Функция T Оуэна

В математике функция Оуэна T ( h , a  ) , названная в честь статистика Дональда Брюса Оуэна, определяется как

Т ( час , а ) = 1 2 π ∫ 0 а е − 1 2 час 2 ( 1 + х 2 ) 1 + х 2 г х ( − ∞ < час , а < + ∞ ) . {\displaystyle T(h,a)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{a}{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}h^{2}(1+x^{2})}}{1+x^{2}}}dx\quad \left(-\infty <h,a<+\infty \right).}

Функция была впервые введена Оуэном в 1956 году. [1]

Приложения

Функция T ( h ,  a ) дает вероятность события ( X > h и 0 < Y < aX ) , где X и Y — независимые стандартные нормальные случайные величины .

Эту функцию можно использовать для вычисления вероятностей двумерного нормального распределения [2] [3] и, оттуда, для вычисления вероятностей многомерного нормального распределения . [4] Она также часто появляется в различных интегралах, включающих гауссовские функции .

Доступны компьютерные алгоритмы для точного вычисления этой функции; [5] квадратура применяется с 1970-х годов. [6]

Характеристики

Т ( час , 0 ) = 0 {\displaystyle T(h,0)=0}
Т ( 0 , а ) = 1 2 π арктан ⁡ ( а ) {\displaystyle T(0,a)={\frac {1}{2\pi }}\arctan(a)}
Т ( − час , а ) = Т ( час , а ) {\displaystyle T(-h,a)=T(h,a)}
Т ( час , − а ) = − Т ( час , а ) {\displaystyle T(h,-a)=-T(h,a)}
Т ( час , а ) + Т ( а час , 1 а ) = { 1 2 ( Ф ( час ) + Ф ( а час ) ) − Ф ( час ) Ф ( а час ) если а ≥ 0 1 2 ( Ф ( час ) + Ф ( а час ) ) − Ф ( час ) Ф ( а час ) − 1 2 если а < 0 {\displaystyle T(h,a)+T\left(ah,{\frac {1}{a}}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\left(\Phi (h)+\Phi (ah)\right)-\Phi (h)\Phi (ah)&{\text{if}}\quad a\geq 0\\{\frac {1}{2}}\left(\Phi (h)+\Phi (ah)\right)-\Phi (h)\Phi (ah)-{\frac {1}{2}}&{\text{if}}\quad a<0\end{cases}}}
Т ( час , 1 ) = 1 2 Ф ( час ) ( 1 − Ф ( час ) ) {\displaystyle T(h,1)={\frac {1}{2}}\Фи (h)\left(1-\Фи (h)\right)}
∫ Т ( 0 , х ) г х = х Т ( 0 , х ) − 1 4 π вн ⁡ ( 1 + х 2 ) + С {\displaystyle \int T(0,x)\,\mathrm {d} x=xT(0,x)-{\frac {1}{4\pi }}\ln \left(1+x^{2}\right)+C}

Здесь Φ( x ) — стандартная нормальная кумулятивная функция распределения

Ф ( х ) = 1 2 π ∫ − ∞ х эксп ⁡ ( − т 2 2 ) г т {\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}\exp \left(-{\frac {t^{2}}{2}}\right)\,\mathrm {d} t}

Дополнительные свойства можно найти в литературе. [7]

Ссылки

  1. ^ Оуэн, ДБ (1956). «Таблицы для вычисления двумерных нормальных вероятностей». Annals of Mathematical Statistics , 27, 1075–1090.
  2. ^ Sowden, RR и Ashford, JR (1969). «Вычисление двумерного нормального интеграла». Прикладная статистика , 18, 169–180.
  3. ^ Донелли, TG (1973). «Алгоритм 462. Двумерное нормальное распределение». Commun. Ass. Comput.Mach. , 16, 638.
  4. ^ Шервиш, МХ (1984). «Многомерные нормальные вероятности с границей ошибки ». Прикладная статистика , 33, 81–94.
  5. ^ Пейтфилд, М. и Тэнди, Д. (2000) «Быстрое и точное вычисление T-функции Оуэна», Журнал статистического программного обеспечения , 5 (5), 1–25.
  6. ^ JC Young и Christoph Minder. Алгоритм AS 76
  7. ^ Оуэн, Д. (1980). «Таблица нормальных интегралов». Communications in Statistics: Simulation and Computation . B9 (4): 389– 419. doi :10.1080/03610918008812164.

Программное обеспечение

  • Функция Оуэна T (веб-сайт пользователя) - предлагает библиотеки C++, FORTRAN77, FORTRAN90 и MATLAB, выпущенные под лицензией LGPL LGPL
  • T-функция Оуэна реализована в системе Mathematica начиная с версии 8 как OwenT.
  • Почему вам следует беспокоиться о неясном (запись в блоге Wolfram)


Значок заглушки

Эта статья, связанная со статистикой, является заглушкой . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Owen%27s_T_function&oldid=1257884374"