Формула Гросса–Коблица

В математике формула Гросса –Коблица , введенная Гроссом и Коблицем  (1979), выражает сумму Гаусса с использованием произведения значений p -адической гамма-функции . Она является аналогом формулы Чоулы–Сельберга для обычной гамма-функции . Она подразумевает соотношение Хассе–Дэвенпорта и обобщает теорему Штикельбергера . Боярский (1980) дал еще одно доказательство формулы Гросса–Коблица («Боярский» — псевдоним Бернарда Дворка ), а Роберт (2001) дал элементарное доказательство.

Формула Гросса–Коблица утверждает, что сумма Гаусса может быть выражена через -адическую гамма-функцию следующим образом:${\displaystyle \тау}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \Гамма _{p}}$

${\displaystyle \tau _{q}(r)=-\pi ^{s_{p}(r)}\prod _{0\leq i<f}\Gamma _{p}\!\left({\frac {r^{(i)}}{q-1}}\right)}$

где

• ${\displaystyle д}$является степенью простого числа ,${\displaystyle p^{f}}$${\displaystyle p}$
• ${\displaystyle r}$это целое число с ,${\displaystyle 0\leq r<q-1}$
• ${\displaystyle r^{(я)}}$— целое число, основание которого представляет собой циклическую перестановку цифр по позициям ,${\displaystyle p}$${\displaystyle f}$${\displaystyle r}$${\displaystyle я}$
• ${\displaystyle s_{p}(r)}$это сумма базовых цифр числа ,${\displaystyle p}$${\displaystyle r}$
• ${\displaystyle \tau _{q}(r)=\sum _{a^{q-1}=1}a^{-r}\zeta _{\pi }^{{\text{Tr}}(a)}}$, где сумма ведется по корням из единицы в расширении ,${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}(\pi )}$
• ${\displaystyle \пи}$удовлетворяет , и${\displaystyle \пи ^{p-1}=-p}$
• ${\displaystyle \дзета _{\пи}}$является корнем й степени из единицы, сравнимым по модулю .${\displaystyle p}$${\displaystyle 1+\пи}$${\displaystyle \пи ^{2}}$

• Боярский, Маурицио (1980), «p-адические гамма-функции и когомологии Дворка», Труды Американского математического общества , 257 (2): 359– 369, doi :10.2307/1998301, ISSN  0002-9947, JSTOR  1998301, MR  0552263
• Коэн, Анри (2007). Теория чисел – Том II: Аналитические и современные инструменты . Graduate Texts in Mathematics . Том 240. Springer-Verlag . С.  383–395 . ISBN 978-0-387-49893-5. Збл  1119.11002.
• Гросс, Бенедикт Х.; Коблиц, Нил (1979), «Суммы Гаусса и p-адическая Γ-функция», Annals of Mathematics , вторая серия, 109 (3): 569– 581, doi :10.2307/1971226, ISSN  0003-486X, JSTOR  1971226, MR  0534763
• Роберт, Ален М. (2001), «Возвращение к формуле Гросса-Коблица», Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova. Математический журнал Падуанского университета , 105 : 157–170 , ISSN  0041-8994, MR  1834987.