Твердый раствор Муни–Ривлина

Часть серии статей о
Механика сплошной среды
${\displaystyle J=-D{\frac {d\varphi }{dx}}}$ Законы диффузии Фика
Законы Консервации Масса Импульс Энергия Неравенства Клаузиус–Дюгем (энтропия)
Механика твёрдого тела Деформация Эластичность линейный Пластичность закон Гука Стресс Напряжение Конечная деформация Бесконечно малая деформация Совместимость Изгиб Контактная механика фрикционный Теория разрушения материалов Механика разрушения
Механика жидкости Жидкости Статика  · Динамика Принцип Архимеда  · Принцип Бернулли Уравнения Навье–Стокса Уравнение Пуазейля  · Закон Паскаля Вязкость ( Ньютоновский  · неньютоновский ) Плавучесть  · Смешивание  · Давление Жидкости Адгезия Капиллярное действие Хроматография Когезия (химия) Поверхностное натяжение Газы Атмосфера Закон Бойля Закон Шарля Комбинированный газовый закон Закон Фика Закон Гей-Люссака Закон Грэма плазма
Реология Вязкоупругость Реометрия Реометр Умные жидкости Электрореологический Магнитореологический Ферромагнитные жидкости
Ученые Бернулли Бойл Коши Чарльз Эйлер Фик Гей-Люссак Грэм Гук Ньютон Навье Нолл Паскаль Стокса Трусделл
в т е

В механике сплошной среды тело Муни–Ривлина ^{[1] [2]} представляет собой гиперупругую материальную модель, в которой функция плотности энергии деформации является линейной комбинацией двух инвариантов левого тензора деформации Коши–Грина . Модель была предложена Мелвином Муни в 1940 году и выражена в терминах инвариантов Рональдом Ривлином в 1948 году.${\displaystyle W\,}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$

Функция плотности энергии деформации для несжимаемого материала Муни–Ривлина равна ^{[3] [4]}

${\displaystyle W=C_{1}({\bar {I}}_{1}-3)+C_{2}({\bar {I}}_{2}-3),\,}$

где и — эмпирически определенные материальные константы, а и — первый и второй инварианты ( унимодулярной компоненты ^[5] ) :${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle {\bar {I}}_{1}}$${\displaystyle {\bar {I}}_{2}}$${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {B}}}=(\det {\boldsymbol {B}})^{-1/3}{\boldsymbol {B}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {I}}_{1}&=J^{-2/3}~I_{1},\quad I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2},\\{\bar {I}}_{2}&=J^{-4/3}~I_{2},\quad I_{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\end{aligned}}}$

где — градиент деформации и . Для несжимаемого материала .${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$${\displaystyle J=\det({\boldsymbol {F}})=\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}}$${\displaystyle J=1}$

Модель Муни–Ривлина является частным случаем обобщенной модели Ривлина (также называемой полиномиальной гиперупругой моделью ^[6] ), которая имеет вид

${\displaystyle W=\sum _{p,q=0}^{N}C_{pq}({\bar {I}}_{1}-3)^{p}~({\bar {I}}_{2}-3)^{q}+\sum _{m=1}^{M}{\frac {1}{D_{m}}}~(J-1)^{2m}}$

с где — материальные константы, связанные с искажающим откликом, а — материальные константы, связанные с объемным откликом. Для сжимаемого материала Муни–Ривлина и мы имеем${\displaystyle C_{00}=0}$${\displaystyle C_{pq}}$${\displaystyle D_{m}}$${\displaystyle N=1,C_{01}=C_{2},C_{11}=0,C_{10}=C_{1},M=1}$

${\displaystyle W=C_{01}~({\bar {I}}_{2}-3)+C_{10}~({\bar {I}}_{1}-3)+{\frac {1}{D_{1}}}~(J-1)^{2}}$

Если мы получим нео-гуковское тело , частный случай тела Муни–Ривлина .${\displaystyle C_{01}=0}$

