Обобщенная коническая

В математике обобщенная коника — это геометрический объект , определяемый свойством, которое является обобщением некоторого определяющего свойства классической коники . Например, в элементарной геометрии эллипс можно определить как геометрическое место точки, которая движется в плоскости таким образом, что сумма ее расстояний от двух фиксированных точек — фокусов — на плоскости является константой. Кривая, полученная при замене множества двух фиксированных точек произвольным, но фиксированным конечным множеством точек на плоскости, называется n -эллипсом и может рассматриваться как обобщенный эллипс. Поскольку эллипс — это равноудаленное множество двух окружностей, где одна окружность находится внутри другой, равноудаленное множество двух произвольных множеств точек на плоскости можно рассматривать как обобщенную конику. В прямоугольных декартовых координатах уравнение y = x ² представляет собой параболу . Обобщенное уравнение y = x ^r , для r ≠ 0 и r ≠ 1, можно рассматривать как определяющее обобщенную параболу. Идея обобщенной коники нашла применение в теории приближения и теории оптимизации . ^[1]

Среди нескольких возможных способов обобщения концепции конического сечения наиболее широко используемый подход заключается в определении его как обобщения эллипса . Отправной точкой этого подхода является рассмотрение эллипса как кривой, удовлетворяющей «свойству двух фокусов»: эллипс — это кривая, которая является геометрическим местом точек, сумма расстояний которых от двух заданных точек постоянна. Две точки являются фокусами эллипса. Кривая, полученная путем замены набора из двух фиксированных точек произвольным, но фиксированным конечным набором точек на плоскости, может рассматриваться как обобщенный эллипс. Обобщенные коники с тремя фокусами называются трифокальными эллипсами. Это можно дополнительно обобщить до кривых, которые получаются как геометрические места точек таким образом, что некоторая взвешенная сумма расстояний от конечного набора точек является константой. Еще большее обобщение возможно, если предположить, что веса, прикрепленные к расстояниям, могут иметь произвольный знак, а именно плюс или минус. Наконец, ограничение, что множество неподвижных точек, называемое множеством фокусов обобщенной коники, должно быть конечным, также может быть снято. Множество может быть предположено конечным или бесконечным. В бесконечном случае взвешенное арифметическое среднее должно быть заменено соответствующим интегралом. Обобщенные коники в этом смысле также называются полиэллипсами , яйцевидными линзами или обобщенными эллипсами . Поскольку такие кривые рассматривались немецким математиком Эренфридом Вальтером фон Чирнгаузом (1651 – 1708), они также известны как кривые Чирнгауза . ^[2] Также такие обобщения обсуждались Рене Декартом ^[3] и Джеймсом Клерком Максвеллом. ^[4]

Рене Декарт (1596–1650), отец аналитической геометрии, в своей работе La Geometrie, опубликованной в 1637 году, выделил раздел примерно в 15 страниц для обсуждения того, что он назвал бифокальными эллипсами. Бифокальный овал был определен там как геометрическое место точки P , которая движется в плоскости таким образом, что где A и B являются фиксированными точками в плоскости, а λ и c являются константами, которые могут быть положительными или отрицательными. Декарт ввел эти овалы, которые теперь известны как декартовы овалы , для определения поверхностей стекла таким образом, что после преломления лучи встречаются в одной точке. Декарт также распознал эти овалы как обобщения центральных коник, потому что при определенных значениях λ эти овалы сводятся к знакомым центральным коникам, а именно, к окружности, эллипсу или гиперболе. ^[3]${\displaystyle AP+\лямбда BP=c}$

Многофокусные овалы были заново открыты Джеймсом Клерком Максвеллом (1831–1879), когда он был еще школьником. В юном возрасте 15 лет Максвелл написал научную работу об этих овалах под названием «Наблюдения за описанными фигурами, имеющими множество фокусов и радиусы различных пропорций» и добился того, чтобы профессор Дж. Д. Форбс представил ее на заседании Королевского общества Эдинбурга в 1846 году. Профессор Дж. Д. Форбс также опубликовал отчет о работе в Трудах Королевского общества Эдинбурга. ^{[4] [5]} В своей работе, хотя Максвелл и не использовал термин «обобщенная коника», он рассматривал кривые, определяемые условиями, которые были обобщениями определяющего условия эллипса.

Многофокусный овал — это кривая, которая определяется как геометрическое место точки, движущейся таким образом, что

${\displaystyle \lambda _{1}A_{1}P+\lambda _{2}A_{2}P+\cdots +\lambda _{n}A_{n}P=c}$

где A ₁ , A ₂ , . . . , A _n — фиксированные точки на плоскости, а λ ₁ , λ ₂ , . . . , λ _n — фиксированные рациональные числа, а c — константа. Он дал простые методы «булавка-нитка-карандаш» для рисования таких овалов.

