корень n-й степени

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без источников могут быть оспорены и удалены. Найти источники:  "Nth root" – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( октябрь 2022 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В математике корень степени n из числа x — это число r (корень), которое при возведении в степень положительного целого числа n дает  x :$${\displaystyle r^{n}=\underbrace {r\times r\times \dotsb \times r} _{n{\text{ факторы}}}=x.}$$

Целое число n называется индексом или степенью , а число x , из которого берется корень, — подкоренным выражением. Корень степени 2 называется квадратным корнем , а корень степени 3 — кубическим корнем . Корни более высокой степени обозначаются с помощью порядковых чисел , например, корень четвертой степени , корень двадцатой степени и т. д. Вычисление корня n- й степени называется извлечением корня .

Например, 3 является квадратным корнем из 9 , так как 3 ^·2 = 9 , и −3 также является квадратным корнем из 9 , так как (−3) ^·2 = 9 .

Корень n-й степени из x записывается как с использованием символа радикала или radix . Квадратный корень обычно записывается без n как просто ⁠ ⁠ . Извлечение корня n- й степени из числа является обратной операцией возведения в степень , ^[1] и может быть записано как дробная экспонента:${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\phantom {x}}}}$${\displaystyle {\sqrt {x}}}$

$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}.}$$

Для положительного действительного числа x , обозначает положительный квадратный корень из x , а обозначает положительный действительный корень степени n . Отрицательное действительное число − x не имеет действительных квадратных корней, но когда x рассматривается как комплексное число, оно имеет два мнимых квадратных корня, ⁠ ⁠ и ⁠ ⁠ , где i — мнимая единица .${\displaystyle {\sqrt {x}}}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$${\displaystyle +i{\sqrt {x}}}$${\displaystyle -i{\sqrt {x}}}$

В общем случае любое ненулевое комплексное число имеет n различных комплекснозначных корней n- й степени , равномерно распределенных по комплексной окружности постоянного абсолютного значения . ( Корень n -й степени из 0 равен нулю с кратностью n , и эта окружность вырождается в точку.) Таким образом, извлечение корней n- й степени из комплексного числа x можно считать многозначной функцией . По соглашению главное значение этой функции, называемое главным корнем и обозначаемое ⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$ , принимается равным корню n- й степени с наибольшей действительной частью, а в особом случае, когда x — отрицательное действительное число, корню с положительной мнимой частью . Главный корень положительного действительного числа, таким образом, также является положительным действительным числом. Как функция , главный корень непрерывен во всей комплексной плоскости , за исключением отрицательной действительной оси.

Неразрешенный корень, особенно тот, который использует символ радикала, иногда называют сурдом [ ^2] или радикалом . ^[3] Любое выражение, содержащее радикал, будь то квадратный корень, кубический корень или корень более высокого порядка, называется радикальным выражением , а если оно не содержит трансцендентных функций или трансцендентных чисел, то оно называется алгебраическим выражением .

Арифметические операции в т е

Дополнение (+) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{term}}\,+\,{\text{term}}\\\scriptstyle {\text{summand}}\,+\,{\text{summand}}\\\scriptstyle {\text{addend}}\,+\,{\text{addend}}\\\scriptstyle {\text{augend}}\,+\,{\text{addend}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{sum}}}$ Subtraction (−) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{term}}\,-\,{\text{term}}\\\scriptstyle {\text{minuend}}\,-\,{\text{subtrahend}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{difference}}}$ Multiplication (×) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{factor}}\,\times \,{\text{factor}}\\\scriptstyle {\text{multiplier}}\,\times \,{\text{multiplicand}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{product}}}$ Division (÷) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{dividend}}}{\scriptstyle {\text{divisor}}}}\\[1ex]\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{numerator}}}{\scriptstyle {\text{denominator}}}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle \left\{{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{fraction}}\\\scriptstyle {\text{quotient}}\\\scriptstyle {\text{ratio}}\end{matrix}}\right.}$ Exponentiation (^) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{base}}^{\text{exponent}}\\\scriptstyle {\text{base}}^{\text{power}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{power}}}$ nth root (√) ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{\text{degree}}]{\scriptstyle {\text{radicand}}}}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{root}}}$ Logarithm (log) ${\displaystyle \scriptstyle \log _{\text{base}}({\text{anti-logarithm}})\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{logarithm}}}$

v t e

Корни используются для определения радиуса сходимости степенного ряда с помощью теста на наличие корня . Корни n-й степени из 1 называются корнями из единицы и играют фундаментальную роль в различных областях математики, таких как теория чисел , теория уравнений и преобразование Фурье .

