многогранник Ньютона

В математике многогранник Ньютона — это целочисленный многогранник, связанный с многомерным многочленом . Его можно использовать для анализа поведения многочлена, когда определенные переменные считаются незначительными по сравнению с другими. В частности, если задан вектор переменных и конечное семейство попарно различных векторов из каждого, кодирующих показатели степеней внутри одночлена, рассмотрим многомерный многочлен${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle (\mathbf {a} _{k})_{k}}$${\displaystyle \mathbb {N} ^{n}}$

${\ displaystyle f (\ mathbf {x}) = \ sum _ {k} c_ {k} \ mathbf {x} ^ {\ mathbf {a} _ {k}}}$

где мы используем сокращенную запись для монома . Тогда многогранник Ньютона, связанный с , является выпуклой оболочкой векторов ; то есть${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})^{(y_{1},\ldots ,y_{n})}}$${\displaystyle x_{1}^{y_{1}}x_{2}^{y_{2}}\cdots x_{n}^{y_{n}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbf {a} _{k}}$

${\displaystyle \operatorname {Ньют} (f)=\left\{\sum _{k}\alpha _{k}\mathbf {a} _{k}:\sum _{k}\alpha _{k} =1\;\&\;\forall j\,\,\alpha _{j}\geq 0\right\}\!.}$

Чтобы сделать это хорошо определенным, мы предполагаем, что все коэффициенты не равны нулю. Многогранник Ньютона удовлетворяет следующему свойству типа гомоморфизма: ${\displaystyle c_{k}}$

${\displaystyle \operatorname {Ньютон} (fg)=\operatorname {Ньютон} (f)+\operatorname {Ньютон} (g)}$

где сложение осуществляется в смысле Минковского .

Многогранники Ньютона являются центральным объектом изучения в тропической геометрии и характеризуют базисы Грёбнера для идеала .

• Торические разновидности
• Схема Гильберта

• Sturmfels, Bernd (1996). "2. The State Polytope". Базисы Грёбнера и выпуклые многогранники . Серия университетских лекций. Том 8. Providence, RI: AMS. ISBN 0-8218-0487-1.
• Monical, Cara; Tokcan, Neriman; Yong, Alexander (2019). «Многогранники Ньютона в алгебраической комбинаторике». Selecta Mathematica . Новая серия. 25 (5): 66. arXiv : 1703.02583 . doi : 10.1007/s00029-019-0513-8 . S2CID  53639491.
• Шиффман, Бернард; Зелдич, Стив (18 сентября 2003 г.). «Случайные многочлены с предписанными многогранниками Ньютона». Журнал Американского математического общества . 17 (1): 49–108. doi : 10.1090/S0894-0347-03-00437-5 . S2CID  14886953.

• Связывание базисов Грёбнера и торических многообразий
• Росси, Микеле; Террачини, Ли (2020). «Торические многообразия и базисы Грёбнера: полный случай Q-факториала». Прикладная алгебра в инженерии, связи и вычислениях . 31 (5–6): 461–482. arXiv : 2004.05092 . doi : 10.1007/s00200-020-00452-w .

Эта статья, связанная с алгебраической геометрией , является заглушкой . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

• в
• т
• е