Нео-Гуковский твердый

Часть серии статей о
Механика сплошной среды
${\displaystyle J=-D{\frac {d\varphi {dx}}}$ Законы диффузии Фика
Законы Консервации Масса Импульс Энергия Неравенства Клаузиус–Дюгем (энтропия)
Механика твёрдого тела Деформация Эластичность линейный Пластичность закон Гука Стресс Напряжение Конечная деформация Бесконечно малая деформация Совместимость Изгиб Контактная механика фрикционный Теория разрушения материалов Механика разрушения
Механика жидкости Жидкости Статика  · Динамика Принцип Архимеда  · Принцип Бернулли Уравнения Навье–Стокса Уравнение Пуазейля  · Закон Паскаля Вязкость (Newtonian · non-Newtonian) Buoyancy · Mixing · Pressure Liquids Adhesion Capillary action Chromatography Cohesion (chemistry) Surface tension Gases Atmosphere Boyle's law Charles's law Combined gas law Fick's law Gay-Lussac's law Graham's law Plasma
Rheology Viscoelasticity Rheometry Rheometer Smart fluids Electrorheological Magnetorheological Ferrofluids
Scientists Bernoulli Boyle Cauchy Charles Euler Fick Gay-Lussac Graham Hooke Newton Navier Noll Pascal Stokes Truesdell
v t e

Нео -Гуково тело ^{[1] [2]} — это гиперупругая материальная модель, похожая на закон Гука , которая может быть использована для прогнозирования нелинейного поведения напряжений-деформаций материалов, подвергающихся большим деформациям . Модель была предложена Рональдом Ривлином в 1948 году с использованием инвариантов, хотя Муни уже описал версию в форме растяжения в 1940 году, а Уолл отметил эквивалентность в сдвиге с моделью Гука в 1942 году.

В отличие от линейных упругих материалов, кривая напряжения-деформации неогуковского материала нелинейна . Вместо этого, соотношение между приложенным напряжением и деформацией изначально линейно, но в определенной точке кривая напряжения-деформации выйдет на плато. Неогуковая модель не учитывает диссипативное высвобождение энергии в виде тепла при деформации материала, и на всех стадиях деформации предполагается идеальная упругость. Помимо использования для моделирования физических материалов, стабильность и крайне нелинейное поведение при сжатии сделали неогуковые материалы популярным выбором для подходов фиктивных сред, таких как метод контакта третьей среды .

Нео-Гукская модель основана на статистической термодинамике сшитых полимерных цепей и применима для пластмасс и резиноподобных веществ. Сшитые полимеры будут действовать нео-Гукским образом, потому что изначально полимерные цепи могут двигаться относительно друг друга при приложении напряжения. Однако в определенный момент полимерные цепи будут растянуты до максимальной точки, которую позволят ковалентные сшивки, и это вызовет резкое увеличение модуля упругости материала. Нео-Гукская модель материала не предсказывает такое увеличение модуля при больших деформациях и обычно точна только для деформаций менее 20%. ^[3] Модель также неадекватна для двухосных напряженных состояний и была заменена моделью Муни-Ривлина .

Функция плотности энергии деформации для несжимаемого неогуковского материала в трехмерном описании имеет вид

${\displaystyle W=C_{1}(I_{1}-3)}$

где - материальная константа, а - первый инвариант ( след ) правого тензора деформации Коши-Грина , т.е.${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle I_{1}}$

${\displaystyle I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}}$

где находятся основные участки . ^[2]${\displaystyle \lambda _{i}}$

Для сжимаемого нео-гуковского материала функция плотности энергии деформации определяется выражением

${\displaystyle W=C_{1}~(I_{1}-3-2\ln J)+D_{1}~(J-1)^{2}~;~~J=\det({\boldsymbol {F}})=\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}}$

где — константа материала, а — градиент деформации . Можно показать, что в 2D функция плотности энергии деформации равна${\displaystyle D_{1}}$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$

${\displaystyle W=C_{1}~(I_{1}-2-2\ln J)+D_{1}~(J-1)^{2}}$

Существует несколько альтернативных формул для сжимаемых неогуковых материалов, например:

