Теория характера

В математике , а точнее в теории групп , характер представления группы — это функция на группе , которая сопоставляет каждому элементу группы след соответствующей матрицы . Характер несет существенную информацию о представлении в более сжатой форме. Георг Фробениус первоначально разработал теорию представлений конечных групп, полностью основанную на характерах, и без какой-либо явной матричной реализации самих представлений. Это возможно, поскольку сложное представление конечной группы определяется (с точностью до изоморфизма ) ее характером. Ситуация с представлениями над полем положительной характеристики , так называемыми «модулярными представлениями», более деликатна, но Рихард Брауэр разработал мощную теорию характеров и в этом случае. Многие глубокие теоремы о структуре конечных групп используют характеры модулярных представлений .

Характеры неприводимых представлений кодируют многие важные свойства группы и, таким образом, могут быть использованы для изучения ее структуры. Теория характеров является важнейшим инструментом в классификации конечных простых групп . Почти половина доказательства теоремы Фейта –Томпсона включает в себя сложные вычисления со значениями характеров. Более простые, но все же важные результаты, которые используют теорию характеров, включают теорему Бернсайда (с тех пор было найдено чисто групповое доказательство теоремы Бернсайда, но это доказательство появилось более чем через полвека после оригинального доказательства Бернсайда) и теорему Ричарда Брауэра и Мичио Судзуки, утверждающую, что конечная простая группа не может иметь обобщенную группу кватернионов в качестве своей силовской 2 -подгруппы .

Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем F, и пусть ρ  : G → GL( V ) — представление группы G на V. Характер ρ — это функция χ _ρ  : G → F, заданная формулой

${\displaystyle \chi _{\rho }(g)=\operatorname {Tr} (\rho (g))}$

где Tr — след .

Характер χ _ρ называется неприводимым или простым , если ρ — неприводимое представление . Степень характера χ — это размерность ρ ; в нулевой характеристике она равна значению χ (1) . Характер степени 1 называется линейным . Когда G конечна, а F имеет нулевую характеристику, ядро ​​характера χ _ρ — это нормальная подгруппа :

${\displaystyle \ker \chi _{\rho }:=\left\lbrace g\in G\mid \chi _{\rho }(g)=\chi _{\rho }(1)\right\rbrace ,}$

что в точности является ядром представления ρ . Однако характер не является гомоморфизмом групп в общем случае.

• Характеры являются функциями класса , то есть каждый из них принимает постоянное значение на заданном классе сопряженности . Точнее, множество неприводимых характеров заданной группы G в поле F образуют базис F - векторного пространства всех функций класса G → F.
• Изоморфные представления имеют одинаковые характеры. Над полем характеристики 0 два представления изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый характер. ^[1]
• Если представление является прямой суммой подпредставлений , то соответствующий символ является суммой символов этих подпредставлений.
• Если характер конечной группы G ограничен подгруппой H , то результат также является характером H.
• Каждое значение символа χ ( g ) является суммой n корней m -й степени из единицы , где n — степень (то есть размерность связанного векторного пространства) представления с символом χ , а m — порядок g . В частности, когда F = C , каждое такое значение символа является алгебраическим целым числом .
• Если F = C и χ неприводимо, то — алгебраическое целое число для всех x из G.$${\displaystyle [G:C_{G}(x)]{\frac {\chi (x)}{\chi (1)}}}$$
• Если F алгебраически замкнуто и char ( F ) не делит порядок G , то число неприводимых характеров G равно числу классов сопряженности G . Более того, в этом случае степени неприводимых характеров являются делителями порядка G (и они даже делят [ G  : Z ( G )] , если F = C ).

Пусть ρ и σ — представления G. Тогда справедливы следующие тождества:

• ${\displaystyle \chi _{\rho \oplus \sigma } = \chi _{\rho }+\chi _{\sigma }}$
• ${\displaystyle \chi _{\rho \otimes \sigma }=\chi _{\rho }\cdot \chi _{\sigma }}$
• ${\displaystyle \chi _{\rho ^{*}}={\overline {\chi _{\rho }}}}$
• ${\displaystyle \chi _{{\scriptscriptstyle {\rm {{Alt}^{2}}}}\rho }(g)={\tfrac {1}{2}}\!\left[\left(\chi _{\rho }(g)\right)^{2}-\chi _{\rho }(g^{2})\right]}$
• ${\displaystyle \chi _{{\scriptscriptstyle {\rm {{Sym}^{2}}}}\rho }(g)={\tfrac {1}{2}}\!\left[\left(\chi _{\rho }(g)\right)^{2}+\chi _{\rho }(g^{2})\right]}$

