Проблема числового знака

В прикладной математике проблема численного знака — это проблема численной оценки интеграла высококолебательной функции большого числа переменных. Численные методы терпят неудачу из-за почти полного устранения положительных и отрицательных вкладов в интеграл. Каждый из них должен быть интегрирован с очень высокой точностью , чтобы их разность была получена с полезной точностью .

Проблема знаков является одной из основных нерешенных проблем в физике многочастичных систем . Она часто возникает при расчетах свойств квантово-механической системы с большим числом сильно взаимодействующих фермионов или в полевых теориях, включающих ненулевую плотность сильно взаимодействующих фермионов.

В физике проблема знака обычно (но не исключительно) встречается при расчетах свойств квантово-механической системы с большим числом сильно взаимодействующих фермионов или в полевых теориях, включающих ненулевую плотность сильно взаимодействующих фермионов. Поскольку частицы сильно взаимодействуют, теория возмущений неприменима, и приходится использовать численные методы грубой силы. Поскольку частицы являются фермионами, их волновая функция меняет знак, когда любые два фермиона меняются местами (из-за антисимметрии волновой функции, см. принцип Паули ). Таким образом, если нет сокращений, возникающих из-за некоторой симметрии системы, квантово-механическая сумма по всем многочастичным состояниям включает интеграл по функции, которая является сильно осциллирующей, поэтому ее трудно оценить численно, особенно в высокой размерности. Поскольку размерность интеграла задается числом частиц, проблема знака становится серьезной в термодинамическом пределе . Теоретико-полевое проявление проблемы знака обсуждается ниже.

Проблема знаков является одной из главных нерешенных проблем в физике многочастичных систем, препятствующей прогрессу во многих областях:

• Физика конденсированного состояния — препятствует численному решению систем с высокой плотностью сильно коррелированных электронов, таких как модель Хаббарда . ^[1]
• Ядерная физика — Она препятствует ab initio расчету свойств ядерной материи и, следовательно, ограничивает наше понимание ядер и нейтронных звезд .
• Квантовая теория поля — Она препятствует использованию решетчатой ​​КХД ^[2] для предсказания фаз и свойств кварковой материи . ^[3] (В решетчатой ​​теории поля эта проблема также известна как проблема комплексного действия .) ^[4]

^[a] В полевом подходе к многочастичным системам плотность фермионов контролируется значением химического потенциала фермионов . Вычисляется функция распределения путем суммирования по всем классическим конфигурациям полей, взвешенным по , где — действие конфигурации. Сумма по фермионным полям может быть выполнена аналитически, и остается сумма по бозонным полям (которые могли изначально быть частью теории или были получены с помощью преобразования Хаббарда–Стратоновича , чтобы сделать действие фермионов квадратичным)${\displaystyle \мю}$ ${\displaystyle Z}$${\displaystyle \exp(-S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \сигма}$

${\displaystyle Z=\int D\sigma \,\rho [\sigma ],}$

где представляет собой меру суммы по всем конфигурациям бозонных полей, взвешенную по${\displaystyle D\сигма}$${\displaystyle \сигма (x)}$

${\displaystyle \rho [\sigma ]=\det(M(\mu ,\sigma ))\exp(-S[\sigma ]),}$

где теперь действие бозонных полей, а — матрица, которая кодирует, как фермионы были связаны с бозонами. Ожидаемое значение наблюдаемой величины, таким образом, является средним по всем конфигурациям, взвешенным по :${\displaystyle S}$${\displaystyle M(\мю ,\сигма )}$${\displaystyle A[\сигма]}$${\displaystyle \rho [\sigma ]}$

${\displaystyle \langle A\rangle _{\rho }={\frac {\int D\sigma \,A[\sigma ]\,\rho [\sigma ]}{\int D\sigma \,\rho [\sigma ]}}.}$

Если положительно, то его можно интерпретировать как вероятностную меру и рассчитать, выполнив численное суммирование по конфигурациям полей, используя стандартные методы, такие как выборка по важности Монте-Карло .${\displaystyle \rho [\sigma ]}$${\displaystyle \langle A\rangle _{\rho }}$

Проблема знака возникает, когда не является положительным. Это обычно происходит в теориях фермионов, когда химический потенциал фермиона отличен от нуля, т.е. когда есть ненулевая фоновая плотность фермионов. Если , то нет симметрии частица-античастица, и , и, следовательно, вес , в общем случае является комплексным числом , поэтому выборка важности Монте-Карло не может быть использована для оценки интеграла.${\displaystyle \rho [\sigma ]}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu \neq 0}$${\displaystyle \det(M(\mu ,\sigma ))}$${\displaystyle \rho (\sigma )}$

Теория поля с неположительным весом может быть преобразована в теорию с положительным весом путем включения неположительной части (знака или комплексной фазы) веса в наблюдаемую. Например, можно разложить весовую функцию на ее модуль и фазу:

${\displaystyle \rho [\sigma ]=p[\sigma ]\,\exp(i\theta [\sigma ]),}$

где реально и положительно, так${\displaystyle p[\sigma ]}$

${\displaystyle \langle A\rangle _{\rho }={\frac {\int D\sigma A[\sigma ]\exp(i\theta [\sigma ])\,p[\sigma ]}{\int D\sigma \exp(i\theta [\sigma ])\,p[\sigma ]}}={\frac {\langle A[\sigma ]\exp(i\theta [\sigma ])\rangle _{p}}{\langle \exp(i\theta [\sigma ])\rangle _{p}}}.}$

Обратите внимание, что желаемое ожидаемое значение теперь является отношением, где числитель и знаменатель являются ожидаемыми значениями, которые оба используют положительную весовую функцию . Однако фаза является высококолебательной функцией в пространстве конфигураций, поэтому, если использовать методы Монте-Карло для оценки числителя и знаменателя, каждый из них будет оцениваться как очень малое число, точное значение которого будет затоплено шумом, присущим процессу выборки Монте-Карло. «Плохость» проблемы знака измеряется малостью знаменателя : если он намного меньше 1, то проблема знака серьезна. Можно показать ^[5] , что${\displaystyle p[\sigma ]}$${\displaystyle \exp(i\theta [\sigma ])}$${\displaystyle \langle \exp(i\theta [\sigma ])\rangle _{p}}$

${\displaystyle \langle \exp(i\theta [\sigma ])\rangle _{p}\propto \exp(-fV/T),}$

где — объем системы, — температура, — плотность энергии. Количество точек выборки Монте-Карло, необходимых для получения точного результата, поэтому экспоненциально растет по мере увеличения объема системы и снижения температуры до нуля.${\displaystyle V}$${\displaystyle T}$${\displaystyle f}$

Разложение весовой функции на модуль и фазу — это всего лишь один пример (хотя он был предложен как оптимальный выбор, поскольку минимизирует дисперсию знаменателя ^[6] ). В общем случае можно записать

${\displaystyle \rho [\sigma ]=p[\sigma ]{\frac {\rho [\sigma ]}{p[\sigma ]}},}$

где может быть любая положительная весовая функция (например, весовая функция теории ). ^[7] Плохость проблемы знака затем измеряется как${\displaystyle p[\sigma ]}$${\displaystyle \mu =0}$

${\displaystyle \left\langle {\frac {\rho [\sigma ]}{p[\sigma ]}}\right\rangle _{p}\propto \exp(-fV/T),}$

который снова стремится к нулю экспоненциально в пределе большого объема.

Проблема знака является NP-трудной , что подразумевает, что полное и общее решение проблемы знака также решит все проблемы в классе сложности NP за полиномиальное время. ^[8] Если (как обычно предполагается) не существует решений за полиномиальное время для проблем NP (см. P против проблемы NP ), то не существует и общего решения проблемы знака. Это оставляет открытой возможность того, что могут быть решения, которые работают в конкретных случаях, где колебания подынтегральной функции имеют структуру, которую можно использовать для уменьшения числовых ошибок.

В системах с умеренной проблемой знака, таких как теории поля при достаточно высокой температуре или в достаточно малом объеме, проблема знака не слишком серьезна, и полезные результаты могут быть получены различными методами, такими как более тщательно настроенное перевзвешивание, аналитическое продолжение от мнимого к действительному или разложение Тейлора по степеням . ^{[3] [9]}${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$

Существуют различные предложения по решению систем с серьезной проблемой знаков:

• Контурная деформация: Пространство поля комплексифицируется, а контур интеграла по траектории деформируется из другого -мерного многообразия, вложенного в комплексное пространство. ^[10]${\displaystyle R^{N}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle C^{N}}$

• Алгоритмы мерон -кластера: Они достигают экспоненциального ускорения путем разложения фермионных мировых линий на кластеры, которые вносят независимый вклад. Алгоритмы кластера были разработаны для определенных теорий, ^[5], но не дляэлектронов Хаббарда , ни для КХД , т. е. теории кварков.

• Стохастическое квантование : сумма по конфигурациям получается как равновесное распределение состояний, исследуемое сложным уравнением Ланжевена . До сих пор было обнаружено, что алгоритм обходит проблему знака в тестовых моделях, которые имеют проблему знака, но не включают фермионы. ^[11]

• Алгоритмы Майораны: использование представления фермионов Майораны для выполнения преобразований Хаббарда-Стратоновича может помочь решить проблему знака фермиона в классе фермионных моделей многих тел. ^{[12] [13]}

• Метод Монте-Карло с фиксированным узлом: фиксируется местоположение узлов (нулей) многочастичной волновой функции и используются методы Монте-Карло для получения оценки энергии основного состояния с учетом этого ограничения. ^[14]

• Диаграммный Монте-Карло : стохастическая и стратегическая выборка диаграмм Фейнмана также может сделать проблему знаков более поддающейся решению для подхода Монте-Карло, который в противном случае был бы вычислительно невыполним. ^[15]

• Метод стационарной фазы
• Колебательный интеграл