${\displaystyle W=C_{1}~({\bar {I}}_{1}-3)+\left({\frac {C_{1}}{6}}+{\frac {D_{1}}{4}}\right)\!\left(J^{2}+{\frac {1}{J^{2}}}-2\right)}$

где — первый инвариант изохорической части правого тензора деформации Коши–Грина .${\displaystyle {\bar {I}}_{1}=J^{-2/3}I_{1}}$${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {C}}}=(\det {\boldsymbol {C}})^{-1/3}{\boldsymbol {C}}=J^{-2/3}{\boldsymbol {C}}}$

Для соответствия линейной эластичности,

${\displaystyle C_{1}={\frac {\mu }{2}}~;~~D_{1}={\frac {{\lambda }_{L}}{2}}}$

где — первый параметр Ламе , а — модуль сдвига или второй параметр Ламе . ^[4] Иногда используются альтернативные определения и , в частности, в коммерческом программном обеспечении для конечно-элементного анализа, таком как Abaqus . ^[5]${\displaystyle {\lambda }_{L}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle D_{1}}$

Для сжимаемого материала Огдена -нео-Гука напряжение Коши определяется выражением

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=J^{-1}{\boldsymbol {P}}{\boldsymbol {F}}^{T}=J^{-1}{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {F}}}}{\boldsymbol {F}}^{T}=J^{-1}\left(2C_{1}({\boldsymbol {F}}-{\boldsymbol {F}}^{-T})+2D_{1}(J-1)J{\boldsymbol {F}}^{-T}\right){\boldsymbol {F}}^{T}}$

где - первое напряжение Пиолы-Кирхгофа. Упростив правую часть, приходим к ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=2C_{1}J^{-1}\left({\boldsymbol {F}}{\boldsymbol {F}}^{T}-{\boldsymbol {I}}\right)+2D_{1}(J-1){\boldsymbol {I}}=2C_{1}J^{-1}\left({\boldsymbol {B}}-{\boldsymbol {I}}\right)+2D_{1}(J-1){\boldsymbol {I}}}$

что для бесконечно малых деформаций равно

${\displaystyle \approx 4C_{1}{\boldsymbol {\varepsilon }}+2D_{1}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }}){\boldsymbol {I}}}$

Сравнение с законом Гука показывает, что и .${\displaystyle C_{1}={\tfrac {\mu }{2}}}$${\displaystyle D_{1}={\tfrac {\lambda _{L}}{2}}}$

Для сжимаемого материала Ривлина- нео-Гука напряжение Коши определяется по формуле

${\displaystyle J~{\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {I}}+2C_{1}\operatorname {dev} ({\bar {\boldsymbol {B}}})=-p~{\boldsymbol {I}}+{\frac {2C_{1}}{J^{2/3}}}\operatorname {dev} ({\boldsymbol {B}})}$

где — левый тензор деформации Коши–Грина, а${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$

${\displaystyle p:=-2D_{1}~J(J-1)~;~\operatorname {dev} ({\bar {\boldsymbol {B}}})={\bar {\boldsymbol {B}}}-{\tfrac {1}{3}}{\bar {I}}_{1}{\boldsymbol {I}}~;~~{\bar {\boldsymbol {B}}}=J^{-2/3}{\boldsymbol {B}}~.}$

Для бесконечно малых деформаций ( )${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

${\displaystyle J\approx 1+\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})~;~~{\boldsymbol {B}}\approx {\boldsymbol {I}}+2{\boldsymbol {\varepsilon }}}$

и напряжение Коши можно выразить как

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}\approx 4C_{1}\left({\boldsymbol {\varepsilon }}-{\tfrac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }}){\boldsymbol {I}}\right)+2D_{1}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }}){\boldsymbol {I}}}$

Сравнение с законом Гука показывает, что и .${\displaystyle \mu =2C_{1}}$${\displaystyle \kappa =2D_{1}}$

Доказательство:

