Диаметр набора

Было предложено объединить Diameter (вычислительную геометрию) с этой статьей. ( Обсудить ) Предлагается с января 2025 года.

В математике диаметр множества точек в метрическом пространстве — это наибольшее расстояние между точками в множестве. Как важный частный случай, диаметр метрического пространства — это наибольшее расстояние между любыми двумя точками в пространстве. Это обобщает диаметр окружности, наибольшее расстояние между двумя точками на окружности. Такое использование диаметра также встречается в медицинской терминологии, касающейся поражения, или в геологии, касающейся горной породы.

Ограниченное множество — это множество, диаметр которого конечен. Внутри ограниченного множества все расстояния не превышают диаметра.

Диаметр объекта — это наименьшая верхняя граница (обозначаемая «sup») множества всех расстояний между парами точек в объекте. Явно, если — это множество точек с расстояниями, измеренными метрикой , диаметр равен ^{[1] [2]}${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \ро}$$${\displaystyle \operatorname {diam} (S)=\sup _{x,y\in S}\rho (x,y).}$$

Диаметр пустого множества — вопрос соглашения. Он может быть определен как ноль, ^{[2] [3]} , ^[3] или неопределенным.${\displaystyle -\infty}$

Для любого ограниченного множества в евклидовой плоскости или евклидовом пространстве диаметр объекта или множества совпадает с диаметром его выпуклой оболочки . Для любой выпуклой фигуры в плоскости диаметр — это наибольшее расстояние, которое может быть образовано между двумя противоположными параллельными прямыми, касательными к ее границе. ^[4]

Диаметр круга в точности вдвое больше его радиуса. Однако это верно только для круга и только в евклидовой метрике . Теорема Юнга дает более общие неравенства, связывающие диаметр с радиусом. ^[5] Изодиаметрическое неравенство или неравенство Бибербаха , родственное изопериметрическому неравенству , утверждает, что для заданного диаметра плоская фигура с наибольшей площадью — это диск, а трехмерная фигура с наибольшим объемом — это сфера. ^{[6] [7]} Многоугольники максимальной площади для заданного диаметра и числа сторон — это самые большие маленькие многоугольники . ^[8]

Так же, как диаметр двумерного выпуклого множества является наибольшим расстоянием между двумя параллельными прямыми, касательными к множеству и охватывающими его, ширина часто определяется как наименьшее такое расстояние. ^[4] Диаметр и ширина равны только для тела постоянной ширины , для которого все пары параллельных касательных прямых имеют одинаковое расстояние. Каждое множество ограниченного диаметра в евклидовой плоскости является подмножеством тела постоянной ширины с тем же диаметром. ^[9]

Диаметр или ширина двумерного набора точек или многоугольника могут быть эффективно вычислены с помощью вращающегося штангенциркуля . ^[4] Алгоритмы вычисления диаметров в многомерных евклидовых пространствах также изучались в вычислительной геометрии ; см. диаметр (вычислительная геометрия) .

В дифференциальной геометрии диаметр является важным глобальным римановым инвариантом . Каждое компактное множество в римановом многообразии и каждое компактное риманово многообразие само по себе имеет конечный диаметр. Например, единичная сфера любой размерности, рассматриваемая как риманово многообразие, имеет диаметр . Это отличается от ее диаметра как подмножества евклидова пространства (который был бы равен двум), поскольку, как риманово многообразие, расстояния измеряются вдоль геодезических внутри многообразия. ^[10]${\displaystyle \пи}$

В римановом многообразии, кривизна Риччи которого имеет положительную постоянную нижнюю границу, диаметр также ограничен теоремой Майерса . Согласно теореме Ченга о максимальном диаметре , единственное многообразие с наибольшим диаметром для заданной нижней границы кривизны является сферой с этой кривизной. Теорема названа в честь Шиу-Юэня Ченга , который опубликовал ее в 1975 году. ^{[10] [11]}

В теории графов диаметр связного неориентированного графа — это наибольшее расстояние между любыми двумя его вершинами. То есть, это диаметр множества, для множества вершин графа и для кратчайшего расстояния в графе. Диаметр может рассматриваться как для взвешенных, так и для невзвешенных графов. Исследователи изучали проблему вычисления диаметра как в произвольных графах, так и в специальных классах графов.

Специальные случаи диаметра графа включают диаметр группы , определяемый с помощью графа Кэли с максимально возможным диаметром для данной группы, и диаметр перевернутого графа триангуляций множества точек, минимальное число локальных перемещений, необходимых для преобразования одной триангуляции в другую для двух триангуляций, выбранных так, чтобы они находились как можно дальше друг от друга.