Архаичный термин для операции извлечения n- ных корней — радикализация . ^{[4] [5]}

Корень n-й степени из числа x , где n — положительное целое число, — это любое из n действительных или комплексных чисел r, степень n которого равна x :

$${\displaystyle r^{n}=x.}$$

Каждое положительное действительное число x имеет один положительный корень степени n , называемый главным корнем степени n , который записывается как . Для n, равного 2, это называется главным квадратным корнем, а n опускается. Корень степени n также может быть представлен с помощью возведения в степень как x ^1/n .${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$

Для четных значений n положительные числа также имеют отрицательный корень n- й степени, в то время как отрицательные числа не имеют действительного корня n- й степени. Для нечетных значений n каждое отрицательное число x имеет действительный отрицательный корень n -й степени. Например, −2 имеет действительный корень 5-й степени, но −2 не имеет действительных корней 6-й степени.${\displaystyle {\sqrt[{5}]{-2}}=-1.148698354\ldots }$

Каждое ненулевое число x , действительное или комплексное , имеет n различных комплексных корней степени n . (В случае, если x действительно, это число включает все действительные корни степени n .) Единственный комплексный корень из 0 — это 0.

Корни n- й степени почти всех чисел (все целые числа, кроме n -й степени, и все рациональные числа, кроме частных двух n -й степени) являются иррациональными . Например,

$${\displaystyle {\sqrt {2}}=1.414213562\ldots }$$

Все корни степени n из рациональных чисел являются алгебраическими числами , и все корни степени n из целых чисел являются алгебраическими целыми числами .

Термин «сурд» восходит к Аль-Хорезми ( ок.  825 г. ), который называл рациональные и иррациональные числа слышимыми и неслышимыми соответственно. Это позже привело к тому, что арабское слово أصم ( asamm , что означает «глухой» или «немой») для иррационального числа было переведено на латынь как surdus (что означает «глухой» или «немой»). Герард Кремонский ( ок.  1150 г. ), Фибоначчи (1202 г.), а затем Роберт Рекорде (1551 г.) использовали этот термин для обозначения неразрешенных иррациональных корней , то есть выражений вида , в которых и являются целыми числами, а все выражение обозначает иррациональное число. ^[6] Иррациональные числа вида , где является рациональным, называются чистыми квадратными сурдами ; иррациональные числа вида , где и являются рациональными, называются смешанными квадратными сурдами . ^[7]${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \pm {\sqrt {a}},}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a\pm {\sqrt {b}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

Квадратный корень числа x — это число r , которое при возведении в квадрат становится равным x :

$${\displaystyle r^{2}=x.}$$

Каждое положительное действительное число имеет два квадратных корня, один положительный и один отрицательный. Например, два квадратных корня числа 25 — это 5 и −5. Положительный квадратный корень также известен как главный квадратный корень и обозначается знаком радикала:

$${\displaystyle {\sqrt {25}}=5.}$$

Поскольку квадрат каждого действительного числа неотрицателен, отрицательные числа не имеют действительных квадратных корней. Однако для каждого отрицательного действительного числа есть два мнимых квадратных корня. Например, квадратные корни числа −25 равны 5 i и −5 i , где i представляет собой число, квадрат которого равен −1 .

Кубический корень числа x — это число r , куб которого равен x :

$${\displaystyle r^{3}=x.}$$

Каждое действительное число x имеет ровно один действительный кубический корень, записанный . Например,${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt[{3}]{8}}&=2\\{\sqrt[{3}]{-8}}&=-2.\end{aligned}}}$$

Каждое действительное число имеет два дополнительных комплексных кубических корня.

