Гипотеза парной корреляции Монтгомери
Хью Монтгомери в Обервольфахе в 2008 году

В математике гипотеза парной корреляции Монтгомери — это гипотеза , выдвинутая Хью Монтгомери  (1973), согласно которой парная корреляция между парами нулей дзета- функции Римана (нормализованная так, чтобы иметь единичный средний интервал) равна

1 − ( грех ⁡ ( π ты ) π ты ) 2 , {\displaystyle 1-\left({\frac {\sin(\pi u)}{\pi u}}\right)^{\!2},}

что, как указал ему Фримен Дайсон , совпадает с функцией парной корреляции случайных эрмитовых матриц .

Догадка

При условии, что гипотеза Римана верна.

Пусть будет зафиксировано, тогда гипотеза утверждает α ≤ β {\displaystyle \альфа \leq \бета }

лим Т → ∞ # { ( γ , γ ′ ) : 0 < γ , γ ′ ≤ Т  и  2 π α / бревно ⁡ ( Т ) ≤ γ − γ ′ ≤ 2 π β / бревно ⁡ ( Т ) } Т 2 π бревно ⁡ Т = ∫ α β 1 − ( грех ⁡ ( π ты ) π ты ) 2 г ты {\displaystyle \lim _{T\to \infty }{\frac {\#\{(\gamma ,\gamma '):0<\gamma ,\gamma '\leq T{\text{ и }}2\pi \alpha /\log(T)\leq \gamma -\gamma '\leq 2\pi \beta /\log(T)\}}{{\frac {T}{2\pi }}\log {T}}}=\int \limits _{\alpha }^{\beta }1-\left({\frac {\sin(\pi u)}{\pi u}}\right)^{2}\mathrm {d} u}

и где каждый является мнимой частью нетривиальных нулей дзета-функции Римана , то есть . γ , γ ′ {\displaystyle \gamma ,\gamma '} 1 2 + я γ {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+i\gamma }

Объяснение

Неформально это означает, что вероятность нахождения нуля в очень коротком интервале длины 2π L /log( T ) на расстоянии 2π u /log( T ) от нуля 1/2+ iT примерно в L раз больше, чем выражение выше. (Множитель 2π/log( T ) является нормировочным множителем, который неформально можно рассматривать как среднее расстояние между нулями с мнимой частью около T .) Эндрю Одлыжко  (1987) показал, что гипотеза подтверждается крупномасштабными компьютерными вычислениями нулей. Гипотеза была распространена на корреляции более двух нулей, а также на дзета-функции автоморфных представлений (Rudnick & Sarnak 1996). В 1982 году ученик Монтгомери, Али Эрхан Озлюк, доказал гипотезу парной корреляции для некоторых L-функций Дирихле.AE Ozluk (1982)

Связь со случайными унитарными матрицами может привести к доказательству гипотезы Римана (RH). Гипотеза Гильберта–Полиа утверждает, что нули дзета-функции Римана соответствуют собственным значениям линейного оператора , и подразумевает RH. Некоторые считают, что это многообещающий подход ( Andrew Odlyzko  (1987)).

Монтгомери изучал преобразование Фурье F ( x ) парной корреляционной функции и показал (предполагая гипотезу Римана), что оно равно | x | для | x | < 1. Его методы не смогли определить его для | x | ≥ 1, но он предположил, что оно равно 1 для этих x , что подразумевает, что парная корреляционная функция такая, как указано выше. Он также был мотивирован представлением о том, что гипотеза Римана не является кирпичной стеной, и можно смело делать более сильные предположения.

Гипотеза F(α) или гипотеза сильной парной корреляции

Пусть снова и обозначают нетривиальные нули дзета-функции Римана. Монтгомери ввел функцию 1 2 + я γ {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+i\gamma } 1 2 + я γ ′ {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+i\gamma '}

Ф ( α ) := Ф Т ( α ) = ( Т 2 π бревно ⁡ ( Т ) ) − 1 ∑ 0 < γ , γ ′ ≤ Т Т я α ( γ − γ ′ ) ж ( γ − γ ′ ) {\displaystyle F(\alpha ):=F_{T}(\alpha )=\left({\frac {T}{2\pi }}\log(T)\right)^{-1}\sum \limits _{0<\gamma ,\gamma '\leq T}T^{i\alpha (\gamma -\gamma ')}w(\gamma -\gamma ')}

для и некоторой весовой функции . Т > 2 , α ∈ Р {\displaystyle T>2,\;\альфа \in \mathbb {R} } ж ( ты ) := 4 ( 4 + ты 2 ) {\displaystyle w(u):={\tfrac {4}{(4+u^{2})}}}

Монтгомери и Голдстон [1] доказали в рамках гипотезы Римана, что для этой функции сходимость равномерна | α | ≤ 1 {\displaystyle |\альфа |\leq 1}

Ф ( α ) = Т − 2 | α | бревно ⁡ ( Т ) ( 1 + о ( 1 ) ) + | α | + о ( 1 ) , Т → ∞ . {\displaystyle F(\alpha )=T^{-2|\alpha |}\log(T)(1+{\mathcal {o}}(1))+|\alpha |+{\mathcal {o}}(1),\quad T\to \infty .}

Монтгомери выдвинул гипотезу, которая теперь известна как гипотеза F(α) или гипотеза сильной парной корреляции , что для мы имеем равномерную сходимость [2] | α | > 1 {\displaystyle |\альфа |>1}

Ф ( α ) = 1 + о ( 1 ) , Т → ∞ {\displaystyle F(\alpha )=1+{\mathcal {o}}(1),\quad T\to \infty }

для в ограниченном интервале. α {\displaystyle \альфа}

Численный расчет Одлыжко

Действительная линия описывает двухточечную корреляционную функцию случайной матрицы типа GUE. Синие точки описывают нормализованные интервалы нетривиальных нулей дзета-функции Римана, первые 10 5 нулей.

