Таблица умножения

В математике таблица умножения (иногда, менее формально, таблица умножения ) — математическая таблица , используемая для определения операции умножения для алгебраической системы.

Таблица умножения десятичной дроби традиционно преподавалась как неотъемлемая часть элементарной арифметики во всем мире, поскольку она закладывает основу для арифметических операций с числами в десятичной системе счисления. Многие педагоги считают, что необходимо запомнить таблицу до 9 × 9. ^[1]

Древнейшие известные таблицы умножения использовались вавилонянами около 4000 лет назад. ^[2] Однако они использовали основание 60. ^[2] Древнейшие известные таблицы, использующие основание 10, — это китайская десятичная таблица умножения на бамбуковых полосках , датируемая примерно 305 годом до нашей эры, во время периода Воюющих царств в Китае . ^[2]

Таблицу умножения иногда приписывают древнегреческому математику Пифагору (570–495 до н. э.). На многих языках (например, французском, итальянском и русском) ее также называют Таблицей Пифагора, иногда и на английском. ^[4] Греко -римский математик Никомах (60–120 н. э.), последователь неопифагореизма , включил таблицу умножения в свое «Введение в арифметику» , тогда как самая старая сохранившаяся греческая таблица умножения находится на восковой табличке, датируемой I веком н. э. и в настоящее время хранящейся в Британском музее . ^[5]

В 493 году нашей эры Викторий Аквитанский составил таблицу умножения из 98 столбцов, которая давала ( римскими цифрами ) произведение каждого числа от 2 до 50, а строки представляли собой «список чисел, начинающихся с тысячи, убывающих по сотням до ста, затем убывающих по десяткам до десяти, затем по единицам до одного, а затем дробей до 1/144». ^[6]

В своей книге 1820 года «Философия арифметики » ^[7] математик Джон Лесли опубликовал таблицу умножения до 1000 × 1000, которая позволяет умножать числа тройками цифр за раз. Лесли также рекомендовал младшим школьникам запомнить таблицу умножения до 50 × 50.

На иллюстрации ниже показана таблица размером 12 × 12 — размер, который в настоящее время широко используется в школах английского языка.

Поскольку умножение целых чисел коммутативно , многие школы используют меньшую таблицу, как показано ниже. Некоторые школы даже удаляют первый столбец, поскольку 1 является мультипликативным тождеством . ^{[ требуется ссылка ]}

Традиционное механическое заучивание умножения основывалось на запоминании столбцов таблицы, расположенных следующим образом.

Такая форма записи таблицы умножения в столбики с полными числовыми предложениями до сих пор используется в некоторых странах, например, в Боснии и Герцеговине, ^{[ требуется ссылка ]} вместо современных сеток, представленных выше.

В таблице умножения есть закономерность, которая может помочь людям легче запомнить таблицу. Она использует следующие цифры:

Рисунок 1 используется для чисел, кратных 1, 3, 7 и 9. Рисунок 2 используется для чисел, кратных 2, 4, 6 и 8. Эти шаблоны можно использовать для запоминания чисел, кратных любому числу от 0 до 10, за исключением 5. Поскольку вы начинаете с числа, которое умножаете, при умножении на 0 вы остаетесь на 0 (0 является внешним, поэтому стрелки не оказывают никакого влияния на 0, в противном случае 0 используется как связь для создания бесконечного цикла). Шаблон также работает с числами, кратными 10, начиная с 1 и просто добавляя 0, что дает вам 10, затем просто применяете каждое число в шаблоне к единице «десятки», как вы обычно делаете это для единицы.