Выражение степени корня n- го порядка в экспоненциальной форме, как в , упрощает манипуляции степенями и корнями. Если — неотрицательное действительное число ,${\displaystyle x^{1/n}}$${\displaystyle a}$

$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=(a^{m})^{1/n}=a^{m/n}=(a^{1/n})^{m}=({\sqrt[{n}]{a}})^{m}.}$$

Каждое неотрицательное число имеет ровно один неотрицательный действительный корень степени n , поэтому правила операций с иррациональными числами, включающими неотрицательные подкоренные выражения , просты в пределах действительных чисел:${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt[{n}]{ab}}&={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\\{\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}&={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\end{aligned}}}$$

Тонкости могут возникнуть при извлечении корней n-й степени из отрицательных или комплексных чисел . Например:

$${\displaystyle {\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}\neq {\sqrt {-1\times -1}}=1,\quad }$$

но, скорее,

$${\displaystyle \quad {\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}=i\times i=i^{2}=-1.}$$

Поскольку правило строго выполняется только для неотрицательных действительных подкоренных выражений, его применение приводит к неравенству на первом шаге выше.${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}\times {\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{ab}}}$

Говорят, что невложенное радикальное выражение находится в упрощенной форме , если ни один множитель подкоренного выражения не может быть записан в виде степени, большей или равной индексу; внутри знака радикала нет дробей; и в знаменателе нет радикалов. ^[8]

Например, чтобы записать радикальное выражение в упрощенном виде, мы можем поступить следующим образом. Сначала найдем полный квадрат под знаком квадратного корня и удалим его:${\displaystyle \textstyle {\sqrt {32/5}}}$

$${\displaystyle {\sqrt {\frac {32}{5}}}={\sqrt {\frac {16\cdot 2}{5}}}={\sqrt {16}}\cdot {\sqrt {\frac {2}{5}}}=4{\sqrt {\frac {2}{5}}}}$$

Далее следует дробь под знаком корня, которую мы изменяем следующим образом:

$${\displaystyle 4{\sqrt {\frac {2}{5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}}$$

Наконец, убираем радикал из знаменателя следующим образом:

$${\displaystyle {\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {10}}}{5}}={\frac {4}{5}}{\sqrt {10}}}$$

Когда в знаменателе есть иррациональные дроби, всегда можно найти множитель, на который нужно умножить и числитель, и знаменатель, чтобы упростить выражение. ^{[9] [10]} Например, используя разложение суммы двух кубов :

$${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{\left({\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}\right)\left({\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}\right)}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{a+b}}.}$$

Упрощение радикальных выражений, включающих вложенные радикалы, может быть довольно сложным. В частности, денестинг не всегда возможен, а когда он возможен, он может включать расширенную теорию Галуа . Более того, когда полный денестинг невозможен, не существует общей канонической формы, такой, что равенство двух чисел можно проверить, просто посмотрев на их канонические выражения.

Например, не очевидно, что

$${\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}.}$$

Вышеизложенное можно вывести посредством:

$${\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}={\sqrt {1+2{\sqrt {2}}+2}}={\sqrt {1^{2}+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}^{2}}}={\sqrt {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2}}}=1+{\sqrt {2}}}$$

Пусть , где p и q — взаимно простые и положительные целые числа. Тогда является рациональным тогда и только тогда, когда оба числа и являются целыми числами, что означает, что оба числа p и q являются n -ными степенями некоторого целого числа.${\displaystyle r=p/q}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}={\sqrt[{n}]{p}}/{\sqrt[{n}]{q}}}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{p}}}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{q}}}$

Радикал или корень можно представить бесконечным рядом :

$${\displaystyle (1+x)^{\frac {s}{t}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\prod _{k=0}^{n-1}(s-kt)}{n!t^{n}}}x^{n}}$$

с . Это выражение можно вывести из биномиального ряда .${\displaystyle |x|<1}$

Корень n-й степени числа A можно вычислить с помощью метода Ньютона , который начинается с начального приближения x ₀ , а затем повторяется с использованием рекуррентного соотношения

$${\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-{\frac {x_{k}^{n}-A}{nx_{k}^{n-1}}}}$$

пока не будет достигнута желаемая точность. Для эффективности вычислений рекуррентное соотношение обычно переписывается

$${\displaystyle x_{k+1}={\frac {n-1}{n}}\,x_{k}+{\frac {A}{n}}\,{\frac {1}{x_{k}^{n-1}}}.}$$

Это позволяет иметь только одно возведение в степень и вычислять один раз для всех первый множитель каждого члена.

