Псевдовектор

В физике и математике псевдовектор (или аксиальный вектор ) ^{[2] —} это величина, которая ведет себя как вектор во многих ситуациях, но ее направление не соответствует, когда объект жестко трансформируется вращением , переносом , отражением и т. д. Это также может произойти, когда изменяется ориентация пространства . Например, угловой момент является псевдовектором, потому что его часто описывают как вектор, но просто изменив положение отсчета (и, следовательно, изменив вектор положения ), угловой момент может изменить направление, что не должно происходить с истинными векторами (также известными как полярные векторы ). ^[3]

Одним из примеров псевдовектора является нормаль к ориентированной плоскости . Ориентированная плоскость может быть определена двумя непараллельными векторами, a и b , ^[4] , которые охватывают плоскость. Вектор a × b является нормалью к плоскости (существуют две нормали, по одной с каждой стороны — правило правой руки определит, какие именно), и является псевдовектором. Это имеет последствия в компьютерной графике, где это необходимо учитывать при преобразовании нормалей поверхности . В трех измерениях ротор полярного векторного поля в точке и векторное произведение двух полярных векторов являются псевдовекторами. ^[5]

Ряд величин в физике ведут себя как псевдовекторы, а не полярные векторы, включая магнитное поле и угловую скорость . В математике в трех измерениях псевдовекторы эквивалентны бивекторам , из которых можно вывести правила преобразования псевдовекторов. В более общем смысле, в n -мерной геометрической алгебре псевдовекторы являются элементами алгебры с размерностью n − 1 , записываемыми как ⋀ ^{n −1} R ⁿ . Метка «псевдо-» может быть далее обобщена до псевдоскаляров и псевдотензоров , оба из которых получают дополнительную смену знака при несобственных вращениях по сравнению с истинным скаляром или тензором .

Физические примеры псевдовекторов включают крутящий момент , ^[4] угловую скорость , угловой момент , ^[4] магнитное поле , ^[4] завихренность и магнитный дипольный момент .

Рассмотрим псевдовектор момента импульса L = Σ( r × p ) . При движении в автомобиле и взгляде вперед каждое из колес имеет вектор момента импульса, направленный влево. Если мир отражается в зеркале, которое меняет местами левую и правую стороны автомобиля, «отражение» этого «вектора» момента импульса (рассматриваемого как обычный вектор) указывает вправо, но фактический вектор момента импульса колеса (которое все еще вращается вперед в отражении) по-прежнему указывает влево, что соответствует дополнительной смене знака в отражении псевдовектора.

Различие между полярными векторами и псевдовекторами становится важным для понимания влияния симметрии на решение физических систем . Рассмотрим электрическую токовую петлю в плоскости z = 0 , которая внутри петли создает магнитное поле, ориентированное в направлении z . Эта система симметрична (инвариантна) относительно зеркальных отражений через эту плоскость, причем магнитное поле не изменяется при отражении. Но отражение магнитного поля как вектора через эту плоскость, как ожидается, должно обратить его; это ожидание корректируется пониманием того, что магнитное поле является псевдовектором, а дополнительная смена знака оставляет его неизменным.

В физике псевдовекторы обычно являются результатом взятия векторного произведения двух полярных векторов или ротора полярного векторного поля. Векторные произведения и ротор определяются, по соглашению, в соответствии с правилом правой руки, но могли бы быть так же легко определены в терминах правила левой руки. Весь корпус физики, который имеет дело с (правыми) псевдовекторами и правилом правой руки, может быть заменен использованием (левых) псевдовекторов и правила левой руки без проблем. (Левые) псевдовекторы, определенные таким образом, будут противоположны по направлению тем, которые определены правилом правой руки.