Например, чтобы вспомнить все числа, кратные 7:

1. Посмотрите на цифру 7 на первой картинке и следуйте за стрелкой.
2. Следующее число в направлении стрелки — 4. Итак, подумайте о следующем числе после 7, которое заканчивается на 4, то есть 14.
3. Следующее число в направлении стрелки — 1. Итак, подумайте о следующем числе после 14, которое заканчивается на 1, а именно 21.
4. Достигнув вершины этого столбца, начните с низа следующего столбца и двигайтесь в том же направлении. Число 8. Итак, подумайте о следующем числе после 21, которое заканчивается на 8, то есть 28.
5. Продолжайте таким же образом до последней цифры 3, соответствующей 63.
6. Далее используйте 0 внизу. Он соответствует 70.
7. Затем снова начните с 7. На этот раз это будет соответствовать 77.
8. Продолжайте в том же духе.

Таблицы также могут определять бинарные операции над группами , полями , кольцами и другими алгебраическими системами . В таких контекстах они называются таблицами Кэли .

Для каждого натурального числа n сложение и умножение в Z _n , кольце целых чисел по модулю n , описывается таблицей n на n . (См. Модульная арифметика .) Например, таблицы для Z ₅ следующие:

Другие примеры см. в группе .

Таблицы умножения гиперкомплексных чисел показывают некоммутативные результаты умножения двух гиперкомплексных мнимых единиц. Простейшим примером является таблица умножения кватернионов .

Таблица умножения кватернионов

↓ × →	1	я	дж	к
1	1	я	дж	к
я	я	−1	к	− дж
дж	дж	− к	−1	я
к	к	дж	− я	−1

Дополнительные примеры см. в Octonion § Multiplication , Sedenion § Multiplication и Trigintaduonion § Multiplication .

Моккан, обнаруженный во дворце Хэйдзё, предполагает, что таблица умножения могла быть введена в Японию через китайские математические трактаты, такие как « Сунцзы Суаньцзин» , потому что их выражение таблицы умножения имеет иероглиф如в произведениях, меньших десяти. ^[8] Китайский и японский языки разделяют схожую систему из восьмидесяти одного короткого, легко запоминающегося предложения, которое преподается студентам, чтобы помочь им выучить таблицу умножения до 9 × 9. В современном использовании предложения, которые выражают произведения, меньшие десяти, включают дополнительную частицу в обоих языках. В случае современного китайского языка это得( dé ); а в японском этоが( ga ). Это полезно для тех, кто практикует вычисления с помощью суанпань или соробан , потому что предложения напоминают им о необходимости сместиться на один столбец вправо при вводе произведения, которое не начинается с цифры десятков . В частности, в японской таблице умножения в некоторых конкретных случаях используются нестандартные произношения чисел (например, замена сан року на сабуроку ).

Связка из 21 бамбуковой пластинки, датируемая 305 г. до н. э. в период Воюющих царств , в коллекции бамбуковых пластинок Цинхуа (清華簡) является самым ранним в мире известным примером десятичной таблицы умножения. ^[9]

Современное представление десятичной таблицы умножения времен Сражающихся царств, используемой для вычисления 12 × 34,5

В 1989 году Национальный совет учителей математики (NCTM) разработал новые стандарты, основанные на убеждении, что все учащиеся должны изучать навыки мышления более высокого порядка, которые рекомендовали уменьшить акцент на преподавании традиционных методов, которые полагались на механическое запоминание, таких как таблица умножения. Широко принятые тексты, такие как Investigations in Numbers, Data, and Space (широко известные как TERC по имени их производителя, Technical Education Research Centers), не включали в себя такие вспомогательные материалы, как таблица умножения, в ранних изданиях. NCTM ясно дал понять в своих Focal Points 2006 года , что основные математические факты должны быть изучены, хотя нет единого мнения о том, является ли механическое запоминание лучшим методом. В последние годы был разработан ряд нетрадиционных методов, чтобы помочь детям выучить факты умножения, включая приложения в стиле видеоигр и книги, направленные на обучение таблице умножения с помощью историй, основанных на персонажах.

• Ведический квадрат
• IBM 1620 — ранний компьютер, использовавший таблицы, хранящиеся в памяти, для выполнения сложения и умножения.

На Викискладе есть медиафайлы по теме «Таблица умножения».