Константа Ландау–Рамануджана

В математике и области теории чисел константа Ландау –Рамануджана — это положительное действительное число b , которое встречается в теореме, доказанной Эдмундом Ландау в 1908 году ^[1], утверждающей, что для больших число положительных целых чисел , которые являются суммой двух квадратных чисел , ведет себя асимптотически как${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\dfrac {bx}{\sqrt {\log(x)}}}.}$

Эта константа b была заново открыта в 1913 году Шринивасой Рамануджаном в его первом письме к Г. Х. Харди . ^[2]

По теореме о сумме двух квадратов числа, которые можно представить в виде суммы двух квадратов целых чисел, — это те, для которых каждое простое число, сравнимое с 3 mod 4, появляется с четным показателем степени в их разложении на простые множители . Например, 45 = 9 + 36 — это сумма двух квадратов; в его разложении на простые множители, 3 ²  × 5, простое число 3 появляется с четным показателем степени, а простое число 5 сравнимо с 1 mod 4, поэтому его показатель степени может быть нечетным.

Теорема Ландау утверждает, что если — число положительных целых чисел, меньших суммы двух квадратов, то${\displaystyle N(x)}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\ \left({\dfrac {N(x)}{\dfrac {x}{\sqrt {\log(x)}}}}\right)=b\approx 0,764223653589220662990698731250092328116790541}$(последовательность A064533 в OEIS ),

где — постоянная Ландау–Рамануджана.${\displaystyle б}$

Константу Ландау-Рамануджана можно также записать в виде бесконечного произведения:

${\displaystyle b={\frac {1}{\sqrt {2}}}\prod _{p\equiv 3{\pmod {4}}}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)^{-1/2}={\frac {\pi }{4}}\prod _{p\equiv 1{\pmod {4}}}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)^{1/2}.}$

Эта константа была указана Ландау в предельной форме выше; Рамануджан вместо этого аппроксимировал ее как интеграл с той же константой пропорциональности и с медленно растущим членом ошибки. ^[3]${\displaystyle N(x)}$