Атом (теория меры)

В математике , точнее в теории меры , атом — это измеримое множество, имеющее положительную меру и не содержащее множества меньших положительных мер. Мера, не имеющая атомов, называется неатомной или безатомной .

При наличии измеримого пространства и меры на этом пространстве множество в называется атомом, если и для любого измеримого подмножества , либо , либо . ^[1]${\displaystyle (X,\Сигма)}$ ${\displaystyle \мю}$${\displaystyle A\подмножество X}$${\displaystyle \Сигма}$$${\displaystyle \мю (А)>0}$$${\displaystyle B\subseteq A}$${\displaystyle \мю (Б)=0}$${\ displaystyle \ му (B) = \ му (A)}$

Класс эквивалентности определяется как , где — симметричный оператор разности . Если — атом, то все подмножества в являются атомами и называется атомным классом . ^[2] Если — конечная мера, то существует счетное число атомных классов.${\displaystyle А}$$${\displaystyle [A]:=\{B\in \Сигма :\мю (A\Дельта B)=0\},}$$${\displaystyle \Дельта}$${\displaystyle А}$${\displaystyle [А]}$${\displaystyle [А]}$${\displaystyle \мю}$${\displaystyle \сигма}$

• Рассмотрим множество X = {1, 2, ..., 9, 10} и пусть сигма-алгебра будет множеством мощности X. Определим меру множества как его мощность , то есть количество элементов в множестве. Тогда каждый из синглетонов { i } , для i = 1, 2, ..., 9, 10, является атомом.${\displaystyle \Сигма}$${\displaystyle \мю}$
• Рассмотрим меру Лебега на действительной прямой . Эта мера не имеет атомов.

-Конечная мера на измеримом пространстве называется атомарной или чисто атомарной , если каждое измеримое множество положительной меры содержит атом. Это эквивалентно утверждению, что существует счетное разбиение , образованное атомами вплоть до нулевого множества. ^[3] Предположение о -конечности является существенным. Рассмотрим иначе пространство , где обозначает счетную меру . Это пространство является атомарным, причем все атомы являются синглетонами , однако пространство не может быть разделено на непересекающееся объединение счетного числа непересекающихся атомов и нулевое множество , поскольку счетное объединение синглетонов является счетным множеством, а несчетность действительных чисел показывает, что дополнение должно быть несчетным, следовательно, его -мера будет бесконечной, в противоречии с тем, что оно является нулевым множеством. Справедливость результата для -конечных пространств следует из доказательства для пространств с конечной мерой путем наблюдения того, что счетное объединение счетных объединений снова является счетным объединением, и что счетные объединения нулевых множеств являются нулевыми.${\displaystyle \сигма}$${\displaystyle \мю}$ ${\displaystyle (X,\Сигма)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \сигма}$${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ),\nu )}$${\displaystyle \nu}$${\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$${\displaystyle N}$${\textstyle N=\mathbb {R} \setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle \сигма}$

-Конечная атомная мера называется дискретной, если пересечение атомов любого атомного класса непусто. Это эквивалентно ^[4] утверждению, что является взвешенной суммой счетного числа мер Дирака, то есть существует последовательность точек в , и последовательность положительных действительных чисел (весов) такая, что , что означает, что для каждого . Мы можем выбрать каждую точку в качестве общей точки атомов в -ом атомном классе.${\displaystyle \сигма}$${\displaystyle \мю}$${\displaystyle \мю}$${\displaystyle x_{1},x_{2},...}$${\displaystyle X}$${\displaystyle c_{1},c_{2},...}$${\textstyle \mu =\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\delta _{x_{k}}}$${\textstyle \mu (A)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\delta _{x_{k}}(A)}$${\displaystyle A\in \Сигма }$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle к}$

Дискретная мера атомарна, но обратная импликация не выполняется: возьмем , -алгебру счетных и сосчетных подмножеств, в счетных подмножествах и в сосчетных подмножествах. Тогда есть один атомарный класс, образованный сосчетными подмножествами. Мера атомарна, но пересечение атомов в уникальном атомарном классе пусто и не может быть представлено как сумма мер Дирака.${\displaystyle X=[0,1]}$${\displaystyle \Сигма}$${\displaystyle \сигма}$${\displaystyle \мю =0}$${\displaystyle \мю =1}$${\displaystyle \мю}$${\displaystyle \мю}$

