теория Нильсена

Теория Нильсена — это раздел математических исследований, берущий начало в топологической теории неподвижной точки . Ее основные идеи были разработаны датским математиком Якобом Нильсеном и носят его имя.

Теория , разработанная при изучении так называемого минимального числа отображения f компактного пространства в себя, обозначается MF [ f ] . Оно определяется как:

${\displaystyle {\mathit {MF}}[f]=\min\{\#\mathrm {Fix} (g)\,|\,g\sim f\},}$

где ~ указывает на гомотопность отображений, а #Fix( g ) указывает на количество неподвижных точек g . Минимальное количество было очень трудно вычислить во времена Нильсена, и это остается таковым и сегодня. Подход Нильсена заключается в группировке множества неподвижных точек в классы, которые оцениваются как «существенные» или «несущественные» в зависимости от того, могут ли они быть «удалены» гомотопией.

Исходная формулировка Нильсена эквивалентна следующей: мы определяем отношение эквивалентности на множестве неподвижных точек отображения f на пространстве X. Мы говорим, что x эквивалентен y тогда и только тогда, когда существует путь c из x в y с f ( c ) , гомотопным c в качестве путей. Классы эквивалентности относительно этого отношения называются классами Нильсена f , а число Нильсена N ( f ) определяется как число классов Нильсена, имеющих ненулевую сумму индексов неподвижных точек .

Нильсен доказал, что

${\displaystyle N(f)\leq {\mathit {MF}}[f],}$

что делает его инвариант хорошим инструментом для оценки гораздо более сложной MF [ f ]. Это немедленно приводит к тому, что теперь известно как теорема Нильсена о неподвижной точке: любое отображение f имеет по крайней мере N(f) неподвижных точек.

Из-за своего определения в терминах индекса фиксированной точки число Нильсена тесно связано с числом Лефшеца . Действительно, вскоре после первоначальной работы Нильсена два инварианта были объединены в одно «обобщенное число Лефшеца» (в последнее время называемое следом Рейдемейстера) Веккеном и Рейдемейстером .

• Фенхель, Вернер ; Нильсен, Якоб (2003). Асмус Л. Шмидт (ред.). Разрывные группы изометрий в гиперболической плоскости . Де Грюйтер Исследования по математике. Том. 29. Берлин: Вальтер де Грюйтер и компания.

• Обзорная статья по теории Нильсена Роберта Ф. Брауна в Topology Atlas