n-эллипс
Обобщение эллипса, допускающее более двух фокусов
Примеры 3-эллипсов для трех заданных фокусов. Прогрессия расстояний нелинейна.

В геометрии n -эллипс является обобщением эллипса , допускающим более двух фокусов . [1] n -эллипсы имеют множество других названий, включая мультифокальный эллипс , [2] полиэллипс , [3] яйцевидный эллипс , [4] k -эллипс , [5] и Tschirnhaus'sche Eikurve (в честь Эренфрида Вальтера фон Чирнхауса ). Впервые они были исследованы Джеймсом Клерком Максвеллом в 1846 году. [6]

При наличии n фокусных точек ( u i ,  v i ) на плоскости n -эллипс является геометрическим местом точек плоскости, сумма расстояний до n фокусов которых является константой d . В формулах это множество

{ ( х , у ) ∈ Р 2 : ∑ я = 1 н ( х − ты я ) 2 + ( у − в я ) 2 = г } . {\displaystyle \left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}:\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {(x-u_{i})^{2}+(y-v_{i})^{2}}}=d\right\}.}

1-эллипс — это окружность , а 2-эллипс — классический эллипс. Оба являются алгебраическими кривыми степени 2.

Для любого числа фокусов n , n -эллипс является замкнутой выпуклой кривой . [2] : (стр. 90)  Кривая является гладкой, если она не проходит через фокус. [5] : стр.7 

n - эллипс в общем случае представляет собой подмножество точек, удовлетворяющих определенному алгебраическому уравнению . [5] : Рис. 2 и 4, стр. 7  Если n нечетно , алгебраическая степень кривой равна , а если n четно , то степень равна [5] : (Теор. 1.1)  2 н {\displaystyle 2^{n}} 2 н − ( н н / 2 ) . {\displaystyle 2^{n}-{\binom {n}{n/2}}.}

n -эллипсы являются частными случаями спектроэдров .

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ J. Sekino (1999): " n -Эллипсы и задача о минимальной сумме расстояний", American Mathematical Monthly 106 #3 (март 1999), 193–202. MR 1682340; Zbl  986.51040.
  2. ^ ab Erdős, Paul ; Vincze, István (1982). "On the Approximation of Convex, Closed Plane Curves by Multifocal Ellipses" (PDF) . Journal of Applied Probability . 19 : 89–96. doi :10.2307/3213552. JSTOR  3213552. S2CID  17166889. Архивировано из оригинала (PDF) 28 сентября 2016 г. . Получено 22 февраля 2015 г. .
  3. ^ ZA Melzak и JS Forsyth (1977): «Поликоника 1. полиэллипсы и оптимизация», Вопр. прикладной математики , страницы 239–255, 1977.
  4. ^ PV Sahadevan (1987): «Теория яичного затмения — новая кривая с тремя фокальными точками», Международный журнал математического образования в науке и технике 18 (1987), 29–39. MR 872599; Zbl  613.51030.
  5. ^ abcd J. Nie, PA Parrilo, B. Sturmfels: "J. Nie, P. Parrilo, B.St.: "Полуопределенное представление k-эллипса", в Алгоритмы в алгебраической геометрии, IMA Volumes in Mathematics and its Applications, 146, Springer, Нью-Йорк, 2008, стр. 117-132
  6. ↑ Джеймс Клерк Максвелл (1846): «Статья об описании овальных кривых», февраль 1846 г., из « Научных писем и статей Джеймса Клерка Максвелла: 1846–1862 гг.»

Дальнейшее чтение

  • П. Л. Розин: «О построении овалов»
  • Б. Штурмфельс: «Геометрия полуопределенного программирования», стр. 9–16.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=N-эллипс&oldid=1149265688"