна и проста, и она позволяет вычислять достаточно точные значения тригонометрических синусов без использования геометрии. [2]

Формула приближения

Формула дана в стихах 17–19 главы VII Махабхаскарии Бхаскары I. Перевод стихов приведен ниже: [3]

(Теперь) я кратко изложу правило (для нахождения бхуджапхалы и котипхалы и т. д.), не используя разности синусов 225 и т. д. Вычтите градусы бхуджи ( или коти ) из градусов полукруга (то есть 180 градусов). Затем умножьте остаток на градусы бхуджи или коти и запишите результат в двух местах. В одном месте вычтите результат из 40500. На одну четвертую остатка (полученного таким образом) разделите результат в другом месте, умноженный на антьяпхала ( то есть эпициклический радиус). Таким образом получается вся бахупхала (или котипхала ) для солнца, луны или звезд-планет. Таким образом также получаются прямые и обратные синусы.

(Ссылка «Разность синусов 225» является намеком на таблицу синусов Арьябхаты .)

В современных математических обозначениях для угла x в градусах эта формула дает [3]

грех ⁡ х ∘ ≈ 4 х ( 180 − х ) 40500 − х ( 180 − х ) . {\displaystyle \sin x^{\circ }\approx {\frac {4x(180-x)}{40500-x(180-x)}}.}

Эквивалентные формы формулы

Формулу приближения синуса Бхаскары I можно выразить с использованием радианной меры углов следующим образом: [1]

грех ⁡ х ≈ 16 х ( π − х ) 5 π 2 − 4 х ( π − х ) . {\displaystyle \sin x\approx {\frac {16x(\pi -x)}{5\pi ^{2}-4x(\pi -x)}}.}

Для положительного целого числа n это принимает следующий вид: [4]

грех ⁡ π н ≈ 16 ( н − 1 ) 5 н 2 − 4 н + 4 . {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{n}}\approx {\frac {16(n-1)}{5n^{2}-4n+4}}.}

Формула приобретает еще более простую форму, если выразить ее через косинус, а не через синус. Используя радианную меру для углов от до и подставляя , получаем − π 2 {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}} π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} х = 1 2 π + у {\displaystyle x={\tfrac {1}{2}}\pi +y}

потому что ⁡ у ≈ π 2 − 4 у 2 π 2 + у 2 . {\displaystyle \cos y\approx {\frac {\pi ^{2}-4y^{2}}{\pi ^{2}+y^{2}}}.}

Чтобы выразить предыдущую формулу с константой, можно использовать τ = 2 π , {\displaystyle \тау =2\пи,}

потому что ⁡ у ≈ 1 − 20 у 2 4 у 2 + τ 2 . {\displaystyle \cos y\approx 1-{\frac {20y^{2}}{4y^{2}+\tau ^{2}}}.}

Эквивалентные формы формулы Бхаскары I были даны почти всеми последующими астрономами и математиками Индии. Например, Брахма-Спхута-Сиддханта (стихи 23–24, глава XIV) [3] Брахмагупты (598–668  гг. н. э. ) дает формулу в следующем виде:

Р грех ⁡ х ∘ ≈ Р х ( 180 − х ) 10125 − 1 4 х ( 180 − х ) . {\displaystyle R\sin x^{\circ }\approx {\frac {Rx(180-x)}{10125-{\frac {1}{4}}x(180-x)}}.}

Кроме того, Бхаскара II (1114–1185 гг. н.э. ) привел эту формулу в своей «Лилавати» (Кшетра-вьявахара, Сока № 48) в следующей форме:

2 R sin ⁡ x ∘ ≈ 4 × 2 R × 2 R x × ( 360 R − 2 R x ) 1 4 × 5 × ( 360 R ) 2 − 2 R x × ( 360 R − 2 R x ) = 5760 R x − 32 R x 2 162000 − 720 x + 4 x 2 {\displaystyle 2R\sin x^{\circ }\approx {\frac {4\times 2R\times 2Rx\times (360R-2Rx)}{{\frac {1}{4}}\times 5\times (360R)^{2}-2Rx\times (360R-2Rx)}}={\frac {5760Rx-32Rx^{2}}{162000-720x+4x^{2}}}}