В то время как векторные отношения в физике могут быть выражены в свободной от координат манере, для выражения векторов и псевдовекторов в виде числовых величин требуется система координат. Векторы представлены в виде упорядоченных троек чисел: например , и псевдовекторы также представлены в этой форме. При преобразовании между левыми и правыми системами координат представления псевдовекторов не преобразуются как векторы, и рассмотрение их как векторных представлений приведет к неправильной смене знака, поэтому необходимо следить за тем, какие упорядоченные троек представляют векторы, а какие представляют псевдовекторы. Эта проблема не существует, если перекрестное произведение двух векторов заменить внешним произведением двух векторов, что дает бивектор , который является тензором 2-го ранга и представлен матрицей 3×3. Это представление 2-тензора правильно преобразуется между любыми двумя системами координат, независимо от их хандья.${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{x},a_{y},a_{z})}$

Определение «вектора» в физике (включая как полярные векторы, так и псевдовекторы) более конкретно, чем математическое определение «вектора» (а именно, любого элемента абстрактного векторного пространства ). Согласно определению физики, «вектор» должен иметь компоненты , которые «трансформируются» определенным образом при собственном вращении : в частности, если бы все во вселенной было повернуто, вектор вращался бы точно так же. (В этом обсуждении система координат фиксирована; другими словами, это перспектива активных преобразований .) Математически, если все во вселенной претерпевает вращение, описываемое матрицей вращения R , так что вектор смещения x преобразуется в x ′ = R x , то любой «вектор» v должен быть аналогично преобразован в v ′ = R v . Это важное требование отличает вектор (который может состоять, например, из x- , y- и z -компонент скорости ) от любой другой тройки физических величин (например, длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда не могут считаться тремя компонентами вектора, поскольку вращение параллелепипеда не преобразует эти три компонента соответствующим образом).

(На языке дифференциальной геометрии это требование эквивалентно определению вектора как тензора контравариантного ранга один. В этой более общей структуре тензоры более высокого ранга также могут иметь произвольное количество смешанных ковариантных и контравариантных рангов одновременно, обозначаемых повышенными и пониженными индексами в рамках соглашения Эйнштейна о суммировании .)

Базовым и довольно конкретным примером являются векторы строк и столбцов под обычным оператором умножения матриц: в одном порядке они дают скалярное произведение, которое является просто скаляром и, как таковой, тензором ранга ноль, в то время как в другом они дают диадическое произведение , которое является матрицей, представляющей смешанный тензор ранга два, с одним контравариантным и одним ковариантным индексом. Таким образом, некоммутативность стандартной матричной алгебры может быть использована для отслеживания различия между ковариантными и контравариантными векторами. Фактически, именно так велась бухгалтерия до того, как появилась более формальная и обобщенная тензорная нотация. Она по-прежнему проявляется в том, как базисные векторы общих тензорных пространств представлены для практической манипуляции.

До сих пор обсуждение касалось только собственных вращений, т. е. вращений вокруг оси. Однако можно также рассмотреть и неправильные вращения , т. е. зеркальное отражение, за которым может следовать собственное вращение. (Одним из примеров неправильного вращения является инверсия относительно точки в трехмерном пространстве.) Предположим, что все во вселенной подвергается неправильному вращению, описываемому матрицей неправильного вращения R , так что вектор положения x преобразуется в x ′ = R x . Если вектор v является полярным вектором, он будет преобразован в v ′ = R v . Если это псевдовектор, он будет преобразован в v ′ = − R v .

Правила преобразования полярных векторов и псевдовекторов можно компактно записать как

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} '&=R\mathbf {v} && {\text{(полярный вектор)}} \\\mathbf {v} '&=(\det R)(R\mathbf {v} )&& {\text{(псевдовектор)}}\end{aligned}}}$

где символы такие же, как описано выше, а матрица вращения R может быть как правильной, так и неправильной. Символ det обозначает определитель ; эта формула работает, поскольку определитель правильной и неправильной матриц вращения равен +1 и −1 соответственно.

Предположим, что v ₁ и v ₂ — известные псевдовекторы, а v ₃ определяется как их сумма, v ₃ = v ₁ + v _2. Если вселенная преобразуется матрицей вращения R , то v ₃ преобразуется в

${\displaystyle {\begin{align}\mathbf {v_{3}} '=\mathbf {v_{1}} '+\mathbf {v_{2}} '&=(\det R)(R\mathbf {v_{1}} )+(\det R)(R\mathbf {v_{2}} )\\&=(\det R)(R(\mathbf {v_{1}} +\mathbf {v_{2}} ))=(\det R)(R\mathbf {v_{3}} ).\end{align}}}$

Итак, v ₃ также является псевдовектором. Аналогично можно показать, что разность между двумя псевдовекторами является псевдовектором, что сумма или разность двух полярных векторов является полярным вектором, что умножение полярного вектора на любое действительное число дает другой полярный вектор, и что умножение псевдовектора на любое действительное число дает другой псевдовектор.

