Нет бесплатного обеда с исчезающим риском

This article may be too technical for most readers to understand. Please help improve it to make it understandable to non-experts, without removing the technical details. (March 2021) (Learn how and when to remove this message)

Нет бесплатного обеда с исчезающим риском ( NFLVR ) — это концепция, используемая в математических финансах как усиление условия отсутствия арбитража . В непрерывных финансах существование эквивалентной мартингальной меры (EMM) больше не эквивалентно условию отсутствия арбитража (в отличие от дискретных финансов), но вместо этого эквивалентно условию NFLVR. Это известно как первая фундаментальная теорема ценообразования активов .

Неформально говоря, рынок допускает бесплатный обед с исчезающим риском , если существуют допустимые стратегии , которые могут быть выбраны произвольно близко к арбитражной стратегии, т. е. эти стратегии начинаются с отсутствия богатства, заканчиваются положительным богатством с вероятностью, большей нуля (бесплатный обед), а вероятность оказаться в отрицательном богатстве может быть выбрана произвольно малой (исчезающий риск). ^[1]

Для семимартингала пусть${\displaystyle S}$

• ${\displaystyle K=\{(H\cdot S)_{\infty }:H{\text{ admissible}},(H\cdot S)_{\infty }=\lim _{t\to \infty }(H\cdot S)_{t}{\text{ exists a.s.}}\}}$где стратегия называется допустимой, если она является самофинансируемой и ее стоимостной процесс ограничен снизу.${\displaystyle V_{t}=\int _{0}^{t}H_{u}\cdot \mathrm {d} S_{u}}$
• ${\displaystyle C=\{g\in L^{\infty }(P):\exists f\in K,~g\leq f~a.s.\}}$.

${\displaystyle S}$Говорят, что удовлетворяет условию отсутствия бесплатного обеда с исчезающим риском (NFLVR), если , где — замыкание C в топологии нормы . ^[2]${\displaystyle {\bar {C}}\cap L_{+}^{\infty }(P)=\{0\}}$${\displaystyle {\bar {C}}}$${\displaystyle L_{+}^{\infty }(P)}$

Прямым следствием этого определения является следующее:

Если рынок не удовлетворяет NFLVR, то существуют и последовательности , такие что и . Более того, выполняется${\displaystyle g\in {\bar {C}}\cap L_{+}^{\infty }(P)\backslash \{0\}}$${\displaystyle (g_{n})_{n}\subset C}$${\displaystyle (V_{n})_{n}\subset K}$${\displaystyle g_{n}\xrightarrow {L^{\infty }} g}$${\displaystyle g_{n}\leq V_{n}\,\forall n\in \mathbb {N} }$

1. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }||\min(V_{n},0)||_{L^{\infty }}=0}$(исчезающий риск)
2. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(V_{n}>0)>0}$(бесплатный обед)

Другими словами, это означает: существует последовательность допустимых стратегий, начинающихся с нулевого богатства, такая, что отрицательная часть их конечных значений равномерно сходится к нулю, а вероятности событий сходятся к положительному числу.${\displaystyle (\theta _{n})_{n}}$${\displaystyle V^{\theta _{n}}}$${\displaystyle \{V^{\theta _{n}}>0\}}$

Если — полумартингал со значениями в , то S не допускает бесплатного обеда с исчезающим риском , если и только если существует эквивалентная мартингальная мера, такая, что S является сигма-мартингалом при . ^[3]${\displaystyle S=(S_{t})_{t=0}^{T}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Эта статья о финансах — заглушка . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

• v
• t
• e