Методы частиц среднего поля

Методы частиц среднего поля представляют собой широкий класс алгоритмов Монте-Карло взаимодействующего типа для моделирования из последовательности распределений вероятностей, удовлетворяющих нелинейному уравнению эволюции. ^{[1] [2] [3] [4]} Эти потоки вероятностных мер всегда можно интерпретировать как распределения случайных состояний марковского процесса, вероятности перехода которого зависят от распределений текущих случайных состояний. ^{[1] [2]} Естественным способом моделирования этих сложных нелинейных марковских процессов является выборка большого количества копий процесса, заменяя в уравнении эволюции неизвестные распределения случайных состояний выборочными эмпирическими мерами . В отличие от традиционных методов Монте-Карло и Монте-Карло с цепями Маркова эти методы частиц среднего поля основаны на последовательных взаимодействующих выборках . Терминология среднее поле отражает тот факт, что каждая из выборок (также известная как частицы, индивидуумы, ходоки, агенты, существа или фенотипы) взаимодействует с эмпирическими мерами процесса. Когда размер системы стремится к бесконечности, эти случайные эмпирические меры сходятся к детерминированному распределению случайных состояний нелинейной цепи Маркова, так что статистическое взаимодействие между частицами исчезает. Другими словами, начиная с хаотической конфигурации, основанной на независимых копиях начального состояния модели нелинейной цепи Маркова, хаос распространяется на любом временном горизонте по мере того, как размер системы стремится к бесконечности; то есть конечные блоки частиц сводятся к независимым копиям нелинейного марковского процесса. Этот результат называется свойством распространения хаоса. ^{[5] [6] [7]} Термин «распространение хаоса» возник в работе Марка Каца в 1976 году по модели сталкивающегося среднего поля кинетического газа. ^[8]

Теория моделей взаимодействующих частиц среднего поля, безусловно, началась в середине 1960-х годов с работы Генри П. Маккина-младшего по марковским интерпретациям класса нелинейных параболических уравнений в частных производных, возникающих в механике жидкости. ^{[5] [9]} Математические основы этих классов моделей были разработаны с середины 1980-х до середины 1990-х годов несколькими математиками, включая Вернера Брауна, Клауса Хеппа, ^[10] Карла Ольшлегера, ^{[11] [12] [13]} Жерара Бен Аруса и Марка Брюно, ^[14] Дональда Доусона, Жана Вайянкура ^[15] и Юргена Гертнера, ^{[16] [17]} Кристиана Леонара, ^[18] Сильви Мелеар , Сильви Рулли , ^[6] Алена-Соле Шнитмана ^{[7] [19]} и Хироши Танаку ^[20] для моделей диффузионного типа; Ф. Альберто Грюнбаум, ^[21] Токузо Шига, Хироши Танака, ^[22] Сильви Мелеар и Карл Грэм ^{[23] [24] [25]} для общих классов взаимодействующих скачкообразных диффузионных процессов.

Мы также цитируем более раннюю пионерскую статью Теодора Э. Харриса и Германа Кана , опубликованную в 1951 году, в которой использовались генетические методы среднего поля, но эвристические, подобные методам оценки энергии передачи частиц. ^[26] Методы частиц генетического типа среднего поля также используются в качестве эвристических алгоритмов естественного поиска (также известных как метаэвристические ) в эволюционных вычислениях. Истоки этих вычислительных методов среднего поля можно проследить до 1950 и 1954 годов в работах Алана Тьюринга по машинам обучения мутационному отбору генетического типа ^[27] и статьях Нильса Алла Барричелли в Институте перспективных исследований в Принстоне, штат Нью-Джерси . ^{[28] [29]} Австралийский генетик Алекс Фрейзер также опубликовал в 1957 году серию статей по моделированию генетического типа искусственного отбора организмов. ^[30]