Точность формулы

Рисунок иллюстрирует уровень точности формулы аппроксимации синуса Бхаскары I. Смещенные кривые 4 x (180 − x )/(40500 − x (180 − x )) − 0,2 и sin  x + 0,2 выглядят как точные копии кривой sin  x .
График погрешности в формуле приближения синуса Бхаскары I
График относительной погрешности в формуле аппроксимации синуса Бхаскары I

Формула применима для значений x ° в диапазоне от 0° до 180°. Формула исключительно точна в этом диапазоне. Графики sin  x и формулы приближения визуально неразличимы и почти идентичны. На одном из прилагаемых рисунков представлен график функции ошибок, а именно, функции

sin ⁡ x ∘ ≈ 4 x ( 180 − x ) 40500 − x ( 180 − x ) {\displaystyle \sin x^{\circ }\approx {\frac {4x(180-x)}{40500-x(180-x)}}}

при использовании формулы. Он показывает, что максимальная абсолютная ошибка при использовании формулы составляет около 0,0016. Из графика процентного значения абсолютной ошибки ясно, что максимальная относительная ошибка составляет менее 1,8%. Таким образом, формула приближения дает достаточно точные значения синусов для большинства практических целей. Однако ее было недостаточно для более точных вычислительных требований астрономии. Поиск более точных формул индийскими астрономами в конечном итоге привел к открытию Мадхавой из Сангамаграма (ок. 1350 – ок. 1425), основателем керальской школы астрономии и математики , разложений в степенные ряды sin  x и cos  x.

Вывод формулы

Бхаскара не указал ни одного метода, с помощью которого он пришел к своей формуле. Историки размышляли о различных возможностях. Пока не получено никаких окончательных ответов. Помимо своей исторической важности как главного примера математических достижений древнеиндийских астрономов, формула имеет значение и с современной точки зрения. Математики пытались вывести правило, используя современные концепции и инструменты. Было предложено около полудюжины методов, каждый из которых основан на отдельном наборе предпосылок. [2] [3] Большинство этих выводов используют только элементарные концепции.

Вывод на основе элементарной геометрии

Пусть окружность круга измеряется в градусах , а радиус круга R также измеряется в градусах . Выбрав фиксированный диаметр AB и произвольную точку P на окружности и опустив перпендикуляр PM на AB , мы можем вычислить площадь треугольника APB двумя способами. Приравнивая два выражения для площади, получаем ( 1/2 ) AB × PM = (1/2) AP × BP . Это дает

1 P M = A B A P × B P . {\displaystyle {\frac {1}{PM}}={\frac {AB}{AP\times BP}}.}

Пусть x будет длиной дуги AP , длина дуги BP равна 180 − x . Эти дуги намного больше соответствующих хорд. Следовательно, получаем

1 P M > 2 R x ( 180 − x ) . {\displaystyle {\frac {1}{PM}}>{\frac {2R}{x(180-x)}}.}

Теперь ищутся две константы α и β такие, что

1 P M = α 2 R x ( 180 − x ) + β . {\displaystyle {\frac {1}{PM}}=\alpha {\frac {2R}{x(180-x)}}+\beta .}

Действительно, получить такие константы невозможно. Однако можно выбрать значения для α и β так, чтобы приведенное выше выражение было справедливо для двух выбранных значений длины дуги x . Выбрав 30° и 90° в качестве этих значений и решив полученные уравнения, можно немедленно получить формулу приближения синуса Бхаскары I. [2] [3]

Вывод, начинающийся с общего рационального выражения

Предполагая, что x выражен в радианах, можно искать приближение к sin  x в следующей форме:

sin ⁡ x ≈ a + b x + c x 2 p + q x + r x 2 . {\displaystyle \sin x\approx {\frac {a+bx+cx^{2}}{p+qx+rx^{2}}}.}

Константы a , b , c , p , q и r (только пять из них являются независимыми) можно определить, предположив, что формула должна быть точно верна при x = 0, π/6, π/2, π, и дополнительно предположив, что она должна удовлетворять свойству sin( x ) = sin(π −  x ). [2] [3] Эта процедура создает формулу, выраженную с использованием радианной меры углов.

