коллектор Оссермана

В математике , в частности в дифференциальной геометрии , многообразие Оссермана — это риманово многообразие , в котором характеристический многочлен оператора Якоби единичных касательных векторов является константой на единичном касательном расслоении . [ ^1] Оно названо в честь американского математика Роберта Оссермана .

Пусть будет римановым многообразием . Для точки и единичного вектора оператор Якоби определяется как , где — тензор кривизны Римана . ^[2] Многообразие называется поточечно оссемановым , если для каждого спектр оператора Якоби не зависит от выбора единичного вектора . Многообразие называется глобально оссемановым , если спектр не зависит ни от , ни от . Все двухточечные однородные пространства являются глобально оссемановыми, включая евклидовы пространства , вещественные проективные пространства , сферы , гиперболические пространства , комплексные проективные пространства , комплексные гиперболические пространства , кватернионные проективные пространства , кватернионные гиперболические пространства , проективную плоскость Кэли и гиперболическую плоскость Кэли . ^[2]${\displaystyle М^{н}}$${\displaystyle p\in M^{n}}$ ${\displaystyle X\in T_{p}M^{n}}$${\displaystyle R_{X}}$${\displaystyle R_{X}=R(X,\cdot)X}$${\displaystyle R}$${\displaystyle М^{н}}$${\displaystyle p\in M^{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {CH} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {HH} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ayP^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ayH^{2}}$

Структуры Клиффорда являются основополагающими в изучении многообразий Оссермана. Алгебраический тензор кривизны в имеет -структуру, если его можно выразить как${\displaystyle R}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\text{Cliff}}(\nu )}$

${\displaystyle R(X,Y)Z=\lambda _{0}(\langle X,Z\rangle Y-\langle Y,Z\rangle X)+\sum _{i=1}^{\nu }{\frac {1}{3}}(\lambda _{i}-\lambda _{0})(2\langle J_{i}X,Y\rangle J_{i}Z+\langle J_{i}Z,Y\rangle J_{i}X-\langle J_{i}Z,X\rangle J_{i}Y)}$

где - кососимметричные ^{[ необходимо устранение неоднозначности ]} ортогональные операторы, удовлетворяющие соотношениям Гурвица . ^[3] Говорят, что риманово многообразие имеет -структуру, если его тензор кривизны также имеет ее. Эти структуры естественным образом возникают из унитарных представлений алгебр Клиффорда и предоставляют способ построения примеров многообразий Оссермана. Изучение многообразий Оссермана связано с изоспектральной геометрией , многообразиями Эйнштейна , операторами кривизны в дифференциальной геометрии и классификацией симметричных пространств . ^[2]${\displaystyle J_{i}}$ ${\displaystyle J_{i}J_{j}+J_{j}J_{i}=-2\delta _{ij}I}$${\displaystyle {\text{Cliff}}(\nu )}$

Гипотеза Оссермана спрашивает, является ли каждое многообразие Оссермана либо плоским многообразием , либо локально симметричным пространством ранга один . ^[4]

В этой гипотезе был достигнут значительный прогресс, и доказательства были установлены для многообразий размерности , где не делится на 4 или . Для точечных многообразий Оссермана гипотеза верна в размерностях, не делящихся на 4. Случай многообразий с ровно двумя собственными значениями оператора Якоби был тщательно изучен, и гипотеза была доказана, за исключением особых случаев в размерности 16. ^[2]${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=4}$${\displaystyle n\neq 2}$

• Алгебра Клиффорда
• Список нерешенных задач по математике