Квантовый Монте-Карло , и, более конкретно, диффузионные методы Монте-Карло, также можно интерпретировать как приближение частиц среднего поля интегралов по траектории Фейнмана-Каца. ^{[3] [4] [31] [32] [33] [34] [35]} Истоки методов квантового Монте-Карло часто приписывают Энрико Ферми и Роберту Рихтмайеру, которые в 1948 году разработали интерпретацию частиц среднего поля нейтронных цепных реакций, ^[36] но первый эвристический и генетический алгоритм частиц (также известный как методы Монте-Карло с повторной выборкой или реконфигурацией) для оценки энергий основного состояния квантовых систем (в моделях с редуцированной матрицей) был разработан Джеком Х. Хетерингтоном в 1984 году ^[35] В молекулярной химии использование генетических эвристических методов частиц (также известных как стратегии обрезки и обогащения) можно проследить до 1955 года с основополагающей работой Маршалла, Н. Розенблута и Арианны. В. Розенблют. ^[37]

Первыми пионерскими статьями о применении этих эвристических методов частиц в задачах нелинейной фильтрации были независимые исследования Нила Гордона, Дэвида Салмона и Адриана Смита (бутстрап-фильтр), ^[38] Генширо Китагавы (фильтр Монте-Карло), ^[39] и статья Химилкона Карвальо, Пьера Дель Мораля, Андре Монена и Жерара Салюта ^[40], опубликованная в 1990-х годах. Термин взаимодействующие «частичные фильтры» был впервые введен в 1996 году Дель Моралем. ^[41] Фильтры частиц также были разработаны в обработке сигналов в начале 1989-1992 гг. П. Дель Моралем, Ж. К. Нойером, Г. Ригалом и Г. Салютом в LAAS-CNRS в серии закрытых и секретных исследовательских отчетов с STCAN (Service Technique des Constructions et Armes Navales), ИТ-компанией DIGILOG и LAAS-CNRS (Лабораторией анализа и архитектуры систем) по проблемам обработки сигналов RADAR/SONAR и GPS. ^{[42] [43] [44] [45] [46] [47]}

Основы и первый строгий анализ сходимости моделей генетического типа и методов частиц среднего поля Фейнмана-Каца были разработаны Пьером Дель Моралем ^{[48] [49]} в 1996 году. Методы частиц ветвящегося типа с различными размерами популяции были также разработаны в конце 1990-х годов Дэном Крисаном, Джессикой Гейнс и Терри Лайонсом ^{[50] [51] [52]} и Дэном Крисаном, Пьером Дель Моралем и Терри Лайонсом. ^[53] Первые результаты равномерной сходимости относительно временного параметра для моделей частиц среднего поля были разработаны в конце 1990-х годов Пьером Дель Моралем и Элис Гионне ^{[54] [55]} для взаимодействующих процессов скачкообразного типа и Флораном Малрие для процессов нелинейного диффузионного типа. ^[56]

Новые классы методов моделирования частиц среднего поля для задач интеграции путей Фейнмана-Каца включают в себя модели на основе генеалогического дерева, ^{[2] [3] [57]} модели обратных частиц, ^{[2] [58]} адаптивные модели частиц среднего поля, ^[59] модели частиц островного типа, ^{[60] [61]} и методы Монте-Карло для частиц цепи Маркова ^{[62] [63].}

В физике , и в частности в статистической механике , эти нелинейные эволюционные уравнения часто используются для описания статистического поведения микроскопических взаимодействующих частиц в жидкости или в некотором конденсированном веществе. В этом контексте случайная эволюция виртуальной жидкости или частицы газа представлена ​​процессами диффузии Маккина-Власова , системами реакции-диффузии или процессами столкновений типа Больцмана . ^{[11] [12] [13] [25] [64]} Как следует из названия, модель частиц среднего поля представляет коллективное поведение микроскопических частиц, слабо взаимодействующих со своими мерами занятости. Макроскопическое поведение этих систем частиц многих тел заключено в предельной модели, полученной, когда размер популяции стремится к бесконечности. Уравнения Больцмана представляют макроскопическую эволюцию сталкивающихся частиц в разреженных газах, в то время как диффузии Маккина-Власова представляют макроскопическое поведение жидких частиц и гранулированных газов.

