Гиперболический кватернион

В абстрактной алгебре алгебра гиперболических кватернионов — это неассоциативная алгебра над действительными числами с элементами вида

${\displaystyle q=a+bi+cj+dk,\quad a,b,c,d\in \mathbb {R} \!}$

где квадраты i, j и k равны +1, а различные элементы {i, j, k} перемножаются с антикоммутативным свойством.

Четырехмерная алгебра гиперболических кватернионов включает в себя некоторые черты более старой и большей алгебры бикватернионов . Они обе содержат подалгебры, изоморфные плоскости расщепленных комплексных чисел. Более того, так же как кватернионная алгебра H может рассматриваться как объединение комплексных плоскостей , так и гиперболическая кватернионная алгебра представляет собой пучок плоскостей расщепленных комплексных чисел, разделяющих одну и ту же вещественную прямую.

Именно Александр Макфарлейн продвигал эту концепцию в 1890-х годах в качестве своей «Алгебры физики» , сначала через Американскую ассоциацию содействия развитию науки в 1891 году, затем через свою книгу из пяти статей по анализу пространства в 1894 году и в серии лекций в Университете Лихай в 1900 году.

Подобно кватернионам , множество гиперболических кватернионов образует векторное пространство над действительными числами размерности 4. Линейная комбинация

${\displaystyle q=a+bi+cj+dk}$

является гиперболическим кватернионом, когда и являются действительными числами, а базисный набор имеет следующие произведения:${\displaystyle а,б,в,}$${\displaystyle д}$${\displaystyle \{1,i,j,k\}}$

${\displaystyle ij=k=-ji}$

${\displaystyle jk=i=-kj}$

${\displaystyle ki=j=-ik}$

${\displaystyle я^{2}=j^{2}=k^{2}=+1}$

Используя свойство дистрибутивности , эти соотношения можно использовать для умножения любых двух гиперболических кватернионов.

В отличие от обычных кватернионов, гиперболические кватернионы не ассоциативны . Например, , в то время как . Фактически, этот пример показывает, что гиперболические кватернионы даже не являются альтернативной алгеброй .${\displaystyle (ij)j=kj=-i}$${\displaystyle i(jj)=i}$

Первые три соотношения показывают, что произведения (не вещественных) базисных элементов антикоммутативны . Хотя этот базисный набор не образует группу , набор

${\displaystyle \{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\}}$

образует петлю , то есть квазигруппу с единичным элементом. Также следует отметить, что любая подплоскость множества M гиперболических кватернионов, содержащая вещественную ось, образует плоскость расщепленных комплексных чисел . Если

${\displaystyle q^{*}=a-bi-cj-dk}$

является сопряженным , тогда произведение${\displaystyle д}$

${\displaystyle q(q^{*})=a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2}}$

квадратичная форма , используемая в теории пространства-времени . Фактически, для событий p и q билинейная форма

${\displaystyle \eta (p,q)=-p_{0}q_{0}+p_{1}q_{1}+p_{2}q_{2}+p_{3}q_{3}}$

возникает как отрицательная часть действительной части гиперболического кватернионного произведения pq * и используется в пространстве Минковского .

Обратите внимание, что множество единиц U = { q  : qq * ≠ 0 } не замкнуто относительно умножения. Подробности см. в ссылках (внешняя ссылка).

Гиперболические кватернионы образуют неассоциативное кольцо ; отсутствие ассоциативности в этой алгебре ограничивает возможности этой алгебры в теории преобразований. Тем не менее, эта алгебра сосредоточилась на аналитической кинематике, предложив математическую модель : когда выбирается единичный вектор r в гиперболических кватернионах, то r ² = +1. Плоскость с гиперболическим кватернионным умножением является коммутативной и ассоциативной подалгеброй, изоморфной плоскости комплексных чисел с расщеплением. Гиперболический версор преобразует D _r с помощью${\displaystyle D_{r}=\lbrace t+xr:t,x\in R\rbrace }$ ${\displaystyle \exp(ar)=\cosh(a)+r\sinh(a)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}t+xr&&\mapsto \quad &\exp(ar)(t+xr)\\&&=\quad &(\cosh(a)t+x\sinh(a))+(\sinh(a)t+x\cosh(a))r.\end{aligned}}}$

Поскольку направление r в пространстве произвольно, это гиперболическое кватернионное умножение может выразить любой лоренцевский буст с использованием параметра a, называемого быстротой . Однако гиперболическая кватернионная алгебра недостаточна для представления полной группы Лоренца (вместо этого см. бикватернион ).

В 1967 году историк Майкл Дж. Кроу, описывая диалог о векторных методах в 1890-х годах, прокомментировал:

Введение другой системы векторного анализа, даже своего рода компромиссной системы, такой как система Макфарлейна, вряд ли могло быть хорошо воспринято сторонниками уже существующих систем и, более того, вероятно, расширило бы вопрос за пределы понимания пока еще непосвященного читателя. ^[1]

Позднее, в 1900 году, Макфарлейн опубликовал статью в Трудах Королевского общества Эдинбурга. ^В ней он рассматривает модель гиперболического пространства H3 на гиперболоиде.

${\displaystyle H^{3}=\{q\in M:q(q^{*})=1\}.}$

Эта изотропная модель называется моделью гиперболоида и состоит из всех гиперболических версоров в кольце гиперболических кватернионов.