где ρ ⊕ σ — прямая сумма , ρ ⊗ σ — тензорное произведение , ρ ^∗ обозначает сопряженное транспонирование ρ , а Alt ² — знакопеременное произведение Alt ² ρ = ρ ∧ ρ , а Sym ² — симметричный квадрат , который определяется как$${\displaystyle \rho \otimes \rho =\left(\rho \wedge \rho \right)\oplus {\textrm {Sym}}^{2}\rho .}$$

Неприводимые комплексные характеры конечной группы образуют таблицу характеров , которая кодирует много полезной информации о группе G в компактной форме. Каждая строка помечена неприводимым представлением, а записи в строке являются характерами представления на соответствующем классе сопряженности G . Столбцы помечены (представителями) классов сопряженности G . Принято помечать первую строку характером тривиального представления , которое является тривиальным действием G на одномерном векторном пространстве для всех . Поэтому каждая запись в первой строке равна 1. Аналогично, принято помечать первый столбец единицей. Поэтому первый столбец содержит степень каждого неприводимого характера.${\displaystyle \rho (g)=1}$${\displaystyle g\in G}$

Вот таблица символов

${\displaystyle C_{3}=\langle u\mid u^{3}=1\rangle ,}$

циклическая группа с тремя элементами и генератором u :

где ω — примитивный корень третьей степени из единицы.

Таблица характеров всегда квадратная, поскольку число неприводимых представлений равно числу классов сопряженности. ^[2]

Пространство комплекснозначных функций класса конечной группы G имеет естественное скалярное произведение :

${\displaystyle \left\langle \alpha ,\beta \right\rangle :={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\alpha (g){\overline {\beta (g)}}}$

где β ( g ) — комплексно сопряженное число β ( g ) . Относительно этого внутреннего произведения неприводимые характеры образуют ортонормированный базис для пространства функций класса, и это дает отношение ортогональности для строк таблицы характеров:

${\displaystyle \left\langle \chi _{i},\chi _{j}\right\rangle ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}i\neq j,\\1&{\mbox{ if }}i=j.\end{cases}}}$

Для g , h в G применение того же скалярного произведения к столбцам таблицы символов дает:

${\displaystyle \sum _{\chi _{i}}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{i}(h)}}={\begin{cases}\left|C_{G}(g)\right|,&{\mbox{ if }}g,h{\mbox{ are conjugate }}\\0&{\mbox{ otherwise.}}\end{cases}}}$

где сумма берется по всем неприводимым характерам χ _i группы G , а символ | C _G ( g )| обозначает порядок централизатора g . Обратите внимание, что поскольку g и h сопряжены тогда и только тогда, когда они находятся в одном столбце таблицы характеров, это означает, что столбцы таблицы характеров ортогональны.

Соотношения ортогональности могут помочь во многих вычислениях, включая:

• Разложение неизвестного символа в линейную комбинацию неприводимых символов.
• Построение полной таблицы символов, когда известны только некоторые неприводимые символы.
• Нахождение порядков централизаторов представителей классов сопряженности группы.
• Нахождение порядка в группе.

Некоторые свойства группы G можно вывести из ее таблицы характеров:

• Порядок G задается суммой квадратов элементов первого столбца (степени неприводимых символов). В более общем смысле, сумма квадратов абсолютных значений элементов любого столбца дает порядок централизатора элемента соответствующего класса сопряженности.
• Все нормальные подгруппы группы G (и, следовательно, является ли группа G простой) можно узнать из ее таблицы характеров. Ядро характера χ — это множество элементов g в группе G, для которых χ ( g ) = χ (1) ; это нормальная подгруппа группы G . Каждая нормальная подгруппа группы G является пересечением ядер некоторых неприводимых характеров группы G .
• Коммутант группы G является пересечением ядер линейных характеров группы G.
• Если G конечен, то, поскольку таблица характеров квадратная и имеет столько же строк, сколько классов сопряженности, следует, что G абелева тогда и только тогда, когда каждый класс сопряженности является синглетоном, и тогда и только тогда, когда таблица характеров группы G является линейна.${\displaystyle |G|\!\times \!|G|}$
• Из некоторых результатов Ричарда Брауэра из теории модульных представлений следует , что простые делители порядков элементов каждого класса сопряженности конечной группы могут быть выведены из ее таблицы характеров (наблюдение Грэма Хигмана ).

