Теория Неванлинны

В математической области комплексного анализа теория Неванлинны является частью теории мероморфных функций . Она была разработана в 1925 году Рольфом Неванлинной . Герман Вейль назвал ее «одним из немногих великих математических событий (двадцатого) века». ^[1] Теория описывает асимптотическое распределение решений уравнения f ( z ) = a при изменении a . Фундаментальным инструментом является характеристика Неванлинны T ( r , f ), которая измеряет скорость роста мероморфной функции.

Другими основными авторами в первой половине 20-го века были Ларс Альфорс , Андре Блох , Анри Картан , Эдвард Коллингвуд , Отто Фростман , Фритьоф Неванлинна , Хенрик Сельберг , Тацудзиро Симидзу, Освальд Тейхмюллер и Жорж Валирон . В своей первоначальной форме теория Неванлинны имеет дело с мероморфными функциями одной комплексной переменной, определенными в круге | z | ≤ R или во всей комплексной плоскости ( R  = ∞). Последующие обобщения расширили теорию Неванлинны до алгеброидных функций, голоморфных кривых , голоморфных отображений между комплексными многообразиями произвольной размерности, квазирегулярных отображений и минимальных поверхностей .

В этой статье в основном описывается классическая версия для мероморфных функций одной переменной, с акцентом на функции, мероморфные в комплексной плоскости. Общие ссылки по этой теории: Goldberg & Ostrovskii, ^[2] Hayman ^[3] и Lang (1987).

Пусть f — мероморфная функция. Для каждого r  ≥ 0 пусть n ( r , f ) — число полюсов, с учетом кратности, мероморфной функции f в круге | z | ≤ r . Затем определим считающую функцию Неванлинны как

${\displaystyle N(r,f)=\int \limits _{0}^{r}\left(n(t,f)-n(0,f)\right){\dfrac {dt}{t}}+n(0,f)\log r.\,}$

Эта величина измеряет рост числа полюсов в дисках | z | ≤ r , по мере увеличения r . Явно, пусть a ₁ ,  a ₂ , ...,  an _будут полюсами ƒ в проколотом диске 0 < | z | ≤ r , повторяющимися в соответствии с кратностью. Тогда n = n ( r , f ) - n (0, f ), и

${\displaystyle N(r,f)=\sum _{k=1}^{n}\log \left({\frac {r}{|a_{k}|}}\right)+n(0,f)\log r.\,}$

Пусть log ⁺ x  = max(log  x , 0). Тогда функция близости определяется как

${\displaystyle m(r,f)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log ^{+}\left|f(re^{i\theta })\right|d\theta .\,}$

Наконец, определим характеристику Неванлинны следующим образом (ср. формулу Йенсена для мероморфных функций):

${\displaystyle T(г,ф)=м(г,ф)+Н(г,ф).\,}$

Второй метод определения характеристики Неванлинны основан на формуле

${\displaystyle \int _{0}^{r}{\frac {dt}{t}}\left({\frac {1}{\pi }}\int _{|z|\leq t}{\frac {|f'|^{2}}{(1+|f|^{2})^{2}}}dm\right)=T(r,f)+O(1),\,}$

где dm — элемент площади в плоскости. Выражение в левой части называется характеристикой Альфорса–Шимизу. Ограниченный член O (1) не важен в большинстве вопросов.

Геометрический смысл характеристики Альфорса—Шимизу следующий. Внутренний интеграл dm — это сферическая площадь изображения диска | z | ≤ t , с учетом кратности (то есть, части сферы Римана , покрытые k раз, считаются k раз). Эта площадь делится на π , которое является площадью всей сферы Римана. Результат можно интерпретировать как среднее число листов в покрытии сферы Римана диском | z | ≤ t . Затем это среднее число покрытия интегрируется по t с весом 1/ t .

Роль характеристической функции в теории мероморфных функций на плоскости аналогична роли

${\displaystyle \log M(r,f)=\log \max _{|z|\leq r}|f(z)|\,}$

в теории целых функций . Фактически, можно напрямую сравнить T ( r , f ) и M ( r , f ) для целой функции:

${\displaystyle T(r,f)\leq \log ^{+}M(r,f)\,}$

и

${\displaystyle \log M(r,f)\leq \left({\dfrac {R+r}{Rr}}\right)T(R,f),\,}$

для любого R  >  r .

Если f — рациональная функция степени d , то T ( r , f ) ~  d  log  r ; фактически, T ( r , f ) =  O (log  r ) тогда и только тогда, когда f — рациональная функция.

Порядок мероморфной функции определяется как

${\displaystyle \rho (f)=\limsup _{r\rightarrow \infty }{\dfrac {\log ^{+}T(r,f)}{\log r}}.}$

Функции конечного порядка составляют важный подкласс, который был тщательно изучен.