С другой стороны, предположим, что v ₁ — это известный полярный вектор, v ₂ — это известный псевдовектор, а v ₃ определяется как их сумма, v ₃ = v ₁ + v _2. Если вселенная преобразуется с помощью неправильной матрицы вращения R , то v ₃ преобразуется в

${\displaystyle \mathbf {v_{3}} '=\mathbf {v_{1}} '+\mathbf {v_{2}} '=(R\mathbf {v_{1}} )+(\det R)(R\mathbf {v_{2}} )=R(\mathbf {v_{1}} +(\det R)\mathbf {v_{2}} ).}$

Следовательно, v ₃ не является ни полярным вектором, ни псевдовектором (хотя по определению физики он все еще является вектором). При неправильном вращении v ₃ в общем случае даже не сохраняет ту же величину:

${\displaystyle |\mathbf {v_{3}} |=|\mathbf {v_{1}} +\mathbf {v_{2}} |,{\text{ но }}\left|\mathbf {v_{3}} '\right|=\left|\mathbf {v_{1}} '-\mathbf {v_{2}} '\right|}$.

Если бы величина v ₃ описывала измеримую физическую величину, это означало бы, что законы физики не выглядели бы одинаково, если бы вселенную рассматривали в зеркале. Фактически, это именно то, что происходит в слабом взаимодействии : некоторые радиоактивные распады по-разному трактуют «лево» и «право», явление, которое можно проследить до суммирования полярного вектора с псевдовектором в базовой теории. (См. нарушение четности .)

Для матрицы вращения R , как правильной, так и неправильной, всегда справедливо следующее математическое уравнение:

${\displaystyle (R\mathbf {v_{1}} )\times (R\mathbf {v_{2}} )=(\det R)(R(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} ))}$,

где v ₁ и v ₂ — любые трехмерные векторы. (Это уравнение можно доказать либо с помощью геометрического аргумента, либо с помощью алгебраического расчета.)

Предположим, что v ₁ и v ₂ — известные полярные векторы, а v ₃ определяется как их векторное произведение, v ₃ = v ₁ × v _2. Если вселенная преобразуется матрицей вращения R , то v ₃ преобразуется в

${\displaystyle \mathbf {v_{3}} '=\mathbf {v_{1}} '\times \mathbf {v_{2}} '=(R\mathbf {v_{1}} )\times (R\mathbf {v_{2}} )=(\det R)(R(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} ))=(\det R)(R\mathbf {v_{3}} ).}$

Итак, v ₃ — псевдовектор. Аналогично можно показать:

• полярный вектор × полярный вектор = псевдовектор
• псевдовектор × псевдовектор = псевдовектор
• полярный вектор × псевдовектор = полярный вектор
• псевдовектор × полярный вектор = полярный вектор

Это изоморфно сложению по модулю 2, где «полярный» соответствует 1, а «псевдо» — 0.

Из определения ясно, что вектор смещения является полярным вектором. Вектор скорости является вектором смещения (полярным вектором), деленным на время (скаляр), поэтому также является полярным вектором. Аналогично вектор импульса является вектором скорости (полярным вектором), умноженным на массу (скаляр), поэтому также является полярным вектором. Угловой момент является векторным произведением смещения (полярного вектора) и импульса (полярного вектора), и поэтому является псевдовектором. Крутящий момент является угловым моментом (псевдовектором), деленным на время (скаляр), поэтому также является псевдовектором. Продолжая таким образом, легко классифицировать любой из распространенных векторов в физике либо как псевдовектор, либо как полярный вектор. (В теории слабых взаимодействий существуют векторы, нарушающие четность, которые не являются ни полярными векторами, ни псевдовекторами. Однако в физике они встречаются очень редко.)