Напряжение Коши в сжимаемом гиперупругом материале определяется выражением ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2}{J}}\left[{\cfrac {1}{J^{2/3}}}\left({\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+{\bar {I}}_{1}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right){\boldsymbol {B}}-{\cfrac {1}{J^{4/3}}}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+\left[{\cfrac {\partial {W}}{\partial J}}-{\cfrac {2}{3J}}\left({\bar {I}}_{1}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+2~{\bar {I}}_{2}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)\right]~{\boldsymbol {I}}}$ Для сжимаемого материала Ривлина-нео-Хука, ${\displaystyle {\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}=C_{1}~;~~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}=0~;~~{\cfrac {\partial {W}}{\partial J}}=2D_{1}(J-1)}$ в то время как для сжимаемого материала Огдена-нео-Гука, ${\displaystyle {\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}=C_{1}~;~~{\cfrac {\partial {W}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}=0~;~~{\cfrac {\partial {W}}{\partial J}}=2D_{1}(J-1)-{\cfrac {2C_{1}}{J}}}$ Таким образом, напряжение Коши в сжимаемом материале Ривлина-нео-Гука определяется выражением ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2}{J}}\left[{\cfrac {1}{J^{2/3}}}~C_{1}~{\boldsymbol {B}}\right]+\left[2D_{1}(J-1)-{\cfrac {2}{3J}}~C_{1}{\bar {I}}_{1}\right]{\boldsymbol {I}}}$ в то время как для соответствующего материала Огдена это ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2}{J}}\left[{\cfrac {1}{J^{2/3}}}~C_{1}~{\boldsymbol {B}}\right]+\left[2D_{1}(J-1)-{\cfrac {2C_{1}}{J}}-{\cfrac {2}{3J}}~C_{1}{\bar {I}}_{1}\right]{\boldsymbol {I}}}$ Если изохорная часть левого тензора деформации Коши-Грина определена как , то мы можем записать напряжение Ривлина нео-Хеокена как${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {B}}}=J^{-2/3}{\boldsymbol {B}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2C_{1}}{J}}\left[{\bar {\boldsymbol {B}}}-{\tfrac {1}{3}}{\bar {I}}_{1}{\boldsymbol {I}}\right]+2D_{1}(J-1){\boldsymbol {I}}={\cfrac {2C_{1}}{J}}\operatorname {dev} ({\bar {\boldsymbol {B}}})+2D_{1}(J-1){\boldsymbol {I}}}$ и Огденовское нео-хуковское напряжение как ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2C_{1}}{J}}\left[{\bar {\boldsymbol {B}}}-{\tfrac {1}{3}}{\bar {I}}_{1}{\boldsymbol {I}}-{\boldsymbol {I}}\right]+2D_{1}(J-1){\boldsymbol {I}}={\cfrac {2C_{1}}{J}}\left[\operatorname {dev} ({\bar {\boldsymbol {B}}})-{\boldsymbol {I}}\right]+2D_{1}(J-1){\boldsymbol {I}}}$ Количества ${\displaystyle p:=-2D_{1}~J(J-1)~;~~p^{*}=-2D_{1}~J(J-1)+2C_{1}}$ имеют форму давлений и обычно рассматриваются как таковые. Ривлинское нео-гуковское напряжение может быть тогда выражено в виде ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=J~{\boldsymbol {\sigma }}=-p{\boldsymbol {I}}+2C_{1}\operatorname {dev} ({\bar {\boldsymbol {B}}})}$ в то время как Огденовское нео-гуковское напряжение имеет вид ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=-p^{*}{\boldsymbol {I}}+2C_{1}\operatorname {dev} ({\bar {\boldsymbol {B}}})}$

Для несжимаемого нео-гуковского материала с${\displaystyle J=1}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {I}}+2C_{1}{\boldsymbol {B}}}$

где - неопределенное давление.${\displaystyle p}$

Для сжимаемого неогуковского гиперупругого материала главные компоненты напряжения Коши определяются выражением