Метод рисования овала, определяемого уравнением, иллюстрирует общий подход, принятый Максвеллом для рисования таких кривых. Закрепите два штифта в фокусах A и B. Возьмите нить длиной c + AB и привяжите один конец нити к штифту в точке A. К другому концу нити прикреплен карандаш, и нить пропущена вокруг штифта в точке B. Затем карандаш перемещается, направляемый изгибом нити. Кривая, начерченная карандашом, является геометрическим местом точек P. Его изобретательность более заметна в его описании метода рисования трифокального овала, определяемого уравнением вида . Пусть три штифта закреплены в трех фокусах A , B , C. Пусть один конец нити закреплен на штифте в точке C , и пусть нить пропущена вокруг других штифтов. Пусть карандаш прикреплен к другому концу нити. Пусть карандаш зацепится за изгиб нити между A и C , а затем растянется до точки P. Карандаш перемещается таким образом, чтобы нить была натянута. Полученная фигура будет частью трифокального эллипса. Положение струны может быть скорректировано, чтобы получить полный овал.${\displaystyle AP+2BP=c}$${\displaystyle AP+BP+CP=c}$

В течение двух лет после того, как его доклад был представлен Королевскому обществу Эдинбурга, Максвелл систематически разрабатывал геометрические и оптические свойства этих овалов. ^[5]

В качестве частного случая подхода Максвелла рассмотрим n-эллипс — геометрическое место точек, движущихся таким образом, что выполняется следующее условие:

${\displaystyle A_{1}P+A_{2}P+\cdots +A_{n}P=c.\,}$

Разделив на n и заменив c / n на c , это определяющее условие можно сформулировать как

${\displaystyle {\frac {1}{n}}(A_{1}P+A_{2}P+\cdots +A_{n}P)=c}$

Это предполагает простую интерпретацию: обобщенная коника — это кривая, такая, что среднее расстояние каждой точки P на кривой из множества { A ₁ , A ₂ , . . . , _An } имеет одно и то же постоянное значение. Эта формулировка понятия обобщенной коники была далее обобщена несколькими различными способами.

• Измените определение среднего . В формулировке среднее интерпретировалось как среднее арифметическое. Это может быть заменено другими понятиями средних, такими как среднее геометрическое расстояний. Если среднее геометрическое используется для указания среднего, то полученные кривые оказываются лемнискатами . "Лемнискаты — это множества, все точки которых имеют одинаковое среднее геометрическое расстояний (т.е. их произведение постоянно). Лемнискаты играют центральную роль в теории приближений. Полиномиальное приближение голоморфной функции можно интерпретировать как приближение кривых уровня с помощью лемнискат. Произведение расстояний соответствует абсолютному значению корневого разложения полиномов в комплексной плоскости". ^[6]
• Изменить мощность фокального множества . Изменить определение так, чтобы его можно было применять даже в случае, когда фокальное множество бесконечно. Впервые эту возможность ввели К. Гросс и Т.-К. Штремпель [2], и они поставили вопрос о том, какие результаты (классического случая) можно распространить на случай бесконечного числа фокальных точек или на непрерывный набор фокусов. ^[7]
• Изменим размерность базового пространства . Можно предположить, что точки лежат в некотором d -мерном пространстве.
• Измените определение расстояния . Традиционно используются евклидовы определения. Вместо них могут использоваться другие понятия расстояния, такие как расстояние такси . ^{[6] [8]} Обобщенные конические сечения с этим понятием расстояния нашли применение в геометрической томографии . ^{[6] [9]}

Формулировка определения обобщенной коники в самом общем случае, когда мощность фокального множества бесконечна, включает понятия измеримых множеств и интегрирования Лебега. Все это использовалось разными авторами, и полученные кривые изучались с особым акцентом на приложения.

Пусть будет метрикой и мерой на компактном множестве с . Невзвешенная обобщенная коническая функция, связанная с , есть${\displaystyle d:R^{n}\rightarrow R}$${\displaystyle \мю}$${\displaystyle K\subset R^{n}}$${\displaystyle \мю (К)>0}$${\displaystyle f_{K}}$${\displaystyle К}$

${\displaystyle f_{K}(x)=\int _{K}g(x,y)d(x,y)\,d_{\mu }y}$

где — функция ядра, связанная с . — множество фокусов. Множества уровня называются обобщенными кониками. ^[6]${\displaystyle g:R^{n}\times R^{n}\rightarrow R}$${\displaystyle f_{K}}$${\displaystyle К}$${\displaystyle \{x\in R^{n}:f_{K}(x)<c\}}$

Если взять коническое сечение и выбрать фокус конического сечения в качестве полюса , а прямую, проходящую через полюс и параллельную директрисе конического сечения, в качестве полярной оси, то полярное уравнение конического сечения можно записать в следующем виде:

${\displaystyle r={\frac {ed}{1+e\sin \theta }}}$

Здесь e — эксцентриситет конического сечения, а d — расстояние директрисы от полюса. Том М. Апостол и Мамикон А. Мнацаканян в своем исследовании кривых, нарисованных на поверхностях прямых круговых конусов, ввели новый класс кривых, которые они назвали обобщенными кониками. ^{[10] [11]} Это кривые, полярные уравнения которых аналогичны полярным уравнениям обычных коников, а обычные коники появляются как частные случаи этих обобщенных коников.