В вычислительной физике и, более конкретно, в квантовой механике , энергия основного состояния квантовых систем связана с верхней частью спектра операторов Шредингера. Уравнение Шредингера является квантово-механической версией второго закона движения Ньютона классической механики (масса, умноженная на ускорение, является суммой сил). Это уравнение представляет собой эволюцию волновой функции (также известной как квантовое состояние) некоторой физической системы, включая молекулярные, атомные или субатомные системы, а также макроскопические системы, такие как Вселенная. ^[65] Решение уравнения Шредингера во мнимом времени (также известного как уравнение теплопроводности) дается распределением Фейнмана-Каца, связанным со свободным эволюционным марковским процессом (часто представленным броуновскими движениями) в наборе электронных или макромолекулярных конфигураций и некоторой функцией потенциальной энергии. Долговременное поведение этих нелинейных полугрупп связано с верхними собственными значениями и энергиями основного состояния операторов Шредингера. ^{[3] [32] [33] [34] [35] [66]} Генетическая интерпретация среднего поля этих моделей Фейнмана-Каца называется методами повторной выборки Монте-Карло или диффузионного Монте-Карло. Эти эволюционные алгоритмы разветвленного типа основаны на мутационных и селекционных переходах. Во время мутационного перехода блуждающие существа эволюционируют случайным образом и независимо в потенциальном энергетическом ландшафте конфигураций частиц. Процесс выбора среднего поля (он же квантовая телепортация, реконфигурация популяции, повторная выборка перехода) связан с функцией приспособленности, которая отражает поглощение частиц в энергетической яме. Конфигурации с низкой относительной энергией более склонны к дублированию. В молекулярной химии и статистической физике методы частиц среднего поля также используются для выборки мер Больцмана-Гиббса , связанных с некоторым графиком охлаждения, и для вычисления их нормализационных констант (он же свободная энергия или функции распределения). ^{[2] [67] [68] [69]}

В вычислительной биологии , и, более конкретно, в популяционной генетике , пространственные ветвящиеся процессы с конкурентным отбором и механизмами миграции также могут быть представлены моделями динамики популяции генетического типа среднего поля . ^{[4] [70]} Первые моменты мер занятости пространственного ветвящегося процесса задаются потоками распределения Фейнмана-Каца. ^{[71] [72]} Приближение генетического типа среднего поля этих потоков предлагает интерпретацию фиксированного размера популяции этих ветвящихся процессов. ^{[2] [3] [73]} Вероятности вымирания можно интерпретировать как вероятности поглощения некоторого марковского процесса, развивающегося в некоторой поглощающей среде. Эти модели поглощения представлены моделями Фейнмана-Каца. ^{[74] [75] [76] [77]} Долговременное поведение этих процессов, обусловленное невымиранием, может быть выражено эквивалентным образом квазиинвариантными мерами , пределами Яглома ^[78] или инвариантными мерами нелинейных нормализованных потоков Фейнмана-Каца. ^{[2] [3] [54] [55] [66] [79]}

В компьютерных науках , и в частности в искусственном интеллекте, эти генетические алгоритмы типа среднего поля используются в качестве эвристик случайного поиска, которые имитируют процесс эволюции для генерации полезных решений сложных задач оптимизации. ^{[80] [81] [82]} Эти стохастические алгоритмы поиска относятся к классу эволюционных моделей . Идея состоит в том, чтобы распространять популяцию возможных решений-кандидатов с использованием механизмов мутации и отбора. Взаимодействие среднего поля между особями инкапсулируется в механизмах отбора и кроссинговера.

В играх среднего поля и теориях многоагентных взаимодействующих систем процессы частиц среднего поля используются для представления коллективного поведения сложных систем с взаимодействующими индивидуумами. ^{[83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]} В этом контексте взаимодействие среднего поля инкапсулируется в процессе принятия решений взаимодействующими агентами. Ограничивающая модель, когда число агентов стремится к бесконечности, иногда называется континуальной моделью агентов ^[91]

В теории информации , а точнее в статистическом машинном обучении и обработке сигналов , методы частиц среднего поля используются для последовательной выборки из условных распределений некоторого случайного процесса относительно последовательности наблюдений или каскада редких событий . ^{[2] [3] [73] [92] В} задачах нелинейной фильтрации с дискретным временем условные распределения случайных состояний сигнала, заданного частичными и зашумленными наблюдениями, удовлетворяют нелинейному уравнению эволюции обновления-предсказания. Шаг обновления задается правилом Байеса , а шаг предсказания - уравнением переноса Чепмена-Колмогорова . Интерпретация частиц среднего поля этих нелинейных уравнений фильтрации - это алгоритм частиц генетического типа отбора-мутации ^[48] На этапе мутации частицы развиваются независимо друг от друга в соответствии с марковскими переходами сигнала. На этапе отбора частицы с малыми значениями относительного правдоподобия уничтожаются, в то время как частицы с высокими относительными значениями умножаются. ^{[93] [94]} Эти методы среднего поля частиц также используются для решения задач отслеживания нескольких объектов, а точнее для оценки мер ассоциации ^{[2] [73] [95]}