Например, чтобы найти пятый корень из 34, мы подставляем n = 5, A = 34 и x ₀ = 2 (начальное предположение). Первые 5 итераций приблизительно таковы:

(Показаны все правильные цифры.)

Приближение x ₄ дает точность до 25 знаков после запятой, а x ₅ — до 51 знака после запятой.

Метод Ньютона можно модифицировать для получения различных обобщенных непрерывных дробей для корня n- й степени. Например,

$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{x^{n}+y}}=x+{\cfrac {y}{nx^{n-1}+{\cfrac {(n-1)y}{2x+{\cfrac {(n+1)y}{3nx^{n-1}+{\cfrac {(2n-1)y}{2x+{\cfrac {(2n+1)y}{5nx^{n-1}+{\cfrac {(3n-1)y}{2x+\ddots }}}}}}}}}}}}.}$$

Основываясь на вычислении квадратного корня по цифре , можно увидеть, что используемая там формула, или , следует шаблону, включающему треугольник Паскаля. Для корня n- го числа , определяемого как значение элемента в строке Треугольника Паскаля, такого что , мы можем переписать выражение как . Для удобства назовем результат этого выражения . Используя это более общее выражение, любой положительный главный корень может быть вычислен по цифре следующим образом.${\displaystyle x(20p+x)\leq c}$${\displaystyle x^{2}+20xp\leq c}$${\displaystyle P(n,i)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle n}$${\displaystyle P(4,1)=4}$${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}10^{i}P(n,i)p^{i}x^{n-i}}$${\displaystyle y}$

Запишите исходное число в десятичной форме. Числа записываются аналогично алгоритму деления в столбик , и, как и при делении в столбик, корень будет записан на строке выше. Теперь разделите цифры на группы цифр, равные извлекаемому корню, начиная с десятичной точки и идя как влево, так и вправо. Десятичная точка корня будет находиться над десятичной точкой подкоренного числа. Одна цифра корня будет появляться над каждой группой цифр исходного числа.

Начиная с самой левой группы цифр, выполните следующую процедуру для каждой группы:

1. Начиная слева, снесите вниз самую значимую (самую левую) группу цифр, которая еще не использовалась (если все цифры были использованы, напишите "0" — количество раз, необходимое для создания группы) и запишите их справа от остатка от предыдущего шага (на первом шаге остатка не будет). Другими словами, умножьте остаток на и добавьте цифры из следующей группы. Это будет текущее значение c .${\displaystyle 10^{n}}$
2. Найдите p и x следующим образом:
   • Пусть будет частью корня, найденной на данный момент , игнорируя любые десятичную точку. (Для первого шага и ).${\displaystyle p}$${\displaystyle p=0}$${\displaystyle 0^{0}=1}$
   • Определите наибольшую цифру, такую ​​что .${\displaystyle x}$${\displaystyle y\leq c}$
   • Поместите цифру как следующую цифру корня, т. е. над группой цифр, которые вы только что свели. Таким образом, следующее p будет старым p умноженным на 10 плюс x .${\displaystyle x}$
3. Вычтите из , чтобы получить новый остаток.${\displaystyle y}$${\displaystyle c}$
4. Если остаток равен нулю и больше нет цифр для снесения, то алгоритм завершается. В противном случае возвращаемся к шагу 1 для еще одной итерации.

This section needs editing to comply with Wikipedia's Manual of Style. Please help improve the content. (April 2022) (Learn how and when to remove this message)

Найдите квадратный корень из 152,2756.

