Ортографическая проекция карты

Ортографическая проекция в картографии использовалась с античности. Подобно стереографической проекции и гномонической проекции , ортографическая проекция является перспективной проекцией, в которой сфера проецируется на касательную или секущую плоскость . Точка перспективы для ортографической проекции находится на бесконечном расстоянии. Она изображает полусферу земного шара , как она выглядит из космоса , где горизонт представляет собой большой круг . Формы и площади искажены , особенно вблизи краев. ^{[1] [2]}

Ортографическая проекция известна с античности, и ее картографическое применение хорошо документировано. Гиппарх использовал проекцию во 2 веке до н. э. для определения мест восхода и захода звезд. Около 14 года до н. э. римский инженер Марк Витрувий Поллион использовал проекцию для построения солнечных часов и вычисления положения солнца. ^[2]

Витрувий также, по-видимому, придумал термин ортографический (от греческого orthos (= «прямой») и graphē (= «чертеж»)) для проекции. Однако название analemma , которое также означало солнечные часы, показывающие широту и долготу, было общепринятым названием до тех пор, пока Франсуа д'Агилон из Антверпена не ввел его нынешнее название в 1613 году. ^[2]

Самые ранние сохранившиеся карты на проекции представляют собой грубые гравюры на дереве земных глобусов 1509 года (аноним), 1533 и 1551 годов (Иоганнес Шёнер) и 1524 и 1551 годов (Апиан). Высоко детализированная карта, разработанная ренессансным энциклопедистом Альбрехтом Дюрером и выполненная Иоганнесом Стабиусом , появилась в 1515 году. ^[2]

Фотографии Земли и других планет с космических аппаратов возобновили интерес к ортографической проекции в астрономии и планетологии .

Формулы для сферической ортографической проекции выводятся с использованием тригонометрии . Они записываются в терминах долготы ( λ ) и широты ( φ ) на сфере . Определим радиус сферы R и центральную точку (и начало координат ) проекции ( λ0 , φ0 ). Уравнения для ортографической проекции на касательную плоскость ( x , y ) сводятся к следующему: _[ ¹ _]

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=R\,\cos \varphi \sin \left(\lambda -\lambda _{0}\right)\\y&=R{\big (}\cos \varphi _ {0}\sin \varphi -\sin \varphi _{0}\cos \varphi \cos \left(\lambda -\lambda _{0}\right){\big )}\end{aligned}}}$

Широты за пределами карты должны быть обрезаны путем вычисления углового расстояния c от центра ортографической проекции. Это гарантирует, что точки на противоположном полушарии не будут нанесены:

${\displaystyle \cos c=\sin \varphi _{0} \sin \varphi +\cos \varphi _{0} \cos \varphi \cos \left(\lambda -\lambda _{0}\right)\ ,}$.

Точка должна быть вырезана из карты, если cos( c ) отрицателен. То есть все точки, включенные в отображение, удовлетворяют:

${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<c<{\frac {\pi }{2}}}$.

Обратные формулы имеют вид:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &=\arcsin \left(\cos c\sin \varphi _{0}+{\frac {y\sin c\cos \varphi _{0}}{\rho }}\right)\\\lambda &=\lambda _{0}+\arctan \left({\frac {x\sin c}{\rho \cos c\cos \varphi _{0}-y\sin c\sin \varphi _{0}}}\right)\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle {\begin{align}\rho &={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\c&=\arcsin {\frac {\rho }{R}}\end{align}}}$

Для вычисления обратных формул рекомендуется использовать двухаргументную форму atan2 функции арктангенса (в отличие от atan ). Это гарантирует, что знак ортогональной проекции в записанном виде будет правильным во всех квадрантах .

Обратные формулы особенно полезны при попытке спроецировать переменную, определенную на сетке ( λ , φ ), на прямолинейную сетку в ( x , y ). Прямое применение ортографической проекции дает разбросанные точки в ( x , y ), что создает проблемы для построения графиков и численного интегрирования . Одним из решений является начало с плоскости проекции ( x , y ) и построение изображения из значений, определенных в ( λ , φ ), с использованием обратных формул ортографической проекции.

Эллипсоидальную версию ортографической картографической проекции см. в разделе «Ссылки». ^[3]

Сравнение ортографической картографической проекции и некоторых азимутальных проекций с центром в 90° с.ш. в том же масштабе, упорядоченных по высоте проекции в радиусах Земли. (нажмите для получения подробной информации)

В широком смысле все проекции с точкой перспективы в бесконечности (и, следовательно, параллельными проецирующими линиями) считаются ортографическими, независимо от поверхности, на которую они проецируются. Такие проекции искажают углы и площади, близкие к полюсам. ^{[ необходимо уточнение ]}

Примером ортографической проекции на цилиндр является цилиндрическая равновеликая проекция Ламберта .

• Список картографических проекций
• Стереографическая проекция в картографии

На Викискладе есть медиафайлы по теме Ортографическая проекция (картография) .

• Ортографическая проекция — из MathWorld