Выше обсуждались псевдовекторы с использованием активных преобразований . Альтернативный подход, более близкий к пассивным преобразованиям , заключается в том, чтобы сохранить вселенную фиксированной, но поменять « правило правой руки » на «правило левой руки» везде в математике и физике, включая определение векторного произведения и ротора . Любой полярный вектор (например, вектор трансляции) останется неизменным, но псевдовекторы (например, вектор магнитного поля в точке) поменяют знаки. Тем не менее, не будет никаких физических последствий, за исключением явлений нарушения четности, таких как определенные радиоактивные распады . ^[6]

Один из способов формализации псевдовекторов заключается в следующем: если V — n - мерное векторное пространство, то псевдовектор V — это элемент ( n  − 1)-й внешней степени V : ⋀ ^{n −1} ( V ). Псевдовекторы V образуют векторное пространство с той же размерностью , что и V .

Это определение не эквивалентно определению, требующему смены знака при несобственных вращениях, но оно является общим для всех векторных пространств. В частности, когда n четно , такой псевдовектор не испытывает смены знака, а когда характеристика базового поля V равна 2, смена знака не имеет никакого эффекта. В противном случае определения эквивалентны, хотя следует иметь в виду, что без дополнительной структуры (в частности, либо формы объема , либо ориентации ) нет естественной идентификации ⋀ ^{n −1} ( V ) с V .

Другой способ формализовать их — рассматривать их как элементы пространства представления для . Векторы преобразуются в фундаментальном представлении с данными, заданными , так что для любой матрицы из , имеем . Псевдовекторы преобразуются в псевдофундаментальном представлении , с . Другой способ рассмотреть этот гомоморфизм для нечетного состоит в том, что в этом случае . Тогда — прямое произведение групповых гомоморфизмов; это прямое произведение фундаментального гомоморфизма на с тривиальным гомоморфизмом на .${\displaystyle {\text{O}}(н)}$${\displaystyle {\text{O}}(н)}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\rho _{\text{fund}},{\text{O}}(n))}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\text{O}}(н)}$${\displaystyle \rho _{\text{fund}}(R)=R}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\rho _{\text{псевдо}},{\text{O}}(n))}$${\displaystyle \rho _{\text{псевдо}}(R)=\det(R)R}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\text{O}}(n)\cong {\text{SO}}(n)\times \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle \rho _{\text{pseudo}}}$${\displaystyle {\text{SO}}(n)}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

В геометрической алгебре основными элементами являются векторы, и они используются для построения иерархии элементов с использованием определений произведений в этой алгебре. В частности, алгебра строит псевдовекторы из векторов.

Базовым умножением в геометрической алгебре является геометрическое произведение , обозначаемое простым сопоставлением двух векторов, как в ab . Это произведение выражается как:

${\displaystyle \mathbf {ab} =\mathbf {a\cdot b} +\mathbf {a\wedge b} \ ,}$

где ведущий член — это обычное векторное скалярное произведение , а второй член называется клиновидным произведением или внешним произведением . Используя постулаты алгебры, можно оценить все комбинации скалярных и клиновидных произведений. Приведена терминология для описания различных комбинаций. Например, мультвектор — это сумма k -кратных клиновидных произведений различных k -значений. K -кратное клиновидное произведение также называется k -лезвием .

В настоящем контексте псевдовектор является одной из таких комбинаций. Этот термин прикрепляется к другому мультивектору в зависимости от размерности пространства (то есть числа линейно независимых векторов в пространстве). В трех измерениях наиболее общий 2-лезвие или бивектор может быть выражен как произведение клина двух векторов и является псевдовектором. ^[7] В четырех измерениях, однако, псевдовекторы являются тривекторами . ^[8] В общем случае, это ( n − 1) -лезвие, где n — размерность пространства и алгебры. ^[9] n -мерное пространство имеет n базисных векторов, а также n базисных псевдовекторов. Каждый базисный псевдовектор образован из внешнего (клинового) произведения всех, кроме одного, из n базисных векторов. Например, в четырех измерениях, где базисные векторы берутся как { e ₁ , e ₂ , e ₃ , e ₄ }, псевдовекторы можно записать как: { e ₂₃₄ , e ₁₃₄ , e ₁₂₄ , e ₁₂₃ }.