  1 2. 3 4   / \/ 01 52.27 56 (Результаты) (Пояснения)   01 x = 1 10 0 ·1·0 0 · 1 2 + 10 1 ·2·0 1 · 1 1 ≤ 1 < 10 0 ·1·0 0 ·2 2 + 10 1 ·2·0 1 ·2 1  01 y = 1 y = 10 0 ·1·0 0 ·1 2 + 10 1 ·2·0 1 ·1 1 = 1 + 0 = 1 00 52 x = 2 10 0 ·1·1 0 · 2 2 + 10 1 ·2·1 1 · 2 1 ≤ 52 < 10 0 ·1·1 0 ·3 2 + 10 1 ·2·1 1 ·3 1  00 44 y = 44 y = 10 0 ·1·1 0 ·2 2 + 10 1 ·2·1 1 ·2 1 = 4 + 40 = 44 08 27 x = 3 10 0 ·1 · 12 0 · 3 2 + 10 1 · 2 · 12 1 · 3 1 ≤ 827 < 10 0 ·1 · 12 0 ·4 2 + 10 1 ·2 · 12 1 · 4 1  07 29 y = 729 y = 10 0 ·1·12 0 ·3 2 + 10 1 ·2·12 1 ·3 1 = 9 + 720 = 729 98 56 x = 4 10 0 ·1 · 123 0 · 4 2 + 10 1 ·2 · 123 1 · 4 1 ≤ 9856 < 10 0 ·1 · 123 0 ·5 2 + 10 1 ·2·123 1 ·5 1  98 56 y = 9856 y = 10 0 ·1 · 123 0 ·4 2 + 10 1 ·2 · 123 1 ·4 1 = 16 + 9840 = 9856 00 00

Алгоритм завершается: ответ 12,34

Найдите кубический корень числа 4192, округленный до тысячных.

  1 6. 1 2 4  3 / \/ 004 192.000 000 000 (Результаты) (Пояснения)   004 x = 1 10 0 ·1·0 0 · 1 3 + 10 1 ·3·0 1 · 1 2 + 10 2 ·3·0 2 · 1 1 ≤ 4 < 10 0 ·1·0 0 ·2 3 + 10 1 ·3·0 1 ·2 2 + 10 2 ·3·0 2 ·2 1  001 y = 1 y = 10 0 ·1·0 0 ·1 3 + 10 1 ·3·0 1 ·1 2 + 10 2 ·3·0 2 ·1 1 = 1 + 0 + 0 = 1 003 192 x = 6 10 0 ·1·1 0 · 6 3 + 10 1 ·3 · 1 1 · 6 2 + 10 2 ·3 · 1 2 · 6 1 ≤ 3192 < 10 0 ·1 · 1 0 ·7 3 + 10 1 ·3· 1 1 ·7 2 + 10 2 ·3 · 1 2 ·7 1  003 096 y = 3096 y = 10 0 ·1 · 1 0 ·6 3 + 10 1 ·3 · 1 1 ·6 2 + 10 2 ·3· 1 2 ·6 1 = 216 + 1080 + 1800 = 3096 096 000 x = 1 10 0 ·1 · 16 0 · 1 3 + 10 1 · 3 · 16 1 · 1 2 + 10 2 ·3 · 16 2 · 1 1 ≤ 96000 < 10 0 ·1 · 16 0 ·2 3 + 10 1 ·3·16 1 ·2 2 + 10 2 ·3·16 2 ·2 1  077 281 y = 77281 y = 10 0 ·1 · 16 0 ·1 3 + 10 1·3·16 1 ·1 2 + 10 2 ·3·16 2 ·1 1 = 1 + 480 + 76 800 = 77 281 018 719 000 x = 2 10 0 ·1·161 0 · 2 3 + 10 1 ·3·161 1 · 2 2 + 10 2 ·3·161 2 · 2 1 ≤ 18719000 < 10 0 ·1·161 0 ·3 3 + 10 1 ·3·161 1 ·3 2 + 10 2 ·3·161 2 ·3 1  015 571 928 y = 15571928 y = 10 0 ·1·161 0 ·2 3 + 10 1 ·3·161 1 ·2 2 + 10 2 ·3·161 2 ·2 1 = 8 + 19 320 + 15 552 600 = 15 571 928 003 147 072 000 x = 4 10 0 · 1 · 1612 0 · 4 3 + 10 1 ·3 · 1612 1 · 4 2 + 10 2 ·3 · 1612 2 · 4 1 ≤ 3147072000 < 10 0 ·1 · 1612 0 ·5 3 + 10 1 ·3·1612 1 ·5 2 + 10 2 ·3·1612 2 ·5 1