Если каждый атом эквивалентен синглтону, то является дискретным тогда и только тогда, когда он атомарный. В этом случае вышеперечисленные являются атомарными синглтонами, поэтому они уникальны. Любая конечная мера в сепарабельном метрическом пространстве, снабженном борелевскими множествами, удовлетворяет этому условию. ^[5]${\displaystyle \мю}$${\displaystyle x_{k}}$

Мера, не имеющая атомов, называетсянеатомная мера илидиффузная мера . Другими словами, мераявляется неатомарной, если для любого измеримого множествассуществует измеримое подмножествотакое, что${\displaystyle \мю}$${\displaystyle А}$${\displaystyle \мю (А)>0}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle А}$$${\displaystyle \mu (A)>\mu (B)>0.}$$

Неатомарная мера с хотя бы одним положительным значением имеет бесконечное число различных значений, поскольку, начиная с набора с одним, можно построить убывающую последовательность измеримых множеств, такую ​​что${\displaystyle А}$${\displaystyle \мю (А)>0}$$${\displaystyle A=A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots }$$$${\displaystyle \mu (A)=\mu (A_{1})>\mu (A_{2})>\mu (A_{3})>\cdots >0.}$$

Это может быть не так для мер, имеющих атомы; см. первый пример выше.

Оказывается, что неатомарные меры на самом деле имеют континуум значений. Можно доказать, что если — неатомарная мера и — измеримое множество с то для любого действительного числа, удовлетворяющего , существует измеримое подмножество такое, что${\displaystyle \мю}$${\displaystyle А}$${\displaystyle \мю (А)>0,}$${\displaystyle б}$$${\displaystyle \mu (A)\geq b\geq 0}$$${\displaystyle Б}$${\displaystyle А}$$${\displaystyle \mu (B)=b.}$$

Эта теорема принадлежит Вацлаву Серпинскому . ^{[6] [7]} Она напоминает теорему о промежуточном значении для непрерывных функций.

Набросок доказательства теоремы Серпинского о неатомарных мерах. Немного более сильное утверждение, которое, однако, упрощает доказательство, состоит в том, что если — неатомарное мерное пространство и существует функция , монотонная относительно включения, и правая обратная к То есть существует однопараметрическое семейство измеримых множеств, такое что для всех Доказательство легко следует из леммы Цорна, примененной к множеству всех монотонных частичных сечений к  : упорядоченных по включению графов, Затем стандартно показать, что каждая цепь в имеет верхнюю границу в и что любой максимальный элемент из имеет область, доказывая утверждение.${\displaystyle (X,\Сигма,\мю)}$${\displaystyle \mu (X)=c,}$${\displaystyle S:[0,c]\to \Сигма }$${\displaystyle \mu :\Sigma \to [0,c].}$${\displaystyle S(т)}$${\displaystyle 0\leq t\leq t'\leq c}$$${\displaystyle S(t)\subseteq S(t'),}$$ $${\displaystyle \mu \left(S(t)\right)=t.}$$${\displaystyle \мю}$$${\displaystyle \Gamma :=\{S:D\to \Sigma \;:\;D\subseteq [0,c],\,S\;\mathrm {монотонно} ,{\text{ для всех }}t\in D\;(\mu (S(t))=t)\},}$$${\displaystyle \mathrm {график} (S)\subseteq \mathrm {график} (S').}$${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle \Гамма,}$${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle [0,c],}$

• Атом (теория порядка) — аналогичное понятие в теории порядка
• Дельта-функция Дирака
• Элементарное событие , также известное как атомарное событие

• Брукнер, Эндрю М.; Брукнер, Джудит Б.; Томсон, Брайан С. (1997). Реальный анализ . Верхняя Сэддл-Ривер, Нью-Джерси: Prentice-Hall. стр. 108. ISBN 0-13-458886-X.
• Бутнариу, Дэн; Клемент, Э.П. (1993). Треугольные меры на основе норм и игры с нечеткими коалициями . Дордрехт: Kluwer Academic. стр. 87. ISBN 0-7923-2369-6.
• Данфорд, Нельсон; Шварц, Якоб Т. (1988). Линейные операторы, часть 1. Нью-Йорк: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-60848-6.
• Кадец, Владимир (2018). «Курс функционального анализа и теории меры». Universitext . doi :10.1007/978-3-319-92004-7. ISSN  0172-5939.

• Атом в Энциклопедии математики