Непрерывная версия этих моделей частиц представляет собой интерпретации частиц типа Морана среднего поля для уравнений эволюции надежного оптимального фильтра или стохастического уравнения с частными производными Кушнера-Стратонотика. ^{[4] [31] [94]} Эти алгоритмы частиц среднего поля генетического типа, также называемые фильтрами частиц и последовательными методами Монте-Карло , широко и регулярно используются в исследовании операций и статистическом выводе. ^{[96] [97] [98]} Термин «фильтры частиц» был впервые введен в 1996 году Делем Моралом, ^[41] а термин «последовательный Монте-Карло» Лю и Ченом в 1998 году. Методы моделирования подмножеств и разделения Монте-Карло ^[99] являются частными случаями схем генетических частиц и моделей частиц Фейнмана-Каца, оснащенных мутационными переходами Монте-Карло цепи Маркова ^{[67] [100] [101]}

Чтобы мотивировать алгоритм моделирования среднего поля, мы начнем с S — конечного или счетного пространства состояний , и пусть P ( S ) обозначает множество всех вероятностных мер на S. Рассмотрим последовательность распределений вероятностей на S , удовлетворяющую уравнению эволюции:${\displaystyle (\eta _{0},\eta _{1},\cdots)}$

${\displaystyle \eta _ {n+1} = \ Phi (\eta _ {n})}$

1

для некоторого, возможно нелинейного, отображения эти распределения задаются векторами${\displaystyle \Phi :P(S)\to P(S).}$

${\displaystyle \eta _{n}=(\eta _{n}(x))_{x\in S},}$

которые удовлетворяют:

${\displaystyle 0\leqslant \eta _{n}(x)\leqslant 1,\qquad \sum \nolimits _{x\in S}\eta _{n}(x)=1.}$

Следовательно, является отображением из -единичного симплекса в себя, где s обозначает мощность множества S. Когда s слишком велико, решение уравнения ( 1 ) становится неразрешимым или очень затратным в вычислительном отношении. Один естественный способ аппроксимации этих эволюционных уравнений - последовательное сокращение пространства состояний с использованием модели частиц среднего поля. Одна из простейших схем моделирования среднего поля определяется цепью Маркова${\displaystyle \Фи}$${\displaystyle (с-1)}$

${\displaystyle \xi _{n}^{(N)}=\left(\xi _{n}^{(N,1)},\cdots ,\xi _{n}^{(N,N)}\right)}$

на пространстве произведений , начиная с N независимых случайных величин с распределением вероятностей и элементарными переходами${\displaystyle S^{N}}$${\displaystyle \eta _{0}}$

${\displaystyle \mathbf {P} \left(\left.\xi _{n+1}^{(N,1)}=y^{1},\cdots ,\xi _{n+1}^{(N,N)}=y^{N}\right|\xi _{n}^{(N)}\right)=\prod _{i=1}^{N}\Phi \left(\eta _{n}^{N}\right)\left(y^{i}\right),}$

с эмпирической мерой

${\displaystyle \eta _{n}^{N}={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}1_{\xi _{n}^{(N,j)}}}$

где — индикаторная функция состояния x .${\displaystyle 1_{x}}$

Другими словами, если выборки являются независимыми случайными величинами с распределением вероятностей . Обоснование этого метода моделирования среднего поля следующее: Мы ожидаем, что когда является хорошим приближением , то является приближением . Таким образом, поскольку является эмпирической мерой N условно независимых случайных величин с общим распределением вероятностей , мы ожидаем, что будет хорошим приближением .${\displaystyle \xi _{n}^{(N)}}$${\displaystyle \xi _{n+1}^{(N)}}$${\displaystyle \Phi \left(\eta _{n}^{N}\right)}$${\displaystyle \eta _{n}^{N}}$${\displaystyle \eta _{n}}$${\displaystyle \Phi \left(\eta _{n}^{N}\right)}$${\displaystyle \Phi \left(\eta _{n}\right)=\eta _{n+1}}$${\displaystyle \eta _{n+1}^{N}}$${\displaystyle \Phi \left(\eta _{n}^{N}\right)}$${\displaystyle \eta _{n+1}^{N}}$${\displaystyle \eta _{n+1}}$