Требуемая точность достигнута. Кубический корень из 4192 равен 16,124...

Главный корень n-й степени положительного числа можно вычислить с помощью логарифмов . Начиная с уравнения, которое определяет r как корень n-й степени из x , а именно, с положительным x и, следовательно, его главный корень r также положительный, логарифмируем обе стороны ( подойдет любое основание логарифма ), чтобы получить${\displaystyle r^{n}=x,}$

$${\displaystyle n\log _{b}r=\log _{b}x\quad \quad {\text{hence}}\quad \quad \log _{b}r={\frac {\log _{b}x}{n}}.}$$

Корень r восстанавливается из этого путем взятия антилогарифма :

$${\displaystyle r=b^{{\frac {1}{n}}\log _{b}x}.}$$

(Примечание: эта формула показывает b, возведенное в степень результата деления, а не b, умноженное на результат деления.)

Для случая, когда x отрицательно, а n нечетно, существует один действительный корень r , который также отрицателен. Его можно найти, сначала умножив обе стороны определяющего уравнения на −1, чтобы получить , затем действуя, как и прежде, чтобы найти | r |, и используя r = −| r | .${\displaystyle |r|^{n}=|x|,}$

Древнегреческие математики знали, как использовать циркуль и линейку для построения длины, равной квадратному корню данной длины, когда дана вспомогательная линия единичной длины. В 1837 году Пьер Ванцель доказал, что корень n- й степени данной длины не может быть построен, если n не является степенью 2. ^[11]

Каждое комплексное число, отличное от 0, имеет n различных корней n- й степени.

Два квадратных корня комплексного числа всегда являются отрицательными друг другу. Например, квадратные корни из −4 равны 2 i и −2 i , а квадратные корни из i равны

$${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i)\quad {\text{and}}\quad -{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i).}$$

Если выразить комплексное число в полярной форме , то квадратный корень можно получить, взяв квадратный корень из радиуса и разделив угол пополам:

$${\displaystyle {\sqrt {re^{i\theta }}}=\pm {\sqrt {r}}\cdot e^{i\theta /2}.}$$

Главный корень комплексного числа можно выбрать различными способами, например

$${\displaystyle {\sqrt {re^{i\theta }}}={\sqrt {r}}\cdot e^{i\theta /2}}$$

что вводит разрез ветви в комплексной плоскости вдоль положительной действительной оси с условием 0 ≤  θ  < 2 π или вдоль отрицательной действительной оси с условием − π  <  θ  ≤  π .

Используя первую (последнюю) ветвь, разрезаем главный квадратный корень , отображаемый в полуплоскость с неотрицательной мнимой (действительной) частью. Последняя ветвь разреза предполагается в математическом программном обеспечении, таком как Matlab или Scilab .${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {z}}}$${\displaystyle \scriptstyle z}$

Число 1 имеет n различных корней n-й степени в комплексной плоскости, а именно

$${\displaystyle 1,\;\omega ,\;\omega ^{2},\;\ldots ,\;\omega ^{n-1},}$$

где

$${\displaystyle \omega =e^{\frac {2\pi i}{n}}=\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right).}$$

Эти корни равномерно распределены по единичной окружности в комплексной плоскости под углами, кратными . Например, квадратные корни из единицы равны 1 и −1, а четвертые корни из единицы равны 1, , −1 и .${\displaystyle 2\pi /n}$${\displaystyle i}$${\displaystyle -i}$

