p-адическая гамма-функция

В математике p -адическая гамма-функция Γ _p является функцией p -адической переменной , аналогичной гамма-функции . Впервые она была явно определена Морита (1975), хотя Боярский (1980) указал, что Дворк (1964) неявно использовал ту же функцию. Даймонд (1977) определил p -адический аналог G _p логарифма Γ. Оверхольцер (1952) ранее дал определение другого p -адического аналога гамма-функции, но его функция не обладает удовлетворительными свойствами и используется нечасто.

p -адическая гамма - функция — это уникальная непрерывная функция p -адического целого числа x (со значениями в ), такая что${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

${\displaystyle \Гамма _{p}(x)=(-1)^{x}\prod _{0<i<x,\ p\,\nmid \,i}i}$

для положительных целых чисел x , где произведение ограничено целыми числами i , не делящимися на p . Так как положительные целые числа плотны относительно p -адической топологии в , можно однозначно расширить на все . Вот кольцо p -адических целых чисел . Из определения следует, что значения обратимы в ; это происходит потому, что эти значения являются произведениями целых чисел, не делящихся на p , и это свойство сохраняется после непрерывного расширения до . Таким образом , вот множество обратимых p -адических целых чисел.${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \Гамма _{p}(x)}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \Gamma _{p}(\mathbb {Z})}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \Гамма _{p}:\mathbb {Z} _{p}\to \mathbb {Z} _{p}^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{\times }}$

Классическая гамма-функция удовлетворяет функциональному уравнению для любого . Это имеет аналог относительно гамма-функции Мориты:${\displaystyle \Гамма (x+1)=x\Гамма (x)}$${\displaystyle x\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} _{\leq 0}}$

${\displaystyle {\frac {\Gamma _{p}(x+1)}{\Gamma _{p}(x)}}={\begin{cases}-x,&{\mbox{if }}x\in \mathbb {Z} _{p}^{\times }\\-1,&{\mbox{if }}x\in p\mathbb {Z} _{p}.\end{cases}}}$

Формула отражения Эйлера имеет следующий простой аналог в p -адическом случае:${\displaystyle \Гамма (x)\Гамма (1-x)={\frac {\pi }{\sin {(\pi x)}}}}$

${\displaystyle \Гамма _{p}(x)\Гамма _{p}(1-x)=(-1)^{x_{0}},}$

где — первая цифра в p -адическом разложении x , если только , в этом случае вместо 0.${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x\in p\mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle x_{0}=p}$

${\displaystyle \Gamma _{p}(0)=1,}$

${\displaystyle \Gamma _{p}(1)=-1,}$

${\displaystyle \Gamma _{p}(2)=1,}$

${\displaystyle \Gamma _{p}(3)=-2,}$

и, в общем,

${\displaystyle \Гамма _{p}(n+1)={\frac {(-1)^{n+1}n!}{[n/p]!p^{[n/p]}}}\quad (n\geq 2).}$

В Морите гамма-функция связана с символом Лежандра :${\displaystyle x={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)}$

${\displaystyle \Gamma _{p}\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}=-\left({\frac {-1}{p}}\right).}$

Также можно видеть, что, следовательно , как . ^{[1] : 369}${\displaystyle \Gamma _{p}(p^{n})\equiv 1{\pmod {p^{n}}},}$${\displaystyle \Gamma _{p}(p^{n})\to 1}$${\displaystyle n\to \infty }$

Другие интересные специальные значения вытекают из формулы Гросса–Коблица , которая была впервые доказана с помощью когомологических инструментов, а затем была доказана с использованием более элементарных методов. ^[2] Например,

${\displaystyle \Gamma _{5}\left({\frac {1}{4}}\right)^{2}=-2+{\sqrt {-1}},}$

${\displaystyle \Gamma _{7}\left({\frac {1}{3}}\right)^{3}={\frac {1-3{\sqrt {-3}}}{2}},}$

где обозначает квадратный корень с первой цифрой 3, а обозначает квадратный корень с первой цифрой 2. (Такие уточнения всегда необходимо делать, если мы говорим о корнях.)${\displaystyle {\sqrt {-1}}\in \mathbb {Z} _{5}}$${\displaystyle {\sqrt {-3}}\in \mathbb {Z} _{7}}$

Другой пример —

${\displaystyle \Gamma _{3}\left({\frac {1}{8}}\right)\Gamma _{3}\left({\frac {3}{8}}\right)=-(1+{\sqrt {-2}}),}$

где — квадратный корень из числа , сравнимого с 1 по модулю 3. ^[3]${\displaystyle {\sqrt {-2}}}$${\displaystyle -2}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{3}}$

Формула Раабе для классической гамма-функции гласит, что

${\displaystyle \int _{0}^{1}\log \Gamma (x+t)dt={\frac {1}{2}}\log(2\pi )+x\log x-x.}$

Это имеет аналог для логарифма Ивасавы гамма-функции Мориты: ^[4]

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}\log \Gamma _{p}(x+t)dt=(x-1)(\log \Gamma _{p})'(x)-x+\left\lceil {\frac {x}{p}}\right\rceil \quad (x\in \mathbb {Z} _{p}).}$

Функцию потолка следует понимать как p -адический предел, такой что через рациональные целые числа.${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\lceil {\frac {x_{n}}{p}}\right\rceil }$${\displaystyle x_{n}\to x}$

Разложение Малера так же важно для p -адических функций, как и разложение Тейлора в классическом анализе. Разложение Малера p -адической гамма-функции выглядит следующим образом: ^{[1] : 374}

${\displaystyle \Gamma _{p}(x+1)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\binom {x}{k}},}$

где последовательность определяется следующим тождеством:${\displaystyle a_{k}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k+1}a_{k}{\frac {x^{k}}{k!}}={\frac {1-x^{p}}{1-x}}\exp \left(x+{\frac {x^{p}}{p}}\right).}$

• Формула Гросса–Коблица

• Боярский, Маурицио (1980), «p-адические гамма-функции и когомологии Дворка», Труды Американского математического общества , 257 (2): 359–369, doi :10.2307/1998301, ISSN  0002-9947, JSTOR  1998301, MR  0552263
• Даймонд, Джек (1977), «P-адическая логарифмическая гамма-функция и p-адические константы Эйлера», Труды Американского математического общества , 233 : 321–337, doi :10.2307/1997840, ISSN  0002-9947, JSTOR  1997840, MR  0498503
• Diamond, Jack (1984), "p-адические гамма-функции и их приложения", в Chudnovsky, David V. ; Chudnovsky, Gregory V.; Cohn, Henry; et al. (ред.), Number theory (Нью-Йорк, 1982) , Lecture Notes in Math., т. 1052, Berlin, New York: Springer-Verlag , стр. 168–175, doi :10.1007/BFb0071542, ISBN 978-3-540-12909-7, МР  0750664
• Дворк, Бернар (1964), «О дзета-функции гиперповерхности. II», Annals of Mathematics , вторая серия, 80 (2): 227–299, doi :10.2307/1970392, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970392, MR  0188215
• Морита, Ясуо (1975), "P-адический аналог Γ-функции", Журнал факультета естественных наук. Токийский университет. Раздел IA. Математика , 22 (2): 255–266, hdl :2261/6494, ISSN  0040-8980, MR  0424762
• Overholtzer, Gordon (1952), «Функции суммирования в элементарном p-адическом анализе», American Journal of Mathematics , 74 (2): 332–346, doi :10.2307/2371998, ISSN  0002-9327, JSTOR  2371998, MR  0048493