В 1980-х годах, вдохновленный гипотезой Монтгомери, Одлыжко начал интенсивное численное исследование статистики нулей ζ( s ). Он подтвердил распределение расстояний между нетривиальными нулями, используя подробные численные вычисления, и продемонстрировал, что гипотеза Монтгомери будет верна и что распределение будет согласовываться с распределением расстояний собственных значений случайной матрицы GUE с использованием Cray X-MP . В 1987 году он сообщил о вычислениях в статье Andrew Odlyzko  (1987).

Для нетривиального нуля, 1/2 + iγ n , пусть нормализованные интервалы будут

δ н = γ н + 1 − γ н 2 π бревно ⁡ γ н 2 π . {\displaystyle \delta _{n}={\frac {\gamma _{n+1}-\gamma _{n}}{2\pi }}\,{\log {\frac {\gamma _{n }}{2\pi }}}.}

Тогда мы могли бы ожидать следующую формулу в качестве предела для : М , Н → ∞ {\displaystyle M,N\to \infty }

1 М { ( н , к ) ∣ Н ≤ н ≤ Н + М , к ≥ 0 , δ н + δ н + 1 + ⋯ + δ н + к ∈ [ α , β ] } ∼ ∫ α β ( 1 − ( грех ⁡ π ты π ты ) 2 ) г ты {\displaystyle {\frac {1}{M}}\{(n,k)\mid N\leq n\leq N+M,\,k\geq 0,\,\delta _{n}+\delta _{n+1}+\cdots +\delta _{n+k}\in [\alpha ,\beta ]\}\sim \int _{\alpha }^{\beta }\left(1-{\biggl (}{\frac {\sin {\pi u}}{\pi u}}{\biggr )}^{2}\right)du}

На основе нового алгоритма, разработанного Одлыжко и Арнольдом Шёнхаге , который позволил им вычислить значение ζ(1/2 + i t ) за среднее время t ε шагов, Одлыжко вычислил миллионы нулей на высотах около 10 20 и предоставил некоторые доказательства гипотезы GUE. [3] [4]

Рисунок содержит первые 10 5 нетривиальных нулей дзета-функции Римана. Чем больше нулей выбирается, тем ближе их распределение приближается к форме случайной матрицы GUE.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Голдстон, ДА; Монтгомери, HL (1987). «Парная корреляция нулей и простых чисел в коротких интервалах». В Адольфсон, А.С.; Конрей, Дж.Б.; Гош, А.; Ягер, Р.И. (ред.). Аналитическая теория чисел и диофантовы задачи . Прогресс в математике. Т. 70. Birkhäuser Boston. стр. 183–203. doi :10.1007/978-1-4612-4816-3_10. ISBN 978-1-4612-9173-2.
  2. ^ Карнейро, Эмануэль; Чанди, Форрапан; Чирр, Андрес; Милинович, Мика Б. (февраль 2022 г.). «О гипотезе парной корреляции Монтгомери: рассказ о трех интегралах». Journal für die reine und angewandte Mathematik (Журнал Крелля) (786). Вальтер де Грюйтер (ГмбХ): 205–243. arXiv : 2108.09258 . doi : 10.1515/crelle-2021-0084.
  3. ^ AM Odlyzko, «10 20 -й ноль дзета-функции Римана и 70 миллионов его соседей», AT&T Bell Lab. препринт (1989)
  4. ^ М. Мехта (1990), гл.1
  • Озлюк, А.Е. (1982), Парная корреляция нулей L-функций Дирихле , докторская диссертация, Энн-Арбор: Мичиганский университет, MR  2632180
  • Katz, Nicholas M. ; Sarnak, Peter (1999), «Нули дзета-функций и симметрия», Bulletin of the American Mathematical Society , New Series, 36 (1): 1–26, doi : 10.1090/S0273-0979-99-00766-1 , ISSN  0002-9904, MR  1640151
  • Монтгомери, Хью Л. (1973), «Парная корреляция нулей дзета-функции», Аналитическая теория чисел , Труды Симпозиума по чистой математике, т. XXIV, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 181–193, MR  0337821
  • Одлыжко, AM (1987), «О распределении расстояний между нулями дзета-функции», Mathematics of Computation , 48 (177): 273–308, doi : 10.2307/2007890 , ISSN  0025-5718, JSTOR  2007890, MR  0866115
  • Рудник, Зеев; Сарнак, Питер (1996), «Нули главных L-функций и теория случайных матриц», Duke Mathematical Journal , 81 (2): 269–322, doi :10.1215/S0012-7094-96-08115-6, ISSN  0012-7094, MR  1395406
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Montgomery%27s_pair_correlation_conjecture&oldid=1240243563"