Элементарный аргумент

Сравнение графиков парабол x (180 − x )/8100 и x (180 − x )/9000 с графиком sin  x (где x в градусах)

Часть графика sin  x в диапазоне от 0° до 180° «выглядит» как часть параболы, проходящей через точки (0, 0) и (180, 0). Общий вид такой параболы:

k x ( 180 − x ) . {\displaystyle kx(180-x).}

Парабола, которая также проходит через (90, 1) (точку, соответствующую значению sin(90°) = 1), равна

x ( 180 − x ) 90 × 90 = x ( 180 − x ) 8100 . {\displaystyle {\frac {x(180-x)}{90\times 90}}={\frac {x(180-x)}{8100}}.}

Парабола, которая также проходит через (30, 1/2) (точку, соответствующую значению sin(30°) = 1/2), равна

x ( 180 − x ) 2 × 30 × 150 = x ( 180 − x ) 9000 . {\displaystyle {\frac {x(180-x)}{2\times 30\times 150}}={\frac {x(180-x)}{9000}}.}

Эти выражения предполагают переменный знаменатель, который принимает значение 90 × 90 при x  = 90 и значение 2 × 30 × 150 при x  = 30. То, что это выражение также должно быть симметричным относительно линии x  = 90, исключает возможность выбора линейного выражения по  x . Вычисления, включающие x (180 −  x ), могут немедленно предполагать, что выражение может иметь вид

8100 a + b x ( 180 − x ) . {\displaystyle 8100a+bx(180-x).}

Небольшой эксперимент (или составление и решение двух линейных уравнений относительно a и b ) даст значения a  = 5/4, b  = −1/4. Это дает формулу приближения синуса Бхаскары I. [4]

Карел Строетхофф (2014) предлагает похожий, но более простой аргумент в пользу выбора Бхаскары I. Он также приводит аналогичную аппроксимацию для косинуса и распространяет эту технику на полиномы второго и третьего порядка. [5]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ ab JJ O'Connor и EF Robertson (ноябрь 2000 г.). "Bhāskara I". Школа математики и статистики Университета Сент-Эндрюс, Шотландия. Архивировано из оригинала 23 марта 2010 г. Получено 22 апреля 2010 г.
  2. ^ abcd Глен Ван Браммелен (2009). Математика небес и земли: ранняя история тригонометрии . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12973-0.(стр.104)
  3. ^ abcdef RC Gupta (1967). "Приближение синуса Бхаскары I" (PDF) . Indian Journal of History of Science . 2 (2). Архивировано из оригинала (PDF) 16 марта 2012 г. . Получено 20 апреля 2010 г. .
  4. ^ ab George Gheverghese Joseph (2009). Переход к бесконечности: средневековая индийская математика из Кералы и ее влияние . Нью-Дели: SAGE Publications India Pvt. Ltd. ISBN 978-81-321-0168-0.(стр.60)
  5. ^ Строетхофф, Карел (1 декабря 2014 г.). «Приближение Бхаскары для синуса». The Mathematics Enthusiast . 11 (3): 485–494. doi : 10.54870/1551-3440.1313 .

Дополнительные ссылки

  1. Р.Ч.Гупта, О выводе формулы Бхаскары I для синуса, Ганита Бхарати 8 (1-4) (1986), 39–41.
  2. Т. Хаяши, Заметка о рациональном приближении синуса Бхаскары I, Historia Sci. № 42 (1991), 45–48.
  3. К. Строетхофф, Приближение Бхаскары для синуса, The Mathematics Enthusiast, т. 11, № 3 (2014), 485–492.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Bhāskara_I%27s_sine_approximation_formula&oldid=1247715051"