Поверхность Морина

Поверхность Морена — это половинная модель выворачивания сферы, открытая Бернаром Мореном . Она обладает четырехкратной вращательной симметрией .

Если исходная выворачиваемая сфера имеет внешнюю поверхность зеленого цвета, а внутреннюю — красного, то при преобразовании сферы посредством гомотопии в поверхность Морена половина внешне видимой поверхности Морена будет зеленой, а половина — красной:

Половина поверхности Морена соответствует внешней стороне (зеленой) сферы,
которой она гомеоморфна, а другая симметричная половина — внутренней стороне (красной).

Затем, поворот поверхности на 90° вокруг ее оси симметрии поменяет ее цвета, т.е. поменяет внутреннюю-внешнюю полярность ориентируемой поверхности, так что повторение шагов гомотопии в точно таком же положении обратно к исходной сфере после такого поворота поверхности Морена даст сферу, внешняя поверхность которой красная, а внутренняя — зеленая: сфера, вывернутая наизнанку. Ниже приводится краткое изложение выворачивания:

1. сфера: снаружи зеленая, внутри красная...
2. трансформируется в...
3. Поверхность Морена,
3'. Поверхность Морена, повернутая на 90°...
2'. обратно трансформируется в...
1'. сфера: снаружи красная, внутри зеленая.

Поверхность Морена можно разделить на четыре конгруэнтных четвертных сечения. Эти сечения можно здесь назвать: сечение Восток, сечение Юг, сечение Запад и сечение Север, или — соответственно — сечение 0, сечение 1, сечение 2 и сечение 3.

Участок к востоку от поверхности Морина.

Поверхность Морена имеет четверную точку, через которую проходит ее ось симметрии. Эта четверная точка является начальной и конечной точкой шести линий двойных точек. Каждая из четвертей секций ограничена тремя из этих линий двойных точек, так что каждая четверть секции гомеоморфна треугольнику. Секция East теперь показана схематически: На диаграмме показана секция East, ограниченная тремя петлями: ABCDA, AEFGA и AHIJA. Третья петля, AHIJA, является линией двойных точек, где секция East пересекается сама с собой. Петля ABCDA является только линией двойных точек, когда секция East соединена с секцией West, а петля AEFGA является только линией двойных точек, когда секция East соединена с секцией South. Точка является четверной точкой, которая на самом деле является перекрытием четырех различных точек: A ₀ , A ₁ , A ₂ , A ₃ .

Вот как секция Восток соединяется с другими секциями: пусть каждая из ее ограничивающих петель задана упорядоченной пятеркой точек, тогда

${\displaystyle (A_{1},B,C,D,A_{3})=(A_{1},D'',C'',B'',A_{3})}$

${\displaystyle (A_{2},E,F,G,A_{3})=(A_{2},H',I',J',A_{3})}$

${\displaystyle (A_{1},H,I,J,A_{2})=(A_{1},E''',F''',G''',A_{2})}$

где нештрихованные точки принадлежат секции 0 (Восток), штрихованные точки принадлежат секции 1 (Юг), дважды штрихованные точки принадлежат секции 2 (Запад), а трижды штрихованные точки принадлежат секции 3 (Север).

Оставшиеся три петли соединяют секции следующим образом:

${\displaystyle (A_{2},B',C',D',A_{0})=(A_{2},D''',C''',B''',A_{0})}$

${\displaystyle (A_{3},E',F',G',A_{0})=(A_{3},H'',I'',J'',A_{0})}$

${\displaystyle (A_{0},E'',F'',G'',A_{1})=(A_{0},H''',I''',J''',A_{1}).}$

Раздел Восток имеет, рассматриваемый сам по себе, одну петлю двойных точек: AHIJA. Если поверхность размотать и выровнять, то результат будет следующим: который гомеоморфен треугольнику:

Соединение четырех треугольных секций по их швам образует тетраэдр , гомеоморфный сфере, что показывает, что поверхность Морена является самопересекающейся сферой.

Четыре различных вида поверхности Морена: первые два показаны с вырезанными «проходными барьерами», последние два — виды «снизу».

Поверхность Морена может быть элегантно описана системой уравнений ^[1] как в открытом варианте (с полюсами, устремленными в бесконечность), так и в замкнутом.

• Выворачивание сферы

• «Выворачиваем сферу наизнанку»
• История сферических выворотов