Таблица характеров в общем случае не определяет группу с точностью до изоморфизма : например, группа кватернионов Q и диэдральная группа из 8 элементов D ₄ имеют одну и ту же таблицу характеров. Брауэр задался вопросом, определяет ли таблица характеров вместе со знанием того, как распределены степени элементов ее классов сопряженности, конечную группу с точностью до изоморфизма. В 1964 году на этот вопрос ответил отрицательно EC Dade .

Линейные представления G сами по себе являются группой относительно тензорного произведения , поскольку тензорное произведение одномерных векторных пространств снова одномерно. То есть, если и являются линейными представлениями, то определяет новое линейное представление. Это приводит к группе линейных характеров, называемой группой характеров относительно операции . Эта группа связана с характерами Дирихле и анализом Фурье .${\displaystyle \rho _{1}:G\to V_{1}}$${\displaystyle \rho _{2}:G\to V_{2}}$${\displaystyle \rho _{1}\otimes \rho _{2}(g)=(\rho _{1}(g)\otimes \rho _{2}(g))}$${\displaystyle [\chi _{1}*\chi _{2}](g)=\chi _{1}(g)\chi _{2}(g)}$

Характеры, обсуждаемые в этом разделе, предполагаются комплекснозначными. Пусть H — подгруппа конечной группы G . Для данного характера χ группы G пусть χ _H обозначает его ограничение на H . Пусть θ — характер группы H . Фердинанд Георг Фробениус показал, как построить характер группы G из θ , используя то, что сейчас известно как взаимность Фробениуса . Поскольку неприводимые характеры группы G образуют ортонормированный базис для пространства комплекснозначных функций класса группы G , существует единственная функция класса θ ^G группы G со свойством

${\displaystyle \langle \theta ^{G},\chi \rangle _{G}=\langle \theta ,\chi _{H}\rangle _{H}}$

для каждого неприводимого характера χ группы G (самый левый внутренний продукт — для функций класса группы G , а самый правый внутренний продукт — для функций класса группы H ). Поскольку ограничение характера группы G на подгруппу H снова является характером группы H , это определение ясно показывает, что θ ^G является неотрицательной целочисленной комбинацией неприводимых характеров группы G , поэтому действительно является характером группы G . Он известен как характер группы G, индуцированный из θ . Определяющая формула взаимности Фробениуса может быть распространена на общие комплекснозначные функции класса.

Учитывая матричное представление ρ группы H , Фробениус позже дал явный способ построения матричного представления G , известного как представление, индуцированное из ρ , и записываемого аналогично как ρ ^G . Это привело к альтернативному описанию индуцированного характера θ ^G . Этот индуцированный характер обращается в нуль на всех элементах G , которые не сопряжены ни с одним элементом H . Поскольку индуцированный характер является функцией класса G , теперь необходимо только описать его значения на элементах H . Если записать G как несвязное объединение правых смежных классов H , скажем

${\displaystyle G=Ht_{1}\cup \ldots \cup Ht_{n},}$

тогда, учитывая элемент h из H , мы имеем:

${\displaystyle \theta ^{G}(h)=\sum _{i\ :\ t_{i}ht_{i}^{-1}\in H}\theta \left(t_{i}ht_{i}^{-1}\right).}$

Поскольку θ является функцией класса H , это значение не зависит от конкретного выбора представителей смежного класса.

Это альтернативное описание индуцированного характера иногда позволяет явное вычисление из относительно небольшой информации о вложении H в G и часто полезно для вычисления конкретных таблиц характеров. Когда θ является тривиальным характером H , полученный индуцированный характер известен как характер перестановки G (на смежных классах H ).

Общая техника индукции характера и ее более поздние усовершенствования нашли многочисленные применения в теории конечных групп и в других областях математики в руках таких математиков, как Эмиль Артин , Ричард Брауэр , Вальтер Фейт и Митио Судзуки , а также самого Фробениуса.

Разложение Макки было определено и исследовано Джорджем Макки в контексте групп Ли , но является мощным инструментом в теории характеров и теории представлений конечных групп. Его основная форма касается того, как характер (или модуль), индуцированный из подгруппы H конечной группы G, ведет себя при ограничении обратно на (возможно, другую) подгруппу K группы G , и использует разложение G на ( H , K ) -двойные смежные классы.

Если — несвязное объединение, а θ — комплексная классовая функция H , то формула Макки утверждает, что${\textstyle G=\bigcup _{t\in T}HtK}$

${\displaystyle \left(\theta ^{G}\right)_{K}=\sum _{t\in T}\left(\left[\theta ^{t}\right]_{t^{-1}Ht\cap K}\right)^{K},}$

где θ ^t — классовая функция t ⁻¹ Ht, определяемая соотношением θ ^t ( t ⁻¹ ht ) = θ ( h ) для всех h в H . Существует аналогичная формула для ограничения индуцированного модуля на подгруппу, которая справедлива для представлений над любым кольцом и имеет приложения в самых разных алгебраических и топологических контекстах.