Другая стратегия — найти коллекцию

${\displaystyle K_{\eta _{n}}=\left(K_{\eta _{n}}(x,y)\right)_{x,y\in S}}$

стохастических матриц, индексированных таким образом, что${\displaystyle \eta _{n}\in P(S)}$

${\displaystyle \sum _{x\in S}\eta _{n}(x)K_{\eta _{n}}(x,y)=\Phi (\eta _{n})(y)=\eta _{n+1}(y)}$

2

Эта формула позволяет интерпретировать последовательность как распределения вероятностей случайных состояний модели нелинейной цепи Маркова с элементарными переходами${\displaystyle (\eta _{0},\eta _{1},\cdots )}$${\displaystyle \left({\overline {X}}_{0},{\overline {X}}_{1},\cdots \right)}$

${\displaystyle \mathbf {P} \left(\left.{\overline {X}}_{n+1}=y\right|{\overline {X}}_{n}=x\right)=K_{\eta _{n}}(x,y),\qquad {\text{Law}}({\overline {X}}_{n})=\eta _{n}.}$

Набор марковских переходов, удовлетворяющих уравнению ( 1 ), называется интерпретацией МакКина последовательности мер . Интерпретация частиц среднего поля ( 2 ) теперь определяется цепью Маркова${\displaystyle K_{\eta _{n}}}$${\displaystyle \eta _{n}}$

${\displaystyle \xi _{n}^{(N)}=\left(\xi _{n}^{(N,1)},\cdots ,\xi _{n}^{(N,N)}\right)}$

на пространстве произведений , начиная с N независимых случайных копий и элементарных переходов${\displaystyle S^{N}}$${\displaystyle X_{0}}$

${\displaystyle \mathbf {P} \left(\left.\xi _{n+1}^{(N,1)}=y^{1},\cdots ,\xi _{n+1}^{(N,N)}=y^{N}\right|\xi _{n}^{(N)}\right)=\prod _{i=1}^{N}K_{n+1,\eta _{n}^{N}}\left(\xi _{n}^{(N,i)},y^{i}\right),}$

с эмпирической мерой

${\displaystyle \eta _{n}^{N}={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}1_{\xi _{n}^{(N,j)}}}$

При некоторых слабых условиях регулярности ^[2] на отображение для любой функции имеем почти надежную сходимость${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle f:S\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}f\left(\xi _{n}^{(N,j)}\right)\to _{N\uparrow \infty }E\left(f({\overline {X}}_{n})\right)=\sum _{x\in S}\eta _{n}(x)f(x)}$

Эти нелинейные марковские процессы и их интерпретация частиц среднего поля могут быть распространены на неоднородные по времени модели на общих измеримых пространствах состояний. ^[2]

Для иллюстрации абстрактных моделей, представленных выше, рассмотрим стохастическую матрицу и некоторую функцию . С этими двумя объектами мы связываем отображение${\displaystyle M=(M(x,y))_{x,y\in S}}$${\displaystyle G:S\to (0,1)}$

${\displaystyle {\begin{cases}\Phi :P(S)\to P(S)\\(\eta _{n}(x))_{x\in S}\mapsto \left(\Phi (\eta _{n})(y)\right)_{y\in S}\end{cases}}\qquad \Phi (\eta _{n})(y)=\sum _{x\in S}\Psi _{G}(\eta _{n})(x)M(x,y)}$

и меры Больцмана-Гиббса, определяемые как${\displaystyle \Psi _{G}(\eta _{n})(x)}$

${\displaystyle \Psi _{G}(\eta _{n})(x)={\frac {\eta _{n}(x)G(x)}{\sum _{z\in S}\eta _{n}(z)G(z)}}.}$