Когда радиус R диска | z | ≤ R , в котором определена мероморфная функция, конечен, характеристика Неванлинны может быть ограничена. Функции в диске с ограниченной характеристикой, также известные как функции ограниченного типа , являются в точности теми функциями, которые являются отношениями ограниченных аналитических функций. Функции ограниченного типа также могут быть определены таким образом для другой области, такой как верхняя полуплоскость .

Пусть a  ∈  C и определим

${\displaystyle \quad N(r,a,f)=N\left(r,{\dfrac {1}{f-a}}\right),\quad m(r,a,f)=m\left(r,{\dfrac {1}{f-a}}\right).\,}$

Для a  = ∞ положим N ( r ,∞, f ) =  N ( r , f ), m ( r ,∞, f ) =  m ( r , f ).

Первая фундаментальная теорема теории Неванлинны утверждает, что для любого a в сфере Римана ,

${\displaystyle T(r,f)=N(r,a,f)+m(r,a,f)+O(1),\,}$

где ограниченный член O (1) может зависеть от f и a . ^[4] Для непостоянных мероморфных функций на плоскости T ( r ,  f ) стремится к бесконечности, когда r стремится к бесконечности, поэтому Первая фундаментальная теорема гласит, что сумма N ( r , a , f ) +  m ( r , a , f ) стремится к бесконечности со скоростью, которая не зависит от a . Первая фундаментальная теорема является простым следствием формулы Йенсена .

Характеристическая функция имеет следующие свойства степени:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}T(r,fg)&\leq &T(r,f)+T(r,g)+O(1),\\T(r,f+g)&\leq &T(r,f)+T(r,g)+O(1),\\T(r,1/f)&=&T(r,f)+O(1),\\T(r,f^{m})&=&mT(r,f)+O(1),\,\end{array}}}$

где m — натуральное число. Ограниченный член O (1) пренебрежимо мал, когда T ( r , f ) стремится к бесконечности. Эти алгебраические свойства легко получаются из определения Неванлинны и формулы Йенсена.

Мы определяем N ( r ,  f ) таким же образом, как N ( r , f ), но без учета кратности (т.е. мы подсчитываем только количество различных полюсов). Тогда N ₁ ( r , f ) определяется как функция подсчета Неванлинны критических точек f , то есть

${\displaystyle N_{1}(r,f)=2N(r,f)-N(r,f')+N\left(r,{\dfrac {1}{f'}}\right)=N(r,f)+{\overline {N}}(r,f)+N\left(r,{\dfrac {1}{f'}}\right).\,}$

Вторая фундаментальная теорема гласит, что для каждых k различных значений a _j на сфере Римана мы имеем

${\displaystyle \sum _{j=1}^{k}m(r,a_{j},f)\leq 2T(r,f)-N_{1}(r,f)+S(r,f).\,}$

Это подразумевает

${\displaystyle (k-2)T(r,f)\leq \sum _{j=1}^{k}{\overline {N}}(r,a_{j},f)+S(r,f),\,}$

где S ( r , f ) — «малая ошибка».

Для функций, мероморфных на плоскости, S ( r , f ) = o( T ( r , f )), вне множества конечной длины, т.е. остаточный член мал по сравнению с характерным для «большинства» значений r . Известны гораздо лучшие оценки остаточного члена, но Андре Блох предположил, а Хейман доказал, что нельзя избавиться от исключительного множества.

Вторая фундаментальная теорема позволяет дать верхнюю границу для характеристической функции в терминах N ( r , a ). Например, если f — трансцендентная целая функция, то, используя Вторую фундаментальную теорему с k  = 3 и a ₃  = ∞, мы получаем, что f принимает каждое значение бесконечно часто, за исключением максимум двух случаев, что доказывает теорему Пикара .

Первоначальное доказательство Неванлинны Второй основной теоремы основывалось на так называемой Лемме о логарифмической производной , которая гласит, что m ( r , f' / f ) =  S ( r , f ). Аналогичное доказательство применимо и ко многим многомерным обобщениям. Существуют также дифференциально-геометрические доказательства, связывающие его с теоремой Гаусса–Бонне . Вторая основная теорема также может быть выведена из метрико-топологической теории Альфорса , которую можно рассматривать как расширение формулы Римана–Гурвица на покрытия бесконечной степени.

Доказательства Неванлинны и Альфорса указывают, что константа 2 во Второй фундаментальной теореме связана с эйлеровой характеристикой сферы Римана. Однако существуют совершенно иные объяснения этой 2, основанные на глубокой аналогии с теорией чисел, открытой Чарльзом Осгудом и Полом Войтой . Согласно этой аналогии, 2 является показателем степени в теореме Туэ–Зигеля–Рота . По поводу этой аналогии с теорией чисел мы ссылаемся на обзор Ланга (1987) и книгу Ру (2001).