Разложение Макки в сочетании с взаимностью Фробениуса дает хорошо известную и полезную формулу для внутреннего произведения двух функций класса θ и ψ , индуцированных из соответствующих подгрупп H и K , полезность которой заключается в том, что она зависит только от того, как сопряженные H и K пересекаются друг с другом. Формула (с ее выводом) имеет вид:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle \theta ^{G},\psi ^{G}\right\rangle &=\left\langle \left(\theta ^{G}\right)_{K},\psi \right\rangle \\&=\sum _{t\in T}\left\langle \left(\left[\theta ^{t}\right]_{t^{-1}Ht\cap K}\right)^{K},\psi \right\rangle \\&=\sum _{t\in T}\left\langle \left(\theta ^{t}\right)_{t^{-1}Ht\cap K},\psi _{t^{-1}Ht\cap K}\right\rangle ,\end{aligned}}}$

(где T — полный набор представителей ( H , K ) -двойного смежного класса, как и прежде). Эта формула часто используется, когда θ и ψ являются линейными характерами, в этом случае все скалярные произведения, появляющиеся в правой сумме, равны либо 1 , либо 0 , в зависимости от того, имеют ли линейные характеры θ ^t и ψ одно и то же ограничение на t ⁻¹ Ht ∩ K . Если θ и ψ оба являются тривиальными характерами, то скалярное произведение упрощается до | T | .

Характер представления можно интерпретировать как «скрученную» размерность векторного пространства . ^[3] Рассматривая характер как функцию элементов группы χ ( g ) , его значение в тождестве является размерностью пространства, поскольку χ (1) = Tr( ρ (1)) = Tr( I _V ) = dim( V ) . Соответственно, можно рассматривать другие значения характера как «скрученные» размерности. ^{[ необходимо разъяснение ]}

Можно найти аналоги или обобщения утверждений об измерениях на утверждения о характерах или представлениях. Изысканный пример этого встречается в теории чудовищного лунного света : j ​​-инвариант является градуированной размерностью бесконечномерного градуированного представления группы Monster , а замена размерности на характер дает ряд Маккея–Томпсона для каждого элемента группы Monster. ^[3]

Если — группа Ли и конечномерное представление , то характер определяется точно так же, как для любой группы:${\displaystyle G}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \chi _{\rho }}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \chi _{\rho }(g)=\operatorname {Tr} (\rho (g))}$.

Между тем, если — алгебра Ли и конечномерное представление , то мы можем определить характер следующим образом:${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \chi _{\rho }}$

${\displaystyle \chi _{\rho }(X)=\operatorname {Tr} (e^{\rho (X)})}$.

Характер будет удовлетворять для всех в ассоциированной группе Ли и всех . Если у нас есть представление группы Ли и ассоциированное представление алгебры Ли, характер представления алгебры Ли связан с характером представления группы формулой${\displaystyle \chi _{\rho }(\operatorname {Ad} _{g}(X))=\chi _{\rho }(X)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \chi _{\rho }}$${\displaystyle \mathrm {X} _{\rho }}$

${\displaystyle \chi _{\rho }(X)=\mathrm {X} _{\rho }(e^{X})}$.

Предположим теперь, что — комплексная полупростая алгебра Ли с подалгеброй Картана . Значение характера неприводимого представления определяется его значениями на . Ограничение характера на можно легко вычислить в терминах весовых пространств следующим образом:${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \chi _{\rho }}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle \chi _{\rho }(H)=\sum _{\lambda }m_{\lambda }e^{\lambda (H)},\quad H\in {\mathfrak {h}}}$,

где сумма берется по всем весам и где — кратность . ^[4]${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle m_{\lambda }}$${\displaystyle \lambda }$

(Ограничение ) характера можно вычислить более явно с помощью формулы характера Вейля.${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

• Неприводимое представление § Приложения в теоретической физике и химии
• Схемы ассоциации , комбинаторное обобщение теории групповых характеров.
• Теория Клиффорда , введенная А. Х. Клиффордом в 1937 году , дает информацию об ограничении сложного неприводимого характера конечной группы G на нормальную подгруппу N.
• Формула Фробениуса
• Действительный элемент , элемент группы g , такой что χ ( g ) является действительным числом для всех символов χ

• Персонаж на PlanetMath .