Обозначим совокупность стохастических матриц, индексированных с помощью${\displaystyle K_{\eta _{n}}=\left(K_{\eta _{n}}(x,y)\right)_{x,y\in S}}$${\displaystyle \eta _{n}\in P(S)}$

${\displaystyle K_{\eta _{n}}(x,y)=\epsilon G(x)M(x,y)+(1-\epsilon G(x))\Phi (\eta _{n})(y)}$

для некоторого параметра . Легко проверить, что уравнение ( 2 ) удовлетворяется. Кроме того, мы можем также показать (ср., например, ^[3] ), что решение ( 1 ) дается формулой Фейнмана-Каца${\displaystyle \epsilon \in [0,1]}$

${\displaystyle \eta _{n}(x)={\frac {E\left(1_{x}(X_{n})\prod _{p=0}^{n-1}G(X_{p})\right)}{E\left(\prod _{p=0}^{n-1}G(X_{p})\right)}},}$

с цепью Маркова с начальным распределением и марковским переходом M.${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle \eta _{0}}$

Для любой функции мы имеем${\displaystyle f:S\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle \eta _{n}(f):=\sum _{x\in S}\eta _{n}(x)f(x)={\frac {E\left(f(X_{n})\prod _{p=0}^{n-1}G(X_{p})\right)}{E\left(\prod _{p=0}^{n-1}G(X_{p})\right)}}}$

Если — единичная функция и , то имеем${\displaystyle G(x)=1}$${\displaystyle \epsilon =1}$

${\displaystyle K_{\eta _{n}}(x,y)=M(x,y)=\mathbf {P} \left(\left.X_{n+1}=y\right|X_{n}=x\right),\qquad \eta _{n}(x)=E\left(1_{x}(X_{n})\right)=\mathbf {P} (X_{n}=x).}$

И уравнение ( 2 ) сводится к уравнению Чепмена-Колмогорова

${\displaystyle \eta _{n+1}(y)=\sum _{x\in S}\eta _{n}(x)M(x,y)\qquad \Leftrightarrow \qquad \mathbf {P} \left(X_{n+1}=y\right)=\sum _{x\in S}\mathbf {P} (X_{n+1}=y|X_{n}=x)\mathbf {P} \left(X_{n}=x\right)}$

Интерпретация частиц среднего поля этой модели Фейнмана-Каца определяется путем последовательной выборки N условно независимых случайных величин с распределением вероятностей${\displaystyle \xi _{n+1}^{(N,i)}}$

${\displaystyle K_{n+1,\eta _{n}^{N}}\left(\xi _{n}^{(N,i)},y\right)=\epsilon G\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)M\left(\xi _{n}^{(N,i)},y\right)+\left(1-\epsilon G\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)\right)\sum _{j=1}^{N}{\frac {G\left(\xi _{n}^{(N,j)}\right)}{\sum _{k=1}^{N}G\left(\xi _{n}^{(N,k)}\right)}}M\left(\xi _{n}^{(N,j)},y\right)}$

Другими словами, с вероятностью частица эволюционирует в новое состояние, случайно выбранное с распределением вероятностей ; в противном случае, прыгает в новое местоположение, случайно выбранное с вероятностью, пропорциональной и эволюционирует в новое состояние, случайно выбранное с распределением вероятностей Если - единичная функция и , взаимодействие между частицей исчезает, и модель частицы сводится к последовательности независимых копий цепи Маркова . Когда описанная выше модель частицы среднего поля сводится к простому генетическому алгоритму мутации-селекции с функцией приспособленности G и мутационным переходом M . Эти нелинейные модели цепи Маркова и их интерпретация частицы среднего поля могут быть расширены до временных неоднородных моделей на общих измеримых пространствах состояний (включая переходные состояния, пространства путей и пространства случайных экскурсий) и непрерывных временных моделях. ^{[1] [2] [3]}${\displaystyle \epsilon G\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)}$${\displaystyle \xi _{n}^{(N,i)}}$${\displaystyle \xi _{n+1}^{(N,i)}=y}$${\displaystyle M\left(\xi _{n}^{(N,i)},y\right)}$${\displaystyle \xi _{n}^{(N,i)}}$${\displaystyle \xi _{n}^{(N,j)}}$${\displaystyle G\left(\xi _{n}^{(N,j)}\right)}$${\displaystyle \xi _{n+1}^{(N,i)}=y}$${\displaystyle M\left(\xi _{n}^{(N,j)},y\right).}$${\displaystyle G(x)=1}$${\displaystyle \epsilon =1}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle \epsilon =0}$