1890-е годы испытали влияние посмертных публикаций У. К. Клиффорда и непрерывных групп Софуса Ли . Примером однопараметрической группы является гиперболический версор с гиперболическим угловым параметром. Этот параметр является частью полярного разложения расщепленного комплексного числа. Но есть поразительный аспект конечной математики, который делает гиперболическое кватернионное кольцо другим:

Базис векторного пространства гиперболических кватернионов не замкнут относительно умножения: например, . Тем не менее, множество замкнуто относительно умножения. Оно удовлетворяет всем свойствам абстрактной группы, за исключением свойства ассоциативности; будучи конечным, оно является латинским квадратом или квазигруппой , периферийной математической структурой . Потеря свойства ассоциативности умножения, обнаруженная в теории квазигрупп, не согласуется с линейной алгеброй, поскольку все линейные преобразования составляются ассоциативным образом. Тем не менее, физики в 1890-х годах призывали к мутации квадратов , , и быть вместо  : У физика Йельского университета Уилларда Гиббса были брошюры с квадратом плюс один в его трехмерной векторной системе. Оливер Хевисайд в Англии писал статьи в Electrician , отраслевой газете, отстаивая положительный квадрат. В 1892 году он собрал свою работу в Transactions of the Royal Society A ^[2] , где он говорит, что его векторная система${\displaystyle \{1,\,i,\,j,\,k\}}$${\displaystyle ji=-\!k}$${\displaystyle \{1,\,i,\,j,\,k,\,-\!1,\,-\!i,\,-\!j,\,-\!k\}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle k}$${\displaystyle +1}$${\displaystyle -1}$

просто элементы кватернионов без кватернионов, с максимально упрощенной записью и с устраненным очень неудобным знаком минус перед скалярным произведением.

Итак, появление гиперболических кватернионов Макфарлейна имело некоторую мотивацию, но неприятная неассоциативность ускорила реакцию. Каргилл Гилстон Нотт был вынужден предложить следующее:

Теорема (Кнотт ^[3] 1892)

Если 4-алгебра на базисе ассоциативна и недиагональные произведения задаются правилами Гамильтона, то .${\displaystyle \{1,\,i,\,j,\,k\}}$${\displaystyle i^{2}=-\!1=j^{2}=k^{2}}$

Доказательство:

${\displaystyle j=ki=(-ji)i=-j(ii)}$, так что . Циклически повторяйте буквы , , чтобы получить . QED .${\displaystyle i^{2}=-1}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle k}$${\displaystyle i^{2}=-1=j^{2}=k^{2}}$

Эта теорема нуждалась в утверждении, чтобы оправдать сопротивление призыву физиков и электриков . Квазигруппа вызвала значительный переполох в 1890-х годах: журнал Nature был особенно благоприятен для демонстрации того, что было известно, предоставив два обзора работ Нотта, а также работ нескольких других векторных теоретиков. Майкл Дж. Кроу посвящает шестую главу своей книги «История векторного анализа» различным опубликованным взглядам и отмечает гиперболический кватернион:

Макфарлейн построил новую систему векторного анализа, более гармонирующую с системой Гиббса–Хевисайда, чем с системой кватернионов. ...он... определил полное произведение двух векторов, которое было сравнимо с полным произведением кватернионов, за исключением того, что скалярная часть была положительной, а не отрицательной, как в старой системе. ^[1]

В 1899 году Чарльз Джаспер Джоли отметил гиперболический кватернион и свойство неассоциативности ^[4] , приписав его происхождение Оливеру Хевисайду.

Гиперболические кватернионы, как алгебра физики , подорвали претензии, которые обычные кватернионы сделали в физике. Что касается математики, гиперболический кватернион является еще одним гиперкомплексным числом , как такие структуры назывались в то время. К 1890-м годам Ричард Дедекинд ввел концепцию кольца в коммутативную алгебру, а концепция векторного пространства была абстрагирована Джузеппе Пеано . В 1899 году Альфред Норт Уайтхед продвигал универсальную алгебру , выступая за инклюзивность. Концепции квазигруппы и алгебры над полем являются примерами математических структур, описывающих гиперболические кватернионы.

Труды Королевского общества Эдинбурга опубликовали "Гиперболические кватернионы" в 1900 году, статью, в которой Макфарлейн восстанавливает ассоциативность для умножения, возвращаясь к комплексированным кватернионам . Там он использовал некоторые выражения, позже ставшие знаменитыми благодаря Вольфгангу Паули : где Макфарлейн написал

${\displaystyle ij=k{\sqrt {-1}}}$

${\displaystyle jk=i{\sqrt {-1}}}$

${\displaystyle ki=j{\sqrt {-1}},}$

матрицы Паули удовлетворяют

${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}=\sigma _{3}{\sqrt {-1}}}$

${\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{3}=\sigma _{1}{\sqrt {-1}}}$

${\displaystyle \sigma _{3}\sigma _{1}=\sigma _{2}{\sqrt {-1}}}$

при этом ссылаясь на те же самые усложненные кватернионы.

Вступительное предложение статьи звучит так: «Хорошо известно, что кватернионы тесно связаны со сферической тригонометрией и фактически сводят предмет к разделу алгебры». Это утверждение можно проверить, обратившись к современной работе Vector Analysis , которая работает с редуцированной системой кватернионов, основанной на скалярном произведении и перекрестном произведении . В статье Макфарлейна есть попытка создать «тригонометрию на поверхности равносторонних гиперболоидов» через алгебру гиперболических кватернионов, теперь повторно идентифицированных в ассоциативном кольце восьми действительных измерений. Усилия подкреплены таблицей из девяти рисунков на странице 181. Они иллюстрируют описательную силу его метода «анализа пространства». Например, рисунок 7 — это общая диаграмма Минковского, используемая сегодня в специальной теории относительности для обсуждения изменения скорости системы отсчета и относительности одновременности .

На странице 173 Макфарлейн расширяет свою большую теорию кватернионных переменных. В качестве контраста он отмечает, что Феликс Клейн , по-видимому, не смотрит дальше теории кватернионов и пространственного вращения .