Для согласованности с линейной упругостью в пределе малых деформаций необходимо, чтобы

${\displaystyle \kappa =2/D_{1}~;~~\mu =2~(C_{01}+C_{10})}$

где — модуль объемной упругости , — модуль сдвига .${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \mu }$

Напряжение Коши в сжимаемом гиперупругом материале с базовой конфигурацией без напряжений определяется выражением

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2}{J}}\left[{\cfrac {1}{J^{2/3}}}\left({\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+{\bar {I}}_{1}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right){\boldsymbol {B}}-{\cfrac {1}{J^{4/3}}}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+\left[{\cfrac {\partial {W}}{\partial J}}-{\cfrac {2}{3J}}\left({\bar {I}}_{1}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+2~{\bar {I}}_{2}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)\right]~{\boldsymbol {I}}}$

Для сжимаемого материала Муни-Ривлина,

${\displaystyle {\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}=C_{1}~;~~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}=C_{2}~;~~{\cfrac {\partial {W}}{\partial J}}={\frac {2}{D_{1}}}(J-1)}$

Таким образом, напряжение Коши в сжимаемом материале Муни-Ривлина определяется выражением

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2}{J}}\left[{\cfrac {1}{J^{2/3}}}\left(C_{1}+{\bar {I}}_{1}~C_{2}\right){\boldsymbol {B}}-{\cfrac {1}{J^{4/3}}}~C_{2}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+\left[{\frac {2}{D_{1}}}(J-1)-{\cfrac {2}{3J}}\left(C_{1}{\bar {I}}_{1}+2C_{2}{\bar {I}}_{2}~\right)\right]{\boldsymbol {I}}}$

После некоторых алгебраических вычислений можно показать, что давление определяется выражением

${\displaystyle p:=-{\tfrac {1}{3}}\,{\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }})=-{\frac {\partial W}{\partial J}}=-{\frac {2}{D_{1}}}(J-1)\,.}$

Тогда напряжение можно выразить в виде

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {I}}+{\cfrac {1}{J}}\left[{\cfrac {2}{J^{2/3}}}\left(C_{1}+{\bar {I}}_{1}~C_{2}\right){\boldsymbol {B}}-{\cfrac {2}{J^{4/3}}}~C_{2}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}-{\cfrac {2}{3}}\left(C_{1}\,{\bar {I}}_{1}+2C_{2}\,{\bar {I}}_{2}\right){\boldsymbol {I}}\right]\,.}$

Приведенное выше уравнение часто записывается с использованием унимодулярного тензора  :${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {B}}}=J^{-2/3}\,{\boldsymbol {B}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {I}}+{\cfrac {1}{J}}\left[2\left(C_{1}+{\bar {I}}_{1}~C_{2}\right){\bar {\boldsymbol {B}}}-2~C_{2}~{\bar {\boldsymbol {B}}}\cdot {\bar {\boldsymbol {B}}}-{\cfrac {2}{3}}\left(C_{1}\,{\bar {I}}_{1}+2C_{2}\,{\bar {I}}_{2}\right){\boldsymbol {I}}\right]\,.}$

Для несжимаемого материала Муни–Ривлина с имеет место и . Таким образом,${\displaystyle J=1}$${\displaystyle p=0}$${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {B}}}={\boldsymbol {B}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=2\left(C_{1}+I_{1}~C_{2}\right){\boldsymbol {B}}-2C_{2}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}-{\cfrac {2}{3}}\left(C_{1}\,I_{1}+2C_{2}\,I_{2}\right){\boldsymbol {I}}\,.}$

Поскольку теорема Кэли–Гамильтона подразумевает${\displaystyle \det J=1}$

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}^{-1}={\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}-I_{1}~{\boldsymbol {B}}+I_{2}~{\boldsymbol {I}}.}$

