Формула Фробениуса

В математике, в частности в теории представлений , формула Фробениуса , введенная Г. Фробениусом , вычисляет характеры неприводимых представлений симметрической группы S _n . Среди других приложений формула может быть использована для вывода формулы длины крюка .

Пусть будет характером неприводимого представления симметрической группы, соответствующего разбиению n : и . Для каждого разбиения n пусть обозначает класс сопряженности в , соответствующий ему (ср. пример ниже), и пусть обозначает количество раз, когда j появляется в (so ). Тогда формула Фробениуса утверждает, что постоянное значение на${\displaystyle \chi _{\lambda }}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle \лямбда}$${\displaystyle n=\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{k}}$${\displaystyle \ell _{j}=\lambda _{j}+kj}$${\displaystyle \мю}$${\displaystyle C(\mu )}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle i_{j}}$${\displaystyle \мю}$${\displaystyle \sum _{j}i_{j}j=n}$${\displaystyle \chi _{\lambda }}$${\displaystyle C(\mu),}$

${\displaystyle \chi _ {\lambda }(C(\mu)),}$

- коэффициент одночлена в однородном многочлене от переменных${\displaystyle x_{1}^{\ell _{1}}\dots x_{k}^{\ell _{k}}}$${\displaystyle к}$

${\displaystyle \prod _{i<j}^{k}(x_{i}-x_{j})\;\prod _{j}P_{j}(x_{1},\dots ,x_{k})^{i_{j}},}$

где - сумма в -й степени .${\displaystyle P_{j}(x_{1},\dots ,x_{k})=x_{1}^{j}+\dots +x_{k}^{j}}$${\displaystyle j}$

Пример : Возьмем . Пусть и, следовательно , , , . Если ( ), что соответствует классу единичного элемента, то есть коэффициент в${\displaystyle n=4}$${\displaystyle \lambda :4=2+2=\lambda _{1}+\lambda _{2}}$${\displaystyle к=2}$${\displaystyle \ell _{1}=3}$${\displaystyle \ell _{2}=2}$${\displaystyle \mu :4=1+1+1+1}$${\displaystyle i_{1}=4}$${\displaystyle \chi _ {\lambda }(C(\mu))}$${\displaystyle x_{1}^{3}x_{2}^{2}}$

${\displaystyle (x_{1}-x_{2})P_{1}(x_{1},x_{2})^{4}=(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})^{4}}$

что равно 2. Аналогично, если (класс 3-цикла умножить на 1-цикл) и , то , задается формулой${\displaystyle \mu :4=3+1}$${\displaystyle i_{1}=i_{3}=1}$${\displaystyle \chi _ {\lambda }(C(\mu))}$

${\displaystyle (x_{1}-x_{2})P_{1}(x_{1},x_{2})P_{3}(x_{1},x_{2})=(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}),}$

равно −1.

Для представления тождества и . Символ будет равен коэффициенту в , который равен 1 для любого , как и ожидалось.${\displaystyle к=1}$${\displaystyle \lambda _{1}=n=\ell _{1}}$${\displaystyle \chi _ {\lambda }(C(\mu))}$${\displaystyle x_{1}^{n}}$${\displaystyle \prod _{j}P_{j}(x_{1})^{i_{j}}=\prod _{j}x_{1}^{i_{j}j}=x_{1}^{\sum _{j}i_{j}j}=x_{1}^{n}}$${\displaystyle \мю}$

Арун Рам дает q -аналог формулы Фробениуса. ^[1]

• Теория представлений симметрических групп

• Рам, Арун (1991). «Формула Фробениуса для характеров алгебр Гекке». Математические изобретения . 106 (1): 461–488.
• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Graduate Texts in Mathematics , Readings in Mathematics. Том 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR  1153249. OCLC  246650103.
• Macdonald, IG Симметричные функции и многочлены Холла. Второе издание. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, Нью-Йорк, 1995. x+475 стр.  ISBN 0-19-853489-2 MR 1354144 

Эта статья по алгебре — заглушка . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

• в
• т
• е