Для констант r ₀ ≥ 0, λ ≥ 0 и действительного k плоская кривая описывается полярным уравнением

${\displaystyle r={\frac {r_{0}}{1+\lambda \sin(k\theta )}}}$

называется обобщенной коникой . ^[11] Коника называется обобщенным эллипсом, параболой или гиперболой в зависимости от того, λ < 1, λ = 1 или λ > 1.

• В частном случае, когда k = 1, обобщенная коника сводится к обычной конике.
• В частном случае, когда k > 1, существует простой геометрический метод для построения соответствующей обобщенной коники. ^[11]

Пусть α — угол такой, что sin α = 1/ k . Рассмотрим прямой круговой конус с полувертикальным углом, равным α . Рассмотрим пересечение этого конуса плоскостью, так что пересечение является коникой с эксцентриситетом λ . Развернем конус до плоскости. Тогда кривая в плоскости, на которую развернуто коническое сечение с эксцентриситетом λ , является обобщенной коникой с полярным уравнением, как указано в определении.

• В частном случае, когда k < 1, обобщенная коника не может быть получена путем разворачивания конического сечения. В этом случае существует другая интерпретация.

Рассмотрим обычную конику, нарисованную на плоскости. Обернем плоскость, чтобы получился прямой круговой конус, так что коника станет кривой в трехмерном пространстве. Проекция кривой на плоскость, перпендикулярную оси конуса, будет обобщенной коникой в ​​смысле Апостола и Мнацаканяна с k < 1.

В 1996 году Жуйбин Ку ввел новое понятие обобщенной коники как инструмента для создания приближений к кривым. ^[12] Отправной точкой для этого обобщения является результат, что последовательность точек, определяемая${\displaystyle \{P_{k}:k=0,1,2,\ldots \}}$

${\displaystyle P_{k+1}=2\alpha P_{k}-P_{k-1}}$

лежат на конике. В этом подходе обобщенная коника теперь определяется следующим образом.

Обобщенная коника — это такая кривая, что если две точки и находятся на ней, то точки, порожденные рекурсивным соотношением${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle \{P_{k}:k>1\}}$

${\displaystyle P_{k+1}=2\alpha P_{k}+\beta P_{k-1}}$

для некоторых и удовлетворяющий отношения${\displaystyle \альфа}$${\displaystyle \бета}$

${\displaystyle \alpha \beta \neq 0, \quad (\alpha,\beta)\neq (\pm 1, -1), \quad \alpha ^{2}+\beta \neq 0}$

также находятся на нем.

Пусть ( X , d ) — метрическое пространство , а A — непустое подмножество X. Если x — точка в X , расстояние x от A определяется как d ( x , A ) = inf{ d ( x , a ): a in A }. Если A и B — оба непустые подмножества X , то равноудаленное множество, определяемое A и B, определяется как множество { x in X : d ( x , A ) = d ( x , B )}. Это равноудаленное множество обозначается как { A = B }. Термин обобщенная коника используется для обозначения общего равноудаленного множества. ^[13]

Классические коники можно реализовать как равноотстоящие множества. Например, если A — одноэлементное множество, а B — прямая линия, то равноотстоящее множество { A = B } является параболой. Если A и B — окружности, такие, что A полностью находится внутри B, то равноотстоящее множество { A = B } является эллипсом. С другой стороны, если A полностью лежит вне B, то равноотстоящее множество { A = B } является гиперболой.

Аналогичный подход рассматривает обобщение интерпретации фокуса/директрисы/эксцентриситета коник, сохраняя одну точку F для фокуса, любую дифференцируемую кривую d, служащую директрисой, и e > 0, эксцентриситетом. Пусть X будет переменной точкой на d. Результирующая обобщенная коника представляет собой множество точек P (каждая из которых лежит на нормали к d через X ), для которых расстояния PF и PX удовлетворяют отношению PF/PX = e . Норман ^[14] и Поплин ^[15] назвали эти кривые псевдокониками, и ограничение, что расстояние от P до директрисы должно быть минимальным, было отброшено.

Если сохранить требование минимальности, то множество точек P, удовлетворяющих этому требованию, считается первичной псевдоконикой, а оставшаяся часть кривой — вторичной ветвью псевдоконики. Похожие примеры обобщенных парабол можно найти в Joseph et al. [ ^16]

• Подробное обсуждение обобщенных коник с точки зрения дифференциальной геометрии см. в главе об обобщенных кониках в книге «Выпуклая геометрия» Чабы Винче, доступной онлайн. ^[1]