Алгебра множителей

В математике алгебра множителей , обозначаемая как M ( A ), C*-алгебры A — это унитальная C*-алгебра, которая является наибольшей унитальной C*-алгеброй, содержащей A как идеал «невырожденным» образом. Это некоммутативное обобщение компактификации Стоуна–Чеха . Алгебры множителей были введены Басби (1968).

Например, если A — C*-алгебра компактных операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве , то M ( A ) — это B ( H ), C*-алгебра всех ограниченных операторов в H .

Определение

Идеал I в C*-алгебре B называется существенным, если I J нетривиален для любого идеала J. Идеал I является существенным тогда и только тогда, когда I , «ортогональное дополнение» I в гильбертовом C*-модуле B равно {0}.

Пусть A — C*-алгебра. Ее мультипликаторная алгебра M ( A ) — это любая C*-алгебра, удовлетворяющая следующему универсальному свойству : для любой C*-алгебры D, содержащей A в качестве идеала, существует единственный *-гомоморфизм φ: DM ( A ) такой, что φ продолжает тождественный гомоморфизм на A и φ ( A ) = {0}.

Единственность с точностью до изоморфизма определяется универсальным свойством. Когда A унитальна, M ( A ) = A . Из определения также следует, что для любого D, содержащего A как существенный идеал, алгебра множителей M ( A ) содержит D как C*-подалгебру.

Существование M ( A ) можно показать несколькими способами.

Двойной централизатор C*-алгебры A — это пара ( L , R ) ограниченных линейных отображений на A такая, что aL ( b ) = R ( a ) b для всех a и b из A . Это означает, что || L || = || R ||. Множеству двойных централизаторов A можно задать структуру C*-алгебры. Эта C*-алгебра содержит A как существенный идеал и может быть идентифицирована как алгебра множителей M ( A ). Например, если A — это компактные операторы K ( H ) на сепарабельном гильбертовом пространстве, то каждый xB ( H ) определяет двойной централизатор A простым умножением слева и справа.

Альтернативно, M ( A ) можно получить через представления. Понадобится следующий факт:

Лемма. Если I — идеал в C*-алгебре B , то любое точное невырожденное представление π идеала I может быть единственным образом продолжено до B.

Теперь возьмем любое точное невырожденное представление π для A в гильбертовом пространстве H. Приведенная выше лемма вместе с универсальным свойством алгебры множителей дает, что M ( A ) изоморфно идеализатору π ( A ) в B ( H ). Непосредственно следует, что M ( K ( H ) ) = B ( H ).

Наконец, пусть E — гильбертов C*-модуль, а B ( E ) (соответственно K ( E )) — сопряженные (соответственно компактные) операторы на E M ( A ) можно идентифицировать с помощью *-гомоморфизма A в B ( E ). Нечто похожее на приведенную выше лемму верно:

Лемма. Если I — идеал в C*-алгебре B , то любой точный невырожденный *-гомоморфизм π идеала I в B ( E ) может быть единственным образом продолжен до B.

Следовательно, если π — точный невырожденный *-гомоморфизм A в B ( E ), то M ( A ) изоморфен идеализатору π ( A ). Например, M ( K ( E )) = B ( E ) для любого гильбертова модуля E .

C*-алгебра A изоморфна компактным операторам в гильбертовом модуле A. Следовательно, M ( A ) — сопряженные операторы в A .

Строгая топология

Рассмотрим топологию на M ( A ), заданную полунормами { l a , r a } a A , где

л а ( х ) = а х , г а ( х ) = х а . {\displaystyle l_{a}(x)=\|ax\|,\;r_{a}(x)=\|xa\|.}

Полученная топология называется строгой топологией на M ( A ). A строго плотно в M ( A ) .

Когда A унитальна, M ( A ) = A , и строгая топология совпадает с топологией нормы. Для B ( H ) = M ( K ( H )) строгая топология является топологией σ-strong* . Из вышесказанного следует, что B ( H ) является полной в топологии σ-strong* .

Коммутативный случай

Пусть Xлокально компактное хаусдорфово пространство , A = C 0 ( X ), коммутативная C*-алгебра непрерывных функций, обращающихся в нуль на бесконечности . Тогда M ( A ) — это C b ( X ), непрерывные ограниченные функции на X . По теореме Гельфанда–Наймарка имеет место изоморфизм C*-алгебр

С б ( Х ) С ( И ) {\displaystyle C_{b}(X)\simeq C(Y)}

где Yспектр C b ( X ). Фактически Y гомеоморфен компактификации Стоуна– Чеха βX пространства X .

Алгебра короны

Коронная или коронная алгебра A — это фактор M ( A )/ A . Например, коронная алгебра алгебры компактных операторов в гильбертовом пространстве — это алгебра Калкина .

Алгебра короны является некоммутативным аналогом множества короны топологического пространства.

Ссылки

Получено с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Алгебра_множителей&oldid=1181810214"