Негипотенузное число

Число, квадрат которого не является суммой двух ненулевых квадратов

В математике негипотенузное число — это натуральное число , квадрат которого не может быть записан в виде суммы двух ненулевых квадратов. Название происходит от того факта, что ребро длины, равной негипотенузному числу, не может образовывать гипотенузу прямоугольного треугольника с целыми сторонами .

Числа 1, 2, 3 и 4 являются негипотенузными числами. Число 5, однако, не является негипотенузным числом, так как . $5^{2}=3^{2}+4^{2}$

Первые пятьдесят негипотенузных чисел:

1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 18, 19, 21, 22, 23, 24, 27, 28, 31, 32, 33, 36, 38, 42, 43, 44, 46, 47, 48, 49, 54, 56, 57, 59, 62, 63, 64, 66, 67, 69, 71, 72, 76, 77, 79, 81, 83, 84 (последовательность A004144 в OEIS )

Хотя негипотенузные числа распространены среди малых целых чисел, они становятся все более и более редкими для больших чисел. Тем не менее, существует бесконечно много негипотенузных чисел, и число негипотенузных чисел, не превышающих значение x, асимптотически масштабируется с x / √ log x . ^[1]

Негипотенузные числа — это числа, которые не имеют простых множителей вида 4 k +1 . ^[2] Эквивалентно, это числа, которые не могут быть выражены в виде, где K , m , и n — все положительные целые числа. Число, простые множители которого не все имеют вид 4 k +1 , не может быть гипотенузой примитивного целочисленного прямоугольного треугольника (того, у которого стороны не имеют нетривиального общего делителя), но все еще может быть гипотенузой непримитивного треугольника. ^[3] $К(м^{2}+н^{2})$

Негипотенузные числа были применены для доказательства существования цепочек сложения , которые вычисляют первые квадратные числа, используя только сложение. ^[4] $n$ $n+o(n)$

Смотрите также

Ссылки

^ DS; Бейлер, Альберт Х. (1968), "Альберт Бейлер, Последовательные гипотенузы пифагорейских треугольников ", Математика вычислений , 22 (103): 690– 692, doi :10.2307/2004563, JSTOR 2004563. Этот обзор рукописи Бейлера (которая была позже опубликована в J. Rec. Math. 7 (1974) 120–133, MR 0422125) приписывает эту связь Ландау.
^ Шэнкс, Д. (1975), «Числа без гипотенузы», Fibonacci Quarterly , 13 (4): 319– 321, doi :10.1080/00150517.1975.12430618, MR 0387219 .
^ Бейлер, Альберт (1966), Развлечения в теории чисел: Королева математики развлекает (2-е изд.), Нью-Йорк: Dover Publications, стр. 116-117, ISBN 978-0-486-21096-4
^ Добкин, Дэвид ; Липтон, Ричард Дж. (1980), «Методы цепочек сложения для оценки конкретных полиномов», SIAM Journal on Computing , 9 (1): 121– 125, doi :10.1137/0209011, MR 0557832

Внешние ссылки

Последовательность OEIS A004144 (Негипотенузные числа)
Последовательность OEIS A125667 (номера Eta)

[1] DS; Бейлер, Альберт Х. (1968), "Альберт Бейлер, Последовательные гипотенузы пифагорейских треугольников ", Математика вычислений , 22 (103): 690– 692, doi :10.2307/2004563, JSTOR 2004563. Этот обзор рукописи Бейлера (которая была позже опубликована в J. Rec. Math. 7 (1974) 120–133, MR 0422125) приписывает эту связь Ландау.

[2] Шэнкс, Д. (1975), «Числа без гипотенузы», Fibonacci Quarterly , 13 (4): 319– 321, doi :10.1080/00150517.1975.12430618, MR 0387219 .

[3] Бейлер, Альберт (1966), Развлечения в теории чисел: Королева математики развлекает (2-е изд.), Нью-Йорк: Dover Publications, стр. 116-117, ISBN 978-0-486-21096-4

[4] Добкин, Дэвид ; Липтон, Ричард Дж. (1980), «Методы цепочек сложения для оценки конкретных полиномов», SIAM Journal on Computing , 9 (1): 121– 125, doi :10.1137/0209011, MR 0557832