Мы рассматриваем последовательность действительных случайных величин, определяемых последовательно уравнениями${\displaystyle \left({\overline {X}}_{0},{\overline {X}}_{1},\cdots \right)}$

${\displaystyle {\overline {X}}_{n+1}=E\left(a\left({\overline {X}}_{n}\right)\right)b\left({\overline {X}}_{n}\right)+c\left({\overline {X}}_{n}\right)+\sigma W_{n}}$

3

с набором независимых стандартных гауссовых случайных величин, положительным параметром σ , некоторыми функциями и некоторым стандартным гауссовым начальным случайным состоянием . Пусть будет распределением вероятностей случайного состояния ; то есть для любой ограниченной измеримой функции f , мы имеем${\displaystyle W_{n}}$${\displaystyle a,b,c:\mathbf {R} \to \mathbf {R} ,}$${\displaystyle {\overline {X}}_{0}}$${\displaystyle \eta _{n}}$${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$

${\displaystyle E\left(f({\overline {X}}_{n})\right)=\int _{\mathbf {R} }f(x)\eta _{n}(dx),}$

с

${\displaystyle \mathbf {P} \left({\overline {X}}_{n}\in dx\right)=\eta _{n}(dx)}$

Интеграл — это интеграл Лебега , а dx обозначает бесконечно малую окрестность состояния x . Марковский переход цепи задается для любых ограниченных измеримых функций f формулой

${\displaystyle E\left(\left.f\left({\overline {X}}_{n+1}\right)\right|{\overline {X}}_{n}=x\right)=\int _{\mathbf {R} }K_{\eta _{n}}(x,dy)f(y),}$

с

${\displaystyle K_{\eta _{n}}(x,dy)=\mathbf {P} \left(\left.{\overline {X}}_{n+1}\in dy\right|{\overline {X}}_{n}=x\right)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp {\left\{-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\left(y-\left[b(x)\int _{\mathbf {R} }a(z)\eta _{n}(dz)+c(x)\right]\right)^{2}\right\}}dy}$

Используя свойство башни условных ожиданий, мы доказываем, что распределения вероятностей удовлетворяют нелинейному уравнению${\displaystyle \eta _{n}}$

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }\eta _{n+1}(dy)f(y)=\int _{\mathbf {R} }\left[\int _{\mathbf {R} }\eta _{n}(dx)K_{\eta _{n}}(x,dy)\right]f(y)}$

для любых ограниченных измеримых функций f . Это уравнение иногда записывают в более синтетической форме

${\displaystyle \eta _{n+1}=\Phi \left(\eta _{n}\right)=\eta _{n}K_{\eta _{n}}\quad \Leftrightarrow \quad \eta _{n+1}(dy)=\left(\eta _{n}K_{\eta _{n}}\right)(dy)=\int _{x\in \mathbf {R} }\eta _{n}(dx)K_{\eta _{n}}(x,dy)}$

Интерпретация частиц среднего поля этой модели определяется цепью Маркова

${\displaystyle \xi _{n}^{(N)}=\left(\xi _{n}^{(N,1)},\cdots ,\xi _{n}^{(N,N)}\right)}$

на продуктовом пространстве по${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$

${\displaystyle \xi _{n+1}^{(N,i)}=\left({\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}a\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)\right)b\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)+c\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)+\sigma W_{n}^{i}\qquad 1\leqslant i\leqslant N}$

где

${\displaystyle \xi _{0}^{(N)}=\left(\xi _{0}^{(N,1)},\cdots ,\xi _{0}^{(N,N)}\right),\qquad \left(W_{n}^{1},\cdots ,W_{n}^{N}\right)}$

обозначают N независимых копий и соответственно. Для регулярных моделей (например, для ограниченных липшицевых функций a , b , c ) мы имеем почти надежную сходимость${\displaystyle {\overline {X}}_{0}}$${\displaystyle W_{n};n\geqslant 1,}$