Свойства преобразования псевдовектора в трех измерениях сравнивались Бейлисом со свойствами векторного векторного произведения . ^[10] Он говорит: «Термины аксиальный вектор и псевдовектор часто рассматриваются как синонимы, но весьма полезно уметь отличать бивектор от его дуального». Перефразируя Бейлиса: если даны два полярных вектора (то есть истинные векторы) a и b в трех измерениях, векторное произведение, составленное из a и b, является вектором, нормальным к их плоскости, заданным как c = a × b . Если задан набор правосторонних ортонормальных базисных векторов { e _ℓ } , векторное произведение выражается через его компоненты следующим образом:

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left(a^{2}b^{3}-a^{3}b^{2}\right)\mathbf {e} _{1}+\left(a^{3}b^{1}-a^{1}b^{3}\right)\mathbf {e} _{2}+\left(a^{1}b^{2}-a^{2}b^{1}\right)\mathbf {e} _{3},}$

где верхние индексы обозначают компоненты вектора. С другой стороны, плоскость двух векторов представлена ​​внешним произведением или произведением клиньев, обозначаемым как a ∧ b . В этом контексте геометрической алгебры этот бивектор называется псевдовектором и является двойственным по Ходжу векторным произведением. ^[11] Двойственное по отношению к e ₁ вводится как e ₂₃ ≡ e ₂ e ₃ = e ₂ ∧ e ₃ и так далее. То есть, двойственное по отношению к e 1 _{является} подпространством, перпендикулярным e ₁ , а именно подпространством, охватываемым e ₂ и e ₃ . С этим пониманием, ^[12]

${\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =\left(a^{2}b^{3}-a^{3}b^{2}\right)\mathbf {e} _{23}+\left(a^{3}b^{1}-a^{1}b^{3}\right)\mathbf {e} _{31}+\left(a^{1}b^{2}-a^{2}b^{1}\right)\mathbf {e} _{12}\ .}$

Подробности см. в разделе Оператор звезды Ходжа § Три измерения . Перекрестное произведение и клиновидное произведение связаны соотношением:

${\displaystyle \mathbf {a} \ \wedge \ \mathbf {b} ={\mathit {i}}\ \mathbf {a} \ \times \ \mathbf {b} \ ,}$

где i = e ₁ ∧ e ₂ ∧ e ₃ называется единичным псевдоскаляром . ^{[13] [14]} Он обладает свойством: ^[15]

${\displaystyle {\mathit {i}}^{2}=-1\ .}$

Используя приведенные выше соотношения, видно, что если векторы a и b инвертируются путем изменения знаков их компонентов, оставляя базисные векторы фиксированными, то и псевдовектор, и векторное произведение инвариантны. С другой стороны, если компоненты фиксированы, а базисные векторы e _ℓ инвертированы, то псевдовектор инвариантен, но векторное произведение меняет знак. Такое поведение векторных произведений согласуется с их определением как вектороподобных элементов, которые меняют знак при преобразовании из правой в левую систему координат, в отличие от полярных векторов.

В качестве отступления можно отметить, что не все авторы в области геометрической алгебры используют термин псевдовектор, а некоторые авторы следуют терминологии, которая не различает псевдовектор и векторное произведение. ^[16] Однако, поскольку векторное произведение не обобщается на измерения, отличные от трех, ^[17] понятие псевдовектора, основанное на векторном произведении, также не может быть распространено на пространство с любым другим числом измерений. Псевдовектор как ( n – 1) -лезвие в n -мерном пространстве не ограничено таким образом.

Еще одно важное замечание заключается в том, что псевдовекторы, несмотря на свое название, являются «векторами» в том смысле, что являются элементами векторного пространства . Идея о том, что «псевдовектор отличается от вектора», верна только при другом и более конкретном определении термина «вектор», как обсуждалось выше.

• Внешняя алгебра
• Алгебра Клиффорда
• Антивектор , обобщение псевдовектора в алгебре Клиффорда
• Ориентируемость — обсуждение неориентируемых пространств.
• Плотность тензора