Соотношение дефекта является одним из главных следствий из Второй основной теоремы. Дефект мероморфной функции в точке a определяется формулой

${\displaystyle \delta (a,f)=\liminf _{r\rightarrow \infty }{\frac {m(r,a,f)}{T(r,f)}}=1-\limsup _{r\rightarrow \infty }{\dfrac {N(r,a,f)}{T(r,f)}}.\,}$

По Первой Основной Теореме, 0 ≤  δ ( a , f ) ≤ 1, если T ( r , f ) стремится к бесконечности (что всегда имеет место для непостоянных функций, мероморфных на плоскости). Точки a , для которых δ ( a , f ) > 0, называются дефектными значениями . Вторая Основная Теорема подразумевает, что множество дефектных значений функции, мероморфной на плоскости, не более чем счетно и выполняется следующее соотношение:

${\displaystyle \sum _{a}\delta (a,f)\leq 2,\,}$

где суммирование ведется по всем недостающим значениям. ^[5] Это можно рассматривать как обобщение теоремы Пикара . Многие другие теоремы типа Пикара могут быть выведены из Второй фундаментальной теоремы.

В качестве еще одного следствия из Второй основной теоремы можно получить, что

${\displaystyle T(r,f')\leq 2T(r,f)+S(r,f),\,}$

что обобщает тот факт, что рациональная функция степени d имеет 2 d  − 2 < 2 d критических точек.

Теория Неванлинны полезна во всех вопросах, где возникают трансцендентные мероморфные функции, таких как аналитическая теория дифференциальных и функциональных уравнений ^{[6] [7],} голоморфная динамика , минимальные поверхности и сложная гиперболическая геометрия, которая имеет дело с обобщениями теоремы Пикара на более высокие измерения. ^[8]

Значительная часть исследований функций одной комплексной переменной в 20 веке была сосредоточена на теории Неванлинны. Одним из направлений этих исследований было выяснение того, являются ли основные выводы теории Неванлинны наилучшими возможными. Например, обратная задача теории Неванлинны состоит в построении мероморфных функций с заранее заданными дефектами в заданных точках. Это было решено Дэвидом Дразином в 1976 году. ^[9] Другое направление было сосредоточено на изучении различных подклассов класса всех мероморфных функций на плоскости. Наиболее важным подклассом являются функции конечного порядка. Оказывается, для этого класса недостатки подлежат нескольким ограничениям, помимо отношения дефекта (Норайр Аракелян, Дэвид Драсин, Альберт Эдрей, Александр Еременко , Вольфганг Фукс , Анатолий Голдберг , Вальтер Хейман , Джозеф Майлз, Дэниел Ши, Освальд Тейхмюллер , Алан Вайцман и другие).

Анри Картан , Иоахим и Герман Вейль ^[1] и Ларс Альфорс расширили теорию Неванлинны до голоморфных кривых . Это расширение является основным инструментом комплексной гиперболической геометрии. ^[10] Хенрик Сельберг и Жорж Валирон расширили теорию Неванлинны до алгеброидных функций . ^[11] Интенсивные исследования в области классической одномерной теории продолжаются до сих пор. ^[12]

• Гипотеза Войты

• Ланг, Серж (1987). Введение в комплексные гиперболические пространства . Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-96447-8. Збл  0628.32001.
• Ланг, Серж (1997). Обзор диофантовой геометрии . Спрингер-Верлаг . стр.  192–204 . ISBN. 978-3-540-61223-0. Збл  0869.11051.
• Неванлинна, Рольф (1925), «Zur Theorie der Meromorphen Funktionen», Acta Mathematica , 46 ( 1–2 ): 1–99 , doi : 10.1007/BF02543858 , ISSN  0001-5962
• Неванлинна, Рольф (1970) [1936], Аналитические функции, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 162, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , MR  0279280
• Ру, Мин (2001). Теория Неванлинны и ее связь с диофантовыми приближениями . World Scientific Publishing. ISBN 978-981-02-4402-6.

• Бомбьери, Энрико ; Габлер, Уолтер (2006). "13. Теория Неванлинны". Высоты в диофантовой геометрии . Новые математические монографии. Том 4. Cambridge University Press . С.  444–478 . ISBN 978-0-521-71229-3. Збл  1115.11034.
• Кодайра, Кунихико (2017). Теория Неванлинны . SpringerBriefs по математике. Спрингер-Верлаг . ISBN 978-981-10-6786-0. Збл  1386.30002.
• Войта, Пол (1987). Диофантовы приближения и теория распределения значений . Конспект лекций по математике. Том 1239. Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-17551-3. Збл  0609.14011.
• Vojta, Paul (2011). «Диофантовы приближения и теория Неванлинны». В Corvaja, Pietro; Gasbarri, Carlo (ред.). Арифметическая геометрия. Лекции, прочитанные в летней школе CIME, Четраро, Италия, 10–15 сентября 2007 г. Lecture Notes in Mathematics. Том 2009. Берлин: Springer-Verlag . С.  111–224 . ISBN 978-3-642-15944-2. Збл  1258.11076.

• Петренко, В.П. (2001) [1994], "Теория распределения значений", Энциклопедия математики , EMS Press
• Петренко, В.П. (2001) [1994], "Теоремы Неванлинны", Энциклопедия математики , EMS Press