${\displaystyle \sigma _{i}=2C_{1}J^{-5/3}\left[\lambda _{i}^{2}-{\cfrac {I_{1}}{3}}\right]+2D_{1}(J-1)~;~~i=1,2,3}$

Таким образом, разности между главными напряжениями равны

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}(\lambda _{1}^{2}-\lambda _{3}^{2})~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}(\lambda _{2}^{2}-\lambda _{3}^{2})}$

Доказательство:

Для сжимаемого гиперупругого материала главные компоненты напряжения Коши определяются выражением ${\displaystyle \sigma _{i}={\cfrac {\lambda _{i}}{\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}}}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{i}}}~;~~i=1,2,3}$ Функция плотности энергии деформации для сжимаемого неогуковского материала имеет вид ${\displaystyle W=C_{1}({\bar {I}}_{1}-3)+D_{1}(J-1)^{2}=C_{1}\left[J^{-2/3}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2})-3\right]+D_{1}(J-1)^{2}}$ Поэтому, ${\displaystyle \lambda _{i}{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{i}}}=C_{1}\left[-{\frac {2}{3}}J^{-5/3}\lambda _{i}{\frac {\partial J}{\partial \lambda _{i}}}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2})+2J^{-2/3}\lambda _{i}^{2}\right]+2D_{1}(J-1)\lambda _{i}{\frac {\partial J}{\partial \lambda _{i}}}}$ Так как у нас есть${\displaystyle J=\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}{\frac {\partial J}{\partial \lambda _{i}}}=\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}=J}$ Следовательно, ${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{i}{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{i}}}&=C_{1}\left[-{\frac {2}{3}}J^{-2/3}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2})+2J^{-2/3}\lambda _{i}^{2}\right]+2D_{1}J(J-1)\\&=2C_{1}J^{-2/3}\left[-{\frac {1}{3}}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2})+\lambda _{i}^{2}\right]+2D_{1}J(J-1)\end{aligned}}}$ Главные напряжения Коши, следовательно, определяются как ${\displaystyle \sigma _{i}=2C_{1}J^{-5/3}\left[\lambda _{i}^{2}-{\cfrac {I_{1}}{3}}\right]+2D_{1}(J-1)}$

В терминах главных растяжений разности напряжений Коши для несжимаемого гиперупругого материала определяются выражением

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=\lambda _{1}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{1}}}-\lambda _{3}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{3}}}~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=\lambda _{2}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{2}}}-\lambda _{3}~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{3}}}}$

Для несжимаемого неогуковского материала

${\displaystyle W=C_{1}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}-3)~;~~\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}=1}$

Поэтому,

${\displaystyle {\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{1}}}=2C_{1}\lambda _{1}~;~~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{2}}}=2C_{1}\lambda _{2}~;~~{\cfrac {\partial {W}}{\partial \lambda _{3}}}=2C_{1}\lambda _{3}}$

что дает

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=2(\lambda _{1}^{2}-\lambda _{3}^{2})C_{1}~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=2(\lambda _{2}^{2}-\lambda _{3}^{2})C_{1}}$

Для сжимаемого материала, подвергающегося одноосному растяжению, основные растяжения равны

${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda ~;~~\lambda _{2}=\lambda _{3}={\sqrt {\tfrac {J}{\lambda }}}~;~~I_{1}=\lambda ^{2}+{\tfrac {2J}{\lambda }}}$

Следовательно, истинные (Коши) напряжения для сжимаемого неогуковского материала определяются выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{11}&={\cfrac {4C_{1}}{3J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\tfrac {J}{\lambda }}\right)+2D_{1}(J-1)\\\sigma _{22}&=\sigma _{33}={\cfrac {2C_{1}}{3J^{5/3}}}\left({\tfrac {J}{\lambda }}-\lambda ^{2}\right)+2D_{1}(J-1)\end{aligned}}}$

Различия в напряжении определяются по формуле

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\tfrac {J}{\lambda }}\right)~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=0}$

Если материал не ограничен, то имеем . Тогда${\displaystyle \sigma _{22}=\sigma _{33}=0}$