Следовательно, напряжение Коши можно выразить как

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p^{*}~{\boldsymbol {I}}+2C_{1}~{\boldsymbol {B}}-2C_{2}~{\boldsymbol {B}}^{-1}}$

где${\displaystyle p^{*}:={\tfrac {2}{3}}(C_{1}~I_{1}-C_{2}~I_{2}).\,}$

В терминах главных растяжений разности напряжений Коши для несжимаемого гиперупругого материала определяются выражением

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=\lambda _{1}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{1}}}-\lambda _{3}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{3}}}~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=\lambda _{2}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{2}}}-\lambda _{3}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{3}}}}$

Для несжимаемого материала Муни-Ривлина,

${\displaystyle W=C_{1}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}-3)+C_{2}(\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}-3)~;~~\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}=1}$

Поэтому,

${\displaystyle \lambda _{1}{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{1}}}=2C_{1}\lambda _{1}^{2}+2C_{2}\lambda _{1}^{2}(\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2})~;~~\lambda _{2}{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{2}}}=2C_{1}\lambda _{2}^{2}+2C_{2}\lambda _{2}^{2}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{3}^{2})~;~~\lambda _{3}{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{3}}}=2C_{1}\lambda _{3}^{2}+2C_{2}\lambda _{3}^{2}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2})}$

Так как . мы можем написать${\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{1}}}&=2C_{1}\lambda _{1}^{2}+2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda _{3}^{2}}}+{\cfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}\right)~;~~\lambda _{2}{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{2}}}=2C_{1}\lambda _{2}^{2}+2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda _{3}^{2}}}+{\cfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}\right)\\\lambda _{3}{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{3}}}&=2C_{1}\lambda _{3}^{2}+2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}+{\cfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

Тогда выражения для разностей напряжений Коши становятся

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=2C_{1}(\lambda _{1}^{2}-\lambda _{3}^{2})-2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}-{\cfrac {1}{\lambda _{3}^{2}}}\right)~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=2C_{1}(\lambda _{2}^{2}-\lambda _{3}^{2})-2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}-{\cfrac {1}{\lambda _{3}^{2}}}\right)}$

Для случая несжимаемого материала Муни–Ривлина при одноосном растяжении и . Тогда истинные разности напряжений (напряжения Коши) можно рассчитать как:${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda \,}$${\displaystyle \lambda _{2}=\lambda _{3}=1/{\sqrt {\lambda }}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{11}-\sigma _{33}&=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda }}\right)-2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}-\lambda \right)\\\sigma _{22}-\sigma _{33}&=0\end{aligned}}}$

В случае простого натяжения, . Тогда можно записать${\displaystyle \sigma _{22}=\sigma _{33}=0}$

${\displaystyle \sigma _{11}=\left(2C_{1}+{\cfrac {2C_{2}}{\lambda }}\right)\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda }}\right)}$

В альтернативной записи, где напряжение Коши записывается как , а растяжение как , мы можем записать${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle T_{11}=\left(2C_{1}+{\frac {2C_{2}}{\alpha }}\right)\left(\alpha ^{2}-\alpha ^{-1}\right)}$

и инженерное напряжение (сила на единицу опорной площади) для несжимаемого материала Муни-Ривлина при простом растяжении можно рассчитать с помощью . Следовательно${\displaystyle T_{11}^{\mathrm {eng} }=T_{11}\alpha _{2}\alpha _{3}={\cfrac {T_{11}}{\alpha }}}$

${\displaystyle T_{11}^{\mathrm {eng} }=\left(2C_{1}+{\frac {2C_{2}}{\alpha }}\right)\left(\alpha -\alpha ^{-2}\right)}$

Если мы определим

${\displaystyle T_{11}^{*}:={\cfrac {T_{11}^{\mathrm {eng} }}{\alpha -\alpha ^{-2}}}~;~~\beta :={\cfrac {1}{\alpha }}}$

