Четырехугольник в середине квадрата

В элементарной геометрии четырехугольник , диагонали которого перпендикулярны и имеют одинаковую длину, называется серединным четырехугольником (имея в виду квадрат, образованный четырьмя серединами его сторон ) . ^{[1] [2]} Эти фигуры по определению одновременно являются равнодиагональными четырехугольниками и ортодиагональными четырехугольниками . ^[2] Более старые названия для той же фигуры включают псевдоквадрат , ^{[3] [4]} и косоугольный квадрат . ^[4]

В любом четырехугольнике четыре середины ребер образуют параллелограмм, параллелограмм Вариньона , стороны которого параллельны диагоналям и равны половине их длины. Из этого следует, что в равнодиагональном и ортодиагональном четырехугольнике стороны параллелограмма Вариньона равны по длине и перпендикулярны; то есть это квадрат. По той же причине четырехугольник, параллелограмм Вариньона которого является квадратом, должен быть равнодиагональным и ортодиагональным. ^[5] Эта характеристика мотивирует название этих фигур четырехугольником срединного квадрата. ^{[1] [2]} Четырехугольник срединного квадрата можно построить из его срединного квадрата и любой из его вершин. Для этого пусть данный срединный квадрат имеет вершины , и пусть задана вершина четырехугольника срединного квадрата. Затем оставшиеся три вершины можно построить, положив на отражение поперек (так что это середина отрезка , положив на отражение поперек , и положив на отражение . Из этого автоматически следует, что на отражение поперек , завершая четырехугольник со средней точкой. ^[5]${\displaystyle P,Q,R,S}$${\displaystyle А}$${\displaystyle Б,С,D}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle А}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle С}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle D}$${\displaystyle С}$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle А}$${\displaystyle D}$${\displaystyle S}$

Согласно теореме Ван Обеля , четырехугольник, расположенный посередине квадрата, можно также построить из произвольного четырехугольника, разместив квадраты на четырех сторонах четырехугольника, внешних по отношению к нему, и соединив четыре центра квадратов. ^{[2] [6]}

Для любых двух противоположных сторон срединноквадратного четырехугольника два квадрата, имеющие эти стороны в качестве своих диагоналей, пересекаются в одной вершине, называемой фокусом четырехугольника . Наоборот, если два квадрата пересекаются в вершине, то их две диагонали, не пересекающиеся с этой вершиной, образуют две противоположные стороны (возможно, невыпуклого) срединноквадратного четырехугольника. ^{[4] [1]} Два фокуса и две диагональные середины срединноквадратного четырехугольника образуют вершины квадрата. Каждый фокус лежит на биссектрисе угла двух диагоналей и на перпендикулярах к двум сторонам, которые являются диагоналями его квадратов. ^[4]

Внешние четыре вершины четырех диагональных квадратов четырехугольника-срединного квадрата образуют другой четырехугольник-срединный квадрат. Это те же четыре точки, которые были бы получены путем применения теоремы Ван Аубеля к данному четырехугольнику-срединному квадрату. ^[5]

Четырехугольники середины квадрата, стороны которых не длиннее диагоналей, имеют максимальную площадь для своего диаметра среди всех четырехугольников, решая случай задачи о самом большом маленьком многоугольнике . Квадрат — один из таких четырехугольников, но есть бесконечно много других. ^[7]${\displaystyle n=4}$

• 
  пример четырехугольника в середине квадрата
• 
  трапеция в форме середины квадрата
• 
  воздушный змей в форме середины квадрата
• 
  параллелограмм в середине квадрата , то есть квадрат