Девятиточечная гипербола
Гипербола, построенная по заданному треугольнику и точке
  Точки треугольника △ ABC и данная точка P
  Шесть составляющих линий четырехугольника, образованного A, B, C, P
  Гипербола с девятью вершинами . Правая ветвь делит пополам BA , BC , BP ; левая делит пополам PA , PC , AC и проходит через пересечения прямых BC, PA и AB, PC .

В евклидовой геометрии с треугольником △ ABC гипербола девяти точек является примером конического сечения девяти точек, описанного американским математиком Максимом Бохером в 1892 году. Знаменитая окружность девяти точек является отдельным примером конического сечения Бохера:

Дан треугольник △ ABC и точка P на его плоскости. Через следующие девять точек можно провести конику :
середины сторон △ ABC ,​
середины линий, соединяющих P с вершинами, и
точки, в которых эти последние линии пересекают стороны треугольника.

Коника является эллипсом, если P лежит внутри △ ABC или в одной из областей плоскости, отделенной от внутренней части двумя сторонами треугольника; в противном случае коника является гиперболой . Бохер отмечает, что когда P является ортоцентром , получается окружность девяти точек, а когда P находится на описанной окружности △ ABC , то коника является равносторонней гиперболой.

Аллен

Подход к девятиточечной гиперболе с использованием аналитической геометрии расщепленно -комплексных чисел был разработан Э. Ф. Алленом в 1941 году. [1] Записывая , j 2 = 1 , он использует расщепленно-комплексную арифметику для выражения гиперболы как з = а + б дж {\displaystyle z=a+bj}

з з ∗ = а 2 . {\displaystyle zz^{*}=a^{2}.}

Используется как описанная коника треугольника. Пусть Тогда девятиточечная коника равна т 1 , т 2 , т 3 . {\displaystyle t_{1},t_{2},t_{3}.} с = т 1 + т 2 + т 3 . {\displaystyle s=t_{1}+t_{2}+t_{3}.}

( з − с 2 ) ( з ∗ − с ∗ 2 ) = а 2 4 . {\displaystyle \left(z-{\frac {s}{2}}\right)\left(z^{*}-{\frac {s^{*}}{2}}\right)={\frac {a^{2}}{4}}.}

Описание Алленом гиперболы девяти точек последовало за развитием окружности девяти точек , опубликованной Фрэнком Морли и его сыном в 1933 году. Они использовали единичную окружность на комплексной плоскости в качестве описанной окружности данного треугольника.

В 1953 году Аллен расширил свое исследование до девятиточечной коники треугольника, вписанного в любую центральную конику. [2]

Яглом

Для Яглома гипербола — это окружность Минковского , как в плоскости Минковского . Описание этой геометрии Яглома можно найти в главе «Заключение» книги, которая изначально посвящена геометрии Галилея. [3] Он рассматривает треугольник, вписанный в «описанную окружность», которая на самом деле является гиперболой. В плоскости Минковского гипербола с девятью точками также описывается как окружность:

… середины сторон треугольника △ ABC и основания его высот (а также середины отрезков, соединяющих ортоцентр △ ABC с его вершинами) лежат на [минковской] окружности S , радиус которой равен половине радиуса описанной окружности треугольника. Естественно называть S окружностью шести (девяти) точек (минковского) треугольника △ ABC ; если △ ABC имеет вписанную окружность s , то окружность шести (девяти) точек S треугольника △ ABC касается его вписанной окружности s (рис.173).

Другие

В 2005 году JA Scott [4] использовал единичную гиперболу в качестве описанной коники треугольника ABC и нашел условия для того, чтобы она включала шесть центров треугольника: центроид X(2), ортоцентр X(4), точки Ферма X(13) и X(14), а также точки Наполеона X(17) и X(18), перечисленные в Энциклопедии центров треугольников . Гипербола Скотта является гиперболой Киперта треугольника.

Кристофер Бат [5] описывает девятиточечную прямоугольную гиперболу, проходящую через эти центры: инцентр X(1), три вневынесенных центра , центроид X(2), точку де Лоншана X(20) и три точки, полученные путем расширения медиан треугольника до удвоенной их длины чевианы .

Ссылки

  1. ↑ Аллен, Э.Ф. (1941) «О треугольнике, вписанном в прямоугольную гиперболу», American Mathematical Monthly 48, № 10, стр. 675–681.
  2. ^ Э. Ф. Аллен (1953) «Расширенная инверсная геометрия», American Mathematical Monthly 60(4):233–7
  3. ^ Исаак Яглом (1979) Простая неевклидова геометрия и ее физическая основа , стр. 193
  4. ^ JA Scott (2005) «Девятиточечная гипербола», The Mathematical Gazette 89:93–6 (#514)
  5. ^ Кристофер Бат (2010) Девятиточечная прямоугольная гипербола
  • Максим Боше (1892) Девятиточечная коника, Annals of Mathematics , ссылка из Jstor .
  • Мод А. Минторн (1912) «Коническое сито с девятью точками», магистерская диссертация в Калифорнийском университете в Беркли , ссылка с сайта HathiTrust . Мод Эллен Минторн, родилась в 1883 году в Лемарсе, Айова, умерла в 1966 году в Сент-Питерсберге, Флорида. Дочь Пеннингтона Минторн, 1856–1939 (брат Хульды Минторн Гувер, матери президента Герберта Гувера) и Анна Мэри Хилд, 1887–1940 (сестра Франклина Германа Хилда, основателя Лейк-Элсинора, Калифорния (WRH) Мод Минторн также преподавала в средней школе Фресно, Калифорния, в 1935–1940 годах
  • Бьёрн Фельсагер (2004) Геометрия Минковского, Часть 1, Геометрия Минковского, Часть 2 ICME-10 Копенгаген.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Девятиточечная_гипербола&oldid=1128828386"