Мазурский коллектор
Концепция дифференциальной топологии

В дифференциальной топологии , разделе математики, многообразие Мазура — это стягиваемое, компактное , гладкое четырехмерное многообразие с границей, которое не диффеоморфно стандартному 4-шару . Обычно от этих многообразий требуется также разложение на ручки с одной ручкой и одной ручкой; в противном случае их просто называли бы стягиваемыми многообразиями. Граница многообразия Мазура обязательно является гомологической 3-сферой . 1 {\displaystyle 1} 2 {\displaystyle 2}

История

Барри Мазур [ 1 ] и Валентин Поенару [2] открыли эти многообразия одновременно. Акбулут и Кирби показали, что гомологические сферы Брискорна и являются границами многообразий Мазура, фактически введя термин «многообразие Мазура». [3] Эти результаты были позже обобщены на другие стягиваемые многообразия Кассоном, Харером и Стерном. [4] [5] [6] Одно из многообразий Мазура также является примером пробки Акбулута , которая может быть использована для построения экзотических 4-многообразий. [7] Σ ( 2 , 5 , 7 ) {\displaystyle \Сигма (2,5,7)} Σ ( 3 , 4 , 5 ) {\displaystyle \Сигма (3,4,5)} Σ ( 2 , 3 , 13 ) {\displaystyle \Сигма (2,3,13)}

Многообразия Мазура использовались Финтушелем и Стерном [8] для построения экзотических действий группы порядка 2 на 4-мерной сфере .

Открытие Мазура оказалось неожиданным по нескольким причинам:

  • Каждая гладкая гомологическая сфера в размерности гомеоморфна границе компактного стягиваемого гладкого многообразия. Это следует из работы Кервера [9] и теоремы об h-кобордизме . Чуть сильнее, каждая гладкая гомологическая 4-сфера диффеоморфна границе компактного стягиваемого гладкого 5-многообразия (также по работе Кервера). Но не каждая гомологическая 3-сфера диффеоморфна границе стягиваемого компактного гладкого 4-многообразия. Например, гомологическая сфера Пуанкаре не ограничивает такое 4-многообразие, потому что инвариант Рохлина создает препятствие. н ≥ 5 {\displaystyle n\geq 5}
  • Теорема о h-кобордизме подразумевает, что, по крайней мере в размерностях, существует единственное стягиваемое -многообразие с односвязной границей, где единственность с точностью до диффеоморфизма. Это многообразие является единичным шаром . Это открытая проблема относительно того, допускает ли экзотическую гладкую структуру, но по теореме о h-кобордизме такая экзотическая гладкая структура, если она существует, должна ограничиваться экзотической гладкой структурой на . Допускает ли экзотическую гладкую структуру или нет, эквивалентно другой открытой проблеме, гладкой гипотезе Пуанкаре в размерности четыре . Допускает ли экзотическую гладкую структуру или нет, является другой открытой проблемой, тесно связанной с проблемой Шёнфлиса в размерности четыре. н ≥ 6 {\displaystyle n\geq 6} н {\displaystyle n} Д н {\displaystyle D^{n}} Д 5 {\displaystyle D^{5}} С 4 {\displaystyle S^{4}} С 4 {\displaystyle S^{4}} Д 4 {\displaystyle D^{4}}

Наблюдение Мазура

Пусть будет многообразием Мазура, которое построено как объединение 2-ручки. Вот набросок аргумента Мазура о том, что двойник такого многообразия Мазура есть . — стягиваемое 5-многообразие, построенное как объединение 2-ручки. 2-ручка может быть распутана, поскольку прикрепляющее отображение — это оснащенный узел в 4-многообразии . Таким образом, объединение 2-ручки диффеоморфно . Граница есть . Но граница — это двойник . М {\displaystyle М} С 1 × Д 3 {\displaystyle S^{1}\times D^{3}} С 4 {\displaystyle S^{4}} М × [ 0 , 1 ] {\displaystyle M\times [0,1]} С 1 × Д 4 {\displaystyle S^{1}\times D^{4}} С 1 × С 3 {\displaystyle S^{1}\times S^{3}} С 1 × Д 4 {\displaystyle S^{1}\times D^{4}} Д 5 {\displaystyle D^{5}} Д 5 {\displaystyle D^{5}} С 4 {\displaystyle S^{4}} М × [ 0 , 1 ] {\displaystyle M\times [0,1]} М {\displaystyle М}

Ссылки

  1. ^ Мазур, Барри (1961). «Заметка о некоторых стягиваемых 4-многообразиях». Ann. of Math. 73 (1): 221– 228. doi :10.2307/1970288. JSTOR  1970288. MR  0125574.
  2. ^ Поэнару, Валентин (1960). «Разложения гиперкуба в топологическом продукте». Бык. Соц. Математика. Франция . 88 : 113–129 . doi : 10.24033/bsmf.1546 . МР  0125572.
  3. ^ Акбулут, Селман; Кирби, Робион (1979). «Многообразия Мазура». Michigan Math. J . 26 (3): 259– 284. doi : 10.1307/mmj/1029002261 . MR  0544597.
  4. ^ Кассон, Эндрю; Харер, Джон Л. (1981). «Некоторые гомологические линзовые пространства, которые связывают рациональные гомологические шары». Pacific J. Math. 96 (1): 23– 36. doi : 10.2140/pjm.1981.96.23 . MR  0634760.
  5. ^ Fickle, Henry Clay (1984). «Узлы, Z-гомологии 3-сфер и стягиваемые 4-многообразия». Houston J. Math . 10 (4): 467– 493. MR  0774711.
  6. ^ Р.Стерн (1978). "Некоторые сферы Брискорна, которые ограничивают стягиваемые многообразия". Notices Amer. Math. Soc . 25 .
  7. ^ Акбулут, Селман (1991). «Поддельное компактное стягиваемое 4-многообразие» (PDF) . J. Differential Geom. 33 (2): 335–356 . doi : 10.4310/jdg/1214446320 . MR  1094459.
  8. ^ Финтушел, Рональд; Стерн, Рональд Дж. (1981). «Экзотическая свободная инволюция на ». Ann. of Math. 113 (2): 357– 365. doi :10.2307/2006987. JSTOR  2006987. MR  0607896. С 4 {\displaystyle S^{4}}
  9. ^ Кервер, Мишель А. (1969). «Гладкие гомологические сферы и их фундаментальные группы». Trans. Amer. Math. Soc. 144 : 67– 72. doi : 10.1090/S0002-9947-1969-0253347-3 . MR  0253347.
  • Rolfsen, Dale (1990), Knots and links. Исправленное переиздание оригинала 1976 года. , Mathematics Lecture Series, т. 7, Хьюстон, Техас: Publish or Perish, Inc., стр.  355–357 , Глава 11E, ISBN 0-914098-16-0, МР  1277811
Получено с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Mazur_manifold&oldid=1223080318"