Метаплектическая структура

В дифференциальной геометрии метаплектическая структура является симплектическим аналогом спиновой структуры на ориентируемых римановых многообразиях . Метаплектическая структура на симплектическом многообразии позволяет определить симплектическое спинорное расслоение , которое является расслоением гильбертова пространства , связанным с метаплектической структурой через метаплектическое представление, что приводит к понятию симплектического спинорного поля в дифференциальной геометрии.

Симплектические спиновые структуры имеют широкое применение в математической физике , в частности в квантовой теории поля , где они являются существенным ингредиентом в установлении идеи, что симплектическая спиновая геометрия и симплектические операторы Дирака могут дать ценные инструменты в симплектической геометрии и симплектической топологии. Они также представляют чисто математический интерес в дифференциальной геометрии , алгебраической топологии и теории K. Они образуют основу для симплектической спиновой геометрии.

Метаплектическая структура ^[1] на симплектическом многообразии является эквивариантным поднятием симплектического расслоения реперов относительно двойного накрытия. Другими словами, пара является метаплектической структурой на главном расслоении , когда${\displaystyle (М,\омега)}$ ${\ displaystyle \ pi _ {\ mathbf {R} } \ двоеточие {\ mathbf {R} } \ to M \,}$${\ displaystyle \ rho \ двоеточие {\ mathrm {Mp} } (n, {\ mathbb {R}}) \ to {\ mathrm {Sp} } (n, {\ mathbb {R} }). \,}$${\displaystyle ({\mathbf {P}},F_{\mathbf {P}})}$ ${\ displaystyle \ pi _ {\ mathbf {R} } \ двоеточие {\ mathbf {R} } \ to M \,}$

а) является главным -расслоением над ,${\displaystyle \pi _ {\mathbf {P} }\двоеточие {\mathbf {P}}\to M\,}$${\displaystyle {\mathrm {Mp} }(n, {\mathbb {R} })}$${\displaystyle М}$

б) является эквивариантным -кратным накрывающим отображением таким, что${\displaystyle F_{\mathbf {P} }\двоеточие {\mathbf {P}}\to {\mathbf {R} }\,}$ ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle \pi _{\mathbf {R} }\circ F_{\mathbf {P} }=\pi _{\mathbf {P} }}$и для всех и${\displaystyle F_{\mathbf {P} }({\mathbf {p} }q)=F_{\mathbf {P} }({\mathbf {p} })\rho (q)}$${\displaystyle {\mathbf {p} }\in {\mathbf {P} }}$${\displaystyle q\in {\mathrm {Mp} }(n,{\mathbb {R} }).}$

Главный пучок также называется пучком метаплектических фреймов над .${\displaystyle \pi _{\mathbf {P} }\colon {\mathbf {P} }\to M\,}$${\displaystyle M}$

Две метаплектические структуры и на одном и том же симплектическом многообразии называются эквивалентными , если существует -эквивариантное отображение такое, что${\displaystyle ({\mathbf {P} _{1}},F_{\mathbf {P} _{1}})}$${\displaystyle ({\mathbf {P} _{2}},F_{\mathbf {P} _{2}})}$ ${\displaystyle (M,\omega )}$${\displaystyle {\mathrm {Mp} }(n,{\mathbb {R} })}$${\displaystyle f\colon {\mathbf {P} _{1}}\to {\mathbf {P} _{2}}}$

${\displaystyle F_{\mathbf {P} _{2}}\circ f=F_{\mathbf {P} _{1}}}$и для всех и${\displaystyle f({\mathbf {p} }q)=f({\mathbf {p} })q}$${\displaystyle {\mathbf {p} }\in {\mathbf {P} _{1}}}$${\displaystyle q\in {\mathrm {Mp} }(n,{\mathbb {R} }).}$

Разумеется, в этом случае и являются двумя эквивалентными двойными накрытиями симплектического реперного -расслоения данного симплектического многообразия .${\displaystyle F_{\mathbf {P} _{1}}}$${\displaystyle F_{\mathbf {P} _{2}}}$${\displaystyle {\mathrm {Sp} }(n,{\mathbb {R} })}$${\displaystyle \pi _{\mathbf {R} }\colon {\mathbf {R} }\to M\,}$${\displaystyle (M,\omega )}$

Поскольку каждое симплектическое многообразие обязательно имеет четную размерность и является ориентируемым , можно доказать, что топологическое препятствие к существованию метаплектических структур точно такое же, как и в римановой спиновой геометрии . ^[2] Другими словами, симплектическое многообразие допускает метаплектические структуры тогда и только тогда, когда второй класс Штифеля-Уитни равен нулю. Фактически, редукция по модулю первого класса Черна является вторым классом Штифеля-Уитни . Следовательно, допускает метаплектические структуры тогда и только тогда, когда является четным, т. е. тогда и только тогда, когда является нулем.${\displaystyle M}$${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle w_{2}(M)\in H^{2}(M,{\mathbb {Z} _{2}})}$${\displaystyle M}$${\displaystyle _{2}}$ ${\displaystyle c_{1}(M)\in H^{2}(M,{\mathbb {Z} })}$ ${\displaystyle w_{2}(M)}$${\displaystyle (M,\omega )}$${\displaystyle c_{1}(M)}$${\displaystyle w_{2}(M)}$

Если это так, то классы изоморфизма метаплектических структур на классифицируются первой группой когомологий с -коэффициентами .${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle H^{1}(M,{\mathbb {Z} _{2}})}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathbb {Z} _{2}}}$

Поскольку предполагается, что многообразие ориентировано, первый класс Штифеля-Уитни также исчезает.${\displaystyle M}$ ${\displaystyle w_{1}(M)\in H^{1}(M,{\mathbb {Z} _{2}})}$${\displaystyle M}$

• Фазовые пространства любого ориентируемого многообразия.${\displaystyle (T^{\ast }N,\theta )\,,}$ ${\displaystyle N}$
• Комплексные проективные пространства Поскольку является односвязным, такая структура должна быть единственной.${\displaystyle {\mathbb {P} }^{2k+1}{\mathbb {C} }\,,}$ ${\displaystyle \,k\in {\mathbb {N} }_{0}\,.}$${\displaystyle {\mathbb {P} }^{2k+1}{\mathbb {C} }\,}$
• Грассманиан и т.д.${\displaystyle Gr(2,4)\,,}$

• Метаплектическая группа
• Симплектическое расслоение фреймов
• Симплектическая группа
• Симплектический спинорный пучок

• Хаберманн, Катарина; Хаберманн, Лутц (2006), Введение в симплектические операторы Дирака , Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-33420-0