${\displaystyle \sigma _{11}={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\tfrac {J}{\lambda }}\right)}$

Приравнивая два выражения для , получаем соотношение для как функции , т.е.${\displaystyle \sigma _{11}}$${\displaystyle J}$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\cfrac {4C_{1}}{3J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\tfrac {J}{\lambda }}\right)+2D_{1}(J-1)={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\tfrac {J}{\lambda }}\right)}$

или

${\displaystyle D_{1}J^{8/3}-D_{1}J^{5/3}+{\tfrac {C_{1}}{3\lambda }}J-{\tfrac {C_{1}\lambda ^{2}}{3}}=0}$

Приведенное выше уравнение можно решить численно, используя итеративную процедуру поиска корней Ньютона-Рафсона .

При одноосном растяжении и . Следовательно,${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda \,}$${\displaystyle \lambda _{2}=\lambda _{3}=1/{\sqrt {\lambda }}}$

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda }}\right)~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=0}$

Предполагая, что на сторонах нет тяги, мы можем записать${\displaystyle \sigma _{22}=\sigma _{33}=0}$

${\displaystyle \sigma _{11}=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda }}\right)=2C_{1}\left({\frac {3\varepsilon _{11}+3\varepsilon _{11}^{2}+\varepsilon _{11}^{3}}{1+\varepsilon _{11}}}\right)}$

где инженерная деформация . Это уравнение часто записывается в альтернативной форме как${\displaystyle \varepsilon _{11}=\lambda -1}$

${\displaystyle T_{11}=2C_{1}\left(\alpha ^{2}-{\cfrac {1}{\alpha }}\right)}$

Уравнение выше относится к истинному напряжению (отношение силы удлинения к деформированному поперечному сечению). Для инженерного напряжения уравнение имеет вид:

${\displaystyle \sigma _{11}^{\mathrm {eng} }=2C_{1}\left(\lambda -{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}\right)}$

Для малых деформаций будем иметь:${\displaystyle \varepsilon \ll 1}$

${\displaystyle \sigma _{11}=6C_{1}\varepsilon =3\mu \varepsilon }$

Таким образом, эквивалентный модуль Юнга неогуковского твердого тела при одноосном растяжении равен , что согласуется с линейной упругостью ( при этом для несжимаемости).${\displaystyle 3\mu }$${\displaystyle E=2\mu (1+\nu )}$${\displaystyle \nu =0.5}$

В случае равнодвуосного растяжения

${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda ~;~~\lambda _{3}={\tfrac {J}{\lambda ^{2}}}~;~~I_{1}=2\lambda ^{2}+{\tfrac {J^{2}}{\lambda ^{4}}}}$

Поэтому,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{11}&=2C_{1}\left[{\cfrac {\lambda ^{2}}{J^{5/3}}}-{\cfrac {1}{3J}}\left(2\lambda ^{2}+{\cfrac {J^{2}}{\lambda ^{4}}}\right)\right]+2D_{1}(J-1)\\&=\sigma _{22}\\\sigma _{33}&=2C_{1}\left[{\cfrac {J^{1/3}}{\lambda ^{4}}}-{\cfrac {1}{3J}}\left(2\lambda ^{2}+{\cfrac {J^{2}}{\lambda ^{4}}}\right)\right]+2D_{1}(J-1)\end{aligned}}}$

Различия в уровне стресса

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{22}=0~;~~\sigma _{11}-\sigma _{33}={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {J^{2}}{\lambda ^{4}}}\right)}$

Если материал находится в состоянии плоского напряжения, то и мы имеем${\displaystyle \sigma _{33}=0}$

${\displaystyle \sigma _{11}=\sigma _{22}={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {J^{2}}{\lambda ^{4}}}\right)}$

У нас также есть связь между и :${\displaystyle J}$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle 2C_{1}\left[{\cfrac {\lambda ^{2}}{J^{5/3}}}-{\cfrac {1}{3J}}\left(2\lambda ^{2}+{\cfrac {J^{2}}{\lambda ^{4}}}\right)\right]+2D_{1}(J-1)={\cfrac {2C_{1}}{J^{5/3}}}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {J^{2}}{\lambda ^{4}}}\right)}$