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}f\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)=\int _{\mathbf {R} }f(y)\eta _{n}^{N}(dy)\to _{N\uparrow \infty }E\left(f({\overline {X}}_{n})\right)=\int _{\mathbf {R} }f(y)\eta _{n}(dy),}$

с эмпирической мерой

${\displaystyle \eta _{n}^{N}={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}\delta _{\xi _{n}^{(N,i)}}}$

для любых ограниченных измеримых функций f (см., например, ^[2] ). На приведенном выше дисплее обозначает меру Дирака в состоянии x .${\displaystyle \delta _{x}}$

Мы рассматриваем стандартное броуновское движение (также известное как винеровский процесс ), оцененное на временной сетке с заданным временным шагом . Выбираем в уравнении ( 1 ), заменяем и σ на и , и записываем вместо значений случайных состояний, оцененных на временном шаге Вспоминая, что являются независимыми центрированными гауссовыми случайными величинами с дисперсией, полученное уравнение можно переписать в следующем виде${\displaystyle {\overline {W}}_{t_{n}}}$${\displaystyle t_{0}=0<t_{1}<\cdots <t_{n}<\cdots }$${\displaystyle t_{n}-t_{n-1}=h}$${\displaystyle c(x)=x}$${\displaystyle b(x)}$${\displaystyle b(x)\times h}$${\displaystyle \sigma \times {\sqrt {h}}}$${\displaystyle {\overline {X}}_{t_{n}}}$${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$${\displaystyle t_{n}.}$${\displaystyle \left({\overline {W}}_{t_{n+1}}-{\overline {W}}_{t_{n}}\right)}$${\displaystyle t_{n}-t_{n-1}=h,}$

${\displaystyle {\overline {X}}_{t_{n+1}}-{\overline {X}}_{t_{n}}=E\left(a\left({\overline {X}}_{t_{n}}\right)\right)b({\overline {X}}_{t_{n}})h+\sigma \left({\overline {W}}_{t_{n+1}}-{\overline {W}}_{t_{n}}\right)}$

4

При h → 0 приведенное выше уравнение сходится к нелинейному процессу диффузии

${\displaystyle d{\overline {X}}_{t}=E\left(a\left({\overline {X}}_{t}\right)\right)b({\overline {X}}_{t})dt+\sigma d{\overline {W}}_{t}}$

Модель непрерывного времени среднего поля, связанная с этими нелинейными диффузиями, представляет собой (взаимодействующий) диффузионный процесс в пространстве произведений, определяемый как${\displaystyle \xi _{t}^{(N)}=\left(\xi _{t}^{(N,i)}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$

${\displaystyle d\xi _{t}^{(N,i)}=\left({\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}a\left(\xi _{t}^{(N,i)}\right)\right)b\left(\xi _{t}^{(N,i)}\right)+\sigma d{\overline {W}}_{t}^{i}\qquad 1\leqslant i\leqslant N}$

где

${\displaystyle \xi _{0}^{(N)}=\left(\xi _{0}^{(N,1)},\cdots ,\xi _{0}^{(N,N)}\right),\qquad \left({\overline {W}}_{t}^{1},\cdots ,{\overline {W}}_{t}^{N}\right)}$

являются N независимыми копиями и Для регулярных моделей (например, для ограниченных функций Липшица a , b ) мы имеем почти надежную сходимость${\displaystyle {\overline {X}}_{0}}$${\displaystyle {\overline {W}}_{t}.}$

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}f\left(\xi _{t}^{(N,i)}\right)=\int _{\mathbf {R} }f(y)\eta _{t}^{N}(dy)\to _{N\uparrow \infty }E\left(f({\overline {X}}_{t})\right)=\int _{\mathbf {R} }f(y)\eta _{t}(dy)}$,

с и эмпирической мерой${\displaystyle \eta _{t}={\text{Law}}\left({\overline {X}}_{t}\right),}$

${\displaystyle \eta _{t}^{N}={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}\delta _{\xi _{t}^{(N,i)}}}$

для любых ограниченных измеримых функций f (ср., например, ^[7] ). Эти нелинейные марковские процессы и их интерпретация частиц среднего поля могут быть расширены до взаимодействующих процессов скачков-диффузии ^{[1] [2] [23] [25]}