затем

${\displaystyle T_{11}^{*}=2C_{1}+2C_{2}\beta ~.}$

Наклон прямой зависимости дает значение , а пересечение с осью дает значение . Модель твердого тела Муни–Ривлина обычно лучше соответствует экспериментальным данным, чем модель нео-гуковского тела , но требует дополнительной эмпирической константы.${\displaystyle T_{11}^{*}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle T_{11}^{*}}$${\displaystyle C_{1}}$

В случае равнодвуосного растяжения главные растяжения равны . Если, кроме того, материал несжимаем, то . Следовательно, разность напряжений Коши может быть выражена как${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda }$${\displaystyle \lambda _{3}=1/\lambda ^{2}}$

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=\sigma _{22}-\sigma _{33}=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}\right)-2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}-\lambda ^{4}\right)}$

Уравнения для равномерного двухосного растяжения эквивалентны уравнениям для одноосного сжатия.

Чистая деформация сдвига может быть достигнута путем применения растяжений вида ^[7]

${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda ~;~~\lambda _{2}={\cfrac {1}{\lambda }}~;~~\lambda _{3}=1}$

Следовательно, разность напряжений Коши для чистого сдвига может быть выражена как

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=2C_{1}(\lambda ^{2}-1)-2C_{2}\left({\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}-1\right)~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=2C_{1}\left({\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}-1\right)-2C_{2}(\lambda ^{2}-1)}$

Поэтому

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{22}=2(C_{1}+C_{2})\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}\right)}$

Для чистой сдвиговой деформации

${\displaystyle I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}=\lambda ^{2}+{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}+1~;~~I_{2}={\cfrac {1}{\lambda _{1}^{2}}}+{\cfrac {1}{\lambda _{2}^{2}}}+{\cfrac {1}{\lambda _{3}^{2}}}={\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}+\lambda ^{2}+1}$

Поэтому .${\displaystyle I_{1}=I_{2}}$

Градиент деформации для простой сдвиговой деформации имеет вид ^[7]

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {1}}+\gamma ~\mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}}$

где — опорные ортонормальные базисные векторы в плоскости деформации, а деформация сдвига определяется выражением${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}}$

${\displaystyle \gamma =\lambda -{\cfrac {1}{\lambda }}~;~~\lambda _{1}=\lambda ~;~~\lambda _{2}={\cfrac {1}{\lambda }}~;~~\lambda _{3}=1}$

В матричной форме градиент деформации и левый тензор деформации Коши-Грина могут быть выражены как

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}~;~~{\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}={\begin{bmatrix}1+\gamma ^{2}&\gamma &0\\\gamma &1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

Поэтому,

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}^{-1}={\begin{bmatrix}1&-\gamma &0\\-\gamma &1+\gamma ^{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

Напряжение Коши определяется по формуле

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}-p^{*}+2(C_{1}-C_{2})+2C_{1}\gamma ^{2}&2(C_{1}+C_{2})\gamma &0\\2(C_{1}+C_{2})\gamma &-p^{*}+2(C_{1}-C_{2})-2C_{2}\gamma ^{2}&0\\0&0&-p^{*}+2(C_{1}-C_{2})\end{bmatrix}}}$

Для соответствия линейной упругости, очевидно, где находится модуль сдвига.${\displaystyle \mu =2(C_{1}+C_{2})}$${\displaystyle \mu }$

Упругий отклик резиноподобных материалов часто моделируется на основе модели Муни–Ривлина. Константы определяются путем подгонки прогнозируемого напряжения из приведенных выше уравнений к экспериментальным данным. Рекомендуемые испытания: одноосное растяжение, равнодвуосное сжатие, равнодвуосное растяжение, одноосное сжатие, а для сдвига — плоское растяжение и плоское сжатие. Двухпараметрическая модель Муни–Ривлина обычно действительна для деформаций менее 100%. ^[8]${\displaystyle C_{1},C_{2}}$

• Гиперэластичный материал
• Теория конечных деформаций
• Механика сплошной среды
• Функция плотности энергии деформации