Обобщенная диэдральная группа

В этой статье не указаны источники . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без ссылок могут быть оспорены и удалены . Найти источники:  "Обобщенная диэдральная группа" – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( июнь 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В математике обобщенные диэдральные группы представляют собой семейство групп с алгебраической структурой, аналогичной структуре диэдральных групп . Они включают конечные диэдральные группы, бесконечную диэдральную группу и ортогональную группу O (2). Диэдральные группы играют важную роль в теории групп , геометрии и химии .

Для любой абелевой группы H обобщенная диэдральная группа H , обозначаемая Dih( H ), является полупрямым произведением H и Z ₂ , причем Z ₂ действует на H путем инвертирования элементов. То есть, с φ(0) — тождеством и φ(1) — инверсией.${\displaystyle \mathrm {Dih} (H)=H\rtimes _ {\phi }Z_ {2}}$

Таким образом, мы получаем:

( h1 _, 0 ) * ₍ h2 , t2 ) ₌ ( _h1 + h2 _, t2 ₎

( h1 , 1) _{* ( h2} , t2 ) = ( h1 − _{h2 ,} 1 ₊ t2 )

для всех h ₁ , h ₂ в H и t ₂ в Z ₂ .

(Записывая Z ₂ мультипликативно, имеем ( h ₁ , t ₁ ) * ( h ₂ , t ₂ ) = ( h ₁ + t ₁ h ₂ , t ₁ t ₂ ) .)

Обратите внимание, что ( h , 0) * (0,1) = ( h ,1), т.е. сначала инверсия, а затем операция в H . Также (0, 1) * ( h , t ) = (− h , 1 + t ); действительно, (0,1) инвертирует h и переключает t между «нормальным» (0) и «инвертированным» (1) состояниями (эта комбинированная операция является своей собственной инверсией).

Подгруппа Dih( H ) элементов ( h , 0) является нормальной подгруппой индекса 2 , изоморфной H , в то время как элементы ( h , 1) являются сами себе обратными.

Классы сопряженности :

• множества {( h ,0 ), (− h ,0 )}
• множества {( h + k + k , 1) | k в H }

Таким образом, для каждой подгруппы M группы H соответствующий набор элементов ( m ,0) также является нормальной подгруппой. Имеем:

Дих( Н ) / М = Дих( Н/М )

• Dih _n = Dih( Z _n ) ( группы диэдра )
  • Для четных n имеется два множества {( h + k + k , 1) | k в H }, и каждое порождает нормальную подгруппу типа Dih _{n / 2.} Как подгруппы группы изометрий множества вершин правильного n -угольника они различны: отражения в одной подгруппе имеют все две неподвижные точки, в то время как ни одно в другой подгруппе не имеет (вращения обоих одинаковы). Однако они изоморфны как абстрактные группы.
  • Для нечетных n существует только один набор {( h + k + k , 1) | k в H }
• Dih _∞ = Dih( Z ) ( бесконечная диэдральная группа ); есть два множества {( h + k + k , 1) | k в H }, и каждое порождает нормальную подгруппу типа Dih _∞ . Как подгруппы группы изометрий Z они различны: все отражения в одной подгруппе имеют неподвижную точку, зеркала находятся в целых числах, в то время как ни одно в другой подгруппе не имеет, зеркала находятся между ними (трансляции обоих одинаковы: на четные числа). Однако они изоморфны как абстрактные группы.
• Dih(S ¹ ), или ортогональная группа O(2, R ), или O(2): группа изометрий окружности или , что эквивалентно, группа изометрий в 2D, которые сохраняют начало координат фиксированным. Вращения образуют группу окружности S ¹ , или, что эквивалентно, SO(2, R ), также обозначаемую как SO(2), и R / Z  ; это также мультипликативная группа комплексных чисел с абсолютным значением 1. В последнем случае одно из отражений (порождающее остальные) является комплексным сопряжением . Собственных нормальных подгрупп с отражениями не существует. Дискретные нормальные подгруппы являются циклическими группами порядка n для всех положительных целых чисел n . Фактор-группы изоморфны той же группе Dih(S ¹ ).
• Dih( R ⁿ ): группа изометрий R ^{n ,} состоящая из всех трансляций и инверсий во всех точках; для n = 1 это евклидова группа E(1) ; для n > 1 группа Dih( R ⁿ ) является собственной подгруппой E( n ), т.е. она не содержит всех изометрий.
• H может быть любой подгруппой Rn , например ^, дискретной подгруппой; в этом случае, если она простирается в n направлениях, то она является решеткой .
  • Дискретные подгруппы Dih( R ² ), содержащие трансляции в одном направлении, имеют тип бордюрной группы и 22 .${\displaystyle \infty \infty }$${\displaystyle \infty}$
  • Дискретные подгруппы Dih( R ² ), содержащие трансляции в двух направлениях, имеют тип группы обоев p1 и p2.
  • Дискретные подгруппы Dih( R ^{3 )} , содержащие трансляции в трех направлениях, являются пространственными группами триклинной кристаллической системы .

Dih( H ) является абелевой группой, причем полупрямое произведение является прямым произведением, тогда и только тогда, когда все элементы H являются своими собственными обратными, т.е. элементарной абелевой 2-группой :

• Дих( Z ₁ ) = Дих ₁ = Z ₂
• Dih( Z ₂ ) = Dih ₂ = Z ₂ × Z ₂ ( четверка Клейна )
• Dih(Dih ₂ ) = Dih ₂ × Z ₂ = Z ₂ × Z ₂ × Z ₂

и т. д.

Dih( R ⁿ ) и ее диэдральные подгруппы являются несвязными топологическими группами . Dih( R ⁿ ) состоит из двух связных компонент: единичной компоненты, изоморфной R ⁿ , и компоненты с отражениями. Аналогично O(2) состоит из двух связных компонент: единичной компоненты, изоморфной группе окружности, и компоненты с отражениями.

Для группы Dih _∞ можно выделить два случая:

• Dih _∞ как группа изометрий Z
• Dih _∞ как двумерная группа изометрий, порожденная вращением на иррациональное число оборотов и отражением

Обе топологические группы полностью несвязны , но в первом случае компоненты (синглтоны) открыты, а во втором — нет. Кроме того, первая топологическая группа является замкнутой подгруппой Dih( R ), но вторая не является замкнутой подгруппой O(2).