Каждое комплексное число имеет n различных корней n-й степени в комплексной плоскости. Это

$${\displaystyle \eta ,\;\eta \omega ,\;\eta \omega ^{2},\;\ldots ,\;\eta \omega ^{n-1},}$$

где η — один корень n-й степени, а 1,  ω ,  ω ² , ...  ω ^{n −1} — корни n -й степени из единицы. Например, четыре различных корня четвертой степени из 2 равны

$${\displaystyle {\sqrt[{4}]{2}},\quad i{\sqrt[{4}]{2}},\quad -{\sqrt[{4}]{2}},\quad {\text{and}}\quad -i{\sqrt[{4}]{2}}.}$$

В полярной форме один корень степени n можно найти по формуле

$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{re^{i\theta }}}={\sqrt[{n}]{r}}\cdot e^{i\theta /n}.}$$

Здесь r — величина (модуль, также называемый абсолютным значением ) числа, корень которого необходимо извлечь; если число можно записать как a+bi, то . Кроме того, — это угол, образованный при повороте относительно начала координат против часовой стрелки от положительной горизонтальной оси к лучу, идущему от начала координат к числу; он обладает следующими свойствами: и${\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \cos \theta =a/r,}$ ${\displaystyle \sin \theta =b/r,}$${\displaystyle \tan \theta =b/a.}$

Таким образом, нахождение корней n-й степени в комплексной плоскости можно разбить на два этапа. Во-первых, величина всех корней n- й степени равна корню n- й степени величины исходного числа. Во-вторых, угол между положительной горизонтальной осью и лучом из начала координат к одному из корней n- й степени равен , где — угол, определяемый таким же образом для числа, корень которого извлекается. Кроме того, все n корней n-й степени находятся под одинаковым углом друг к другу.${\displaystyle \theta /n}$${\displaystyle \theta }$

Если n четно, то корни комплексного числа степени n , из которых есть четное число, образуют аддитивные обратные пары, так что если число r ₁ является одним из корней степени n , то r ₂ = – r ₁ является другим. Это происходит потому, что возведение коэффициента последнего –1 в степень n для четного n дает 1: то есть, (– r ₁ ) ⁿ = (–1) ⁿ × r ₁ ⁿ = r ₁ ⁿ .

Как и в случае с квадратными корнями, приведенная выше формула не определяет непрерывную функцию на всей комплексной плоскости, а вместо этого имеет ветвь в точках, где θ  /  n имеет разрыв.

Когда-то было высказано предположение , что все полиномиальные уравнения могут быть решены алгебраически (то есть, что все корни полинома могут быть выражены в терминах конечного числа радикалов и элементарных операций ). Однако, хотя это верно для полиномов третьей степени ( кубиков ) и полиномов четвертой степени ( квартиков ), теорема Абеля–Руффини (1824) показывает, что это неверно в общем случае, когда степень равна 5 или больше. Например, решения уравнения

$${\displaystyle x^{5}=x+1}$$

не может быть выражено через радикалы. ( ср. уравнение пятой степени )

Предположим, что рационально. То есть, его можно свести к дроби , где a и b — целые числа без общего множителя.${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$

Это означает, что .${\displaystyle x={\frac {a^{n}}{b^{n}}}}$

Так как x — целое число, и должно иметь общий множитель, если . Это означает, что если , не находится в простейшей форме. Таким образом, b должно быть равно 1.${\displaystyle a^{n}}$${\displaystyle b^{n}}$${\displaystyle b\neq 1}$${\displaystyle b\neq 1}$${\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}}$

Так как и , .${\displaystyle 1^{n}=1}$${\displaystyle {\frac {n}{1}}=n}$${\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}=a^{n}}$

Это означает, что и, таким образом, . Это подразумевает, что — целое число. Поскольку x не является совершенной степенью n , это невозможно. Таким образом, — иррационально.${\displaystyle x=a^{n}}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=a}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$

• Геометрическое среднее
• Двенадцатый корень из двух

Найдите значение слова сурд в Викисловаре, бесплатном словаре.

Найдите значение слова «радикал» в Викисловаре, бесплатном словаре.