Минимакс выворот

В геометрии минимаксные выворачивания представляют собой класс выворачиваний сферы , построенных с использованием половинчатых моделей .

Это вариационный метод, состоящий из специальных гомотопий (они являются кратчайшими путями относительно энергии Уиллмора ); в отличие от гофр Терстона, которые являются общими.

Первоначальный метод промежуточных моделей не был оптимальным: регулярные гомотопии проходили через промежуточные модели, но путь от круглой сферы к промежуточной модели строился вручную и не был градиентным подъемом/спуском.

Выворачивание через модели, расположенные посередине , Фрэнсис и Морен называют выворачиванием табачного кисета . ^[1]

Модели средней сложности

Половинчатая модель — это погружение сферы в , которое так называется потому, что является средней точкой выворачивания сферы . Этот класс выворачиваний имеет временную симметрию: первая половина регулярной гомотопии идет от стандартной круглой сферы к половинчатой модели, а вторая половина (которая идет от половинчатой модели к сфере изнутри наружу) — это тот же процесс в обратном порядке. $S^{2}$ $\mathbb {R} ^{3}$

Объяснение

Выворачивание сферы минимакс; см. страницу видео на Wikimedia Commons для описания содержания видео

Роб Каснер предложил оптимальные выворачивания, использующие энергию Уиллмора на пространстве всех погружений сферы в . Круглая сфера и вывернутая наизнанку круглая сфера являются уникальными глобальными минимумами для энергии Уиллмора, а минимаксное выворачивание — это путь, соединяющий их, проходящий через седловую точку (подобно путешествию между двумя долинами через горный перевал). ^[2] $S^{2}$ $\mathbf {R} ^{3}$

Модели полупути Куснера являются седловыми точками для энергии Уиллмора, возникающими (согласно теореме Брайанта) из определенных полных минимальных поверхностей в 3-мерном пространстве; минимаксные выворачивания состоят из градиентного подъема от круглой сферы к модели полупути, затем градиентного спуска вниз (градиентный спуск для энергии Уиллмора называется потоком Уиллмора ). Более симметрично, начните с модели полупути; толкните в одном направлении и следуйте потоку Уиллмора вниз к круглой сфере; толкните в противоположном направлении и следуйте потоку Уиллмора вниз к круглой сфере изнутри наружу.

Существует два семейства промежуточных моделей (это наблюдение принадлежит Фрэнсису и Морену):

Нечетный порядок: обобщающая поверхность Боя : 3-кратная, 5-кратная и т. д. симметрия; половинная модель — дважды покрытая проективная плоскость (в общем случае 2-1 погруженная сфера).
четный порядок: обобщение поверхности Морена : 2-кратная, 4-кратная и т. д. симметрия; половинная модель — это в общем случае погруженная сфера 1-1, а поворот на половину симметрии меняет местами листы сферы

История

Первая явная сферическая выворачиваемость была выполнена Шапиро и Филлипсом в начале 1960-х годов с использованием поверхности Боя в качестве промежуточной модели. Позже Морен открыл поверхность Морена и использовал ее для построения других сферических выворачиваний. Куснер задумал минимаксные выворачивания в начале 1980-х годов: исторические подробности.

Ссылки

^ Дж. Скотт Картер (2012). Экскурсия в диаграммную алгебру: превращение сферы из красной в синюю. World Scientific. стр. 17–. ISBN 978-981-4374-50-7.
^ Мишель Эммер (2005). Визуальный разум II . MIT Press. стр. 485–. ISBN 978-0-262-05076-0.

Изгиб энергии и минимаксные вывороты (в книге Джона М. Салливана «Оптивселенная» и другие сферические вывороты)

[Carter2012-1] Дж. Скотт Картер (2012). Экскурсия в диаграммную алгебру: превращение сферы из красной в синюю. World Scientific. стр. 17–. ISBN 978-981-4374-50-7.

[Emmer2005-2] Мишель Эммер (2005). Визуальный разум II . MIT Press. стр. 485–. ISBN 978-0-262-05076-0.