Метабелевская группа

В математике метабелева группа — это группа , коммутант которой абелев . Эквивалентно, группа G является метабелевой тогда и только тогда, когда существует абелева нормальная подгруппа A, такая что фактор-группа G/A абелева.

Подгруппы метабелевых групп являются метабелевыми, как и образы метабелевых групп над гомоморфизмами групп .

Метабелевы группы разрешимы . Фактически, они являются в точности разрешимыми группами производной длины не более 2.

• Любая абелева группа является метабелевой.
• Любая диэдральная группа является метабелевой, так как она имеет циклическую нормальную подгруппу индекса 2. В более общем случае любая обобщенная диэдральная группа является метабелевой, так как она имеет абелеву нормальную подгруппу индекса 2.
• Если F — поле , то группа аффинных отображений (где a ≠ 0), действующая на F, является метабелевой. Здесь абелева нормальная подгруппа является группой чистых трансляций , а абелева факторгруппа изоморфна группе гомотетий . Если F — конечное поле с q элементами, то эта метабелева группа имеет порядок q ( q − 1).${\displaystyle x\mapsto ax+b}$${\displaystyle x\mapsto x+b}$ ${\displaystyle x\mapsto ax}$
• Группа прямых изометрий евклидовой плоскости является метабелевой. Это похоже на пример выше, поскольку элементы снова являются аффинными отображениями. Трансляции плоскости образуют абелеву нормальную подгруппу группы, а соответствующий фактор — это группа окружности .
• Конечная группа Гейзенберга H _{3, p} порядка p ³ является метабелевой. То же самое верно для любой группы Гейзенберга, определенной над кольцом (группа верхнетреугольных матриц 3 × 3 с элементами в коммутативном кольце ).
• Все нильпотентные группы класса 3 или ниже являются метабелевыми.
• Группа фонарщиков является метабелианской.
• Все группы порядка p ⁵ являются метабелевыми (для простого числа p ). ^[1]
• Все группы G с абелевыми подгруппами A и B, такими что G=AB, являются метабелевыми.
• Все группы порядка меньше 24 являются метабелевыми.

В отличие от этого последнего примера, симметрическая группа S ₄ порядка 24 не является метабелевой, поскольку ее коммутантом является неабелева знакопеременная группа A ₄ .

• Робинсон, Дерек Дж. С. (1996), Курс теории групп , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94461-6

• Райан Виснески , Разрешимые группы (подраздел Метабелевы группы )
• Groupprops, Свойства группы Wiki Метабелевская группа

Эта статья по теме «Абстрактная алгебра» — заглушка . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

• в
• т
• е