или,

${\displaystyle \left(2D_{1}-{\cfrac {C_{1}}{\lambda ^{4}}}\right)J^{2}+{\cfrac {3C_{1}}{\lambda ^{4}}}J^{4/3}-3D_{1}J-2C_{1}\lambda ^{2}=0}$

Это уравнение можно решить, используя метод Ньютона.${\displaystyle J}$

Для несжимаемого материала разности главных напряжений Коши принимают вид${\displaystyle J=1}$

${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{22}=0~;~~\sigma _{11}-\sigma _{33}=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}\right)}$

В условиях плоского напряжения имеем

${\displaystyle \sigma _{11}=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}\right)}$

Для случая чистого расширения

${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda _{3}=\lambda ~:~~J=\lambda ^{3}~;~~I_{1}=3\lambda ^{2}}$

Таким образом, главные напряжения Коши для сжимаемого неогуковского материала определяются выражением

${\displaystyle \sigma _{i}=2C_{1}\left({\cfrac {1}{\lambda ^{3}}}-{\cfrac {1}{\lambda }}\right)+2D_{1}(\lambda ^{3}-1)}$

Если материал несжимаем, то и главные напряжения могут быть произвольными.${\displaystyle \lambda ^{3}=1}$

На рисунках ниже показано, что для достижения больших триаксиальных расширений или сжатий необходимы чрезвычайно высокие напряжения. Эквивалентно, относительно небольшие триаксиальные состояния растяжения могут вызывать очень высокие напряжения в резиноподобном материале. Величина напряжения весьма чувствительна к объемному модулю, но не к модулю сдвига.

Для случая простого сдвига градиент деформации в терминах компонент относительно опорного базиса имеет вид ^[2]

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

где — деформация сдвига. Следовательно, левый тензор деформации Коши-Грина равен${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}={\begin{bmatrix}1+\gamma ^{2}&\gamma &0\\\gamma &1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

В этом случае . Следовательно, . Теперь,${\displaystyle J=\det({\boldsymbol {F}})=1}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=2C_{1}\operatorname {dev} ({\boldsymbol {B}})}$

${\displaystyle \operatorname {dev} ({\boldsymbol {B}})={\boldsymbol {B}}-{\tfrac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {B}}){\boldsymbol {I}}={\boldsymbol {B}}-{\tfrac {1}{3}}(3+\gamma ^{2}){\boldsymbol {I}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {2}{3}}\gamma ^{2}&\gamma &0\\\gamma &-{\tfrac {1}{3}}\gamma ^{2}&0\\0&0&-{\tfrac {1}{3}}\gamma ^{2}\end{bmatrix}}}$

Следовательно, напряжение Коши определяется выражением

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}{\tfrac {4C_{1}}{3}}\gamma ^{2}&2C_{1}\gamma &0\\2C_{1}\gamma &-{\tfrac {2C_{1}}{3}}\gamma ^{2}&0\\0&0&-{\tfrac {2C_{1}}{3}}\gamma ^{2}\end{bmatrix}}}$

Используя соотношение для напряжения Коши для несжимаемого нео-гуковского материала, получаем

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {I}}+2C_{1}{\boldsymbol {B}}={\begin{bmatrix}2C_{1}(1+\gamma ^{2})-p&2C_{1}\gamma &0\\2C_{1}\gamma &2C_{1}-p&0\\0&0&2C_{1}-p\end{bmatrix}}}$

Таким образом, неогуково тело показывает линейную зависимость касательных напряжений от деформации сдвига и квадратичную зависимость разности нормальных напряжений от деформации сдвига. Выражения для напряжения Коши для сжимаемого и несжимаемого неогуковского материала при простом сдвиге представляют одну и ту же величину и дают способ определения неизвестного давления .${\displaystyle p}$

• Гиперэластичный материал
• Функция плотности энергии деформации
• Муни-Ривлин твердый
• Теория конечных деформаций
• Меры по снятию стресса