Частота Мацубары

Эта статья в значительной степени или полностью основана на одном источнике . Соответствующее обсуждение можно найти на странице обсуждения . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив ссылки на дополнительные источники . Найти источники:  "Частота Мацубары" – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( сентябрь 2011 г. )

В тепловой квантовой теории поля суммирование частот Мацубары ( названное в честь Такео Мацубары ) представляет собой метод, используемый для упрощения вычислений, включающих евклидовы (мнимое время) интегралы по траектории . ^[1]

В тепловой квантовой теории поля бозонные и фермионные квантовые поля являются соответственно периодическими или антипериодическими по мнимому времени с периодичностью . Суммирование Мацубары относится к технике разложения этих полей в ряды Фурье${\displaystyle \фи (\тау)}$${\displaystyle \тау}$${\displaystyle \beta =\hbar /k_{\rm {B}}T}$

${\displaystyle \phi (\tau)={\frac {1}{\sqrt {\beta }}}\sum _{n}e^{-i\omega _{n}\tau }\phi (i\ omega _{n})\Leftrightarrow \phi (i\omega _{n})={\frac {1}{\sqrt {\beta }}}\int _{0}^{\beta }d\tau \ e^{i\omega _{n}\tau }\phi (\tau ).}$

Частоты называются частотами Мацубары и принимают значения из одного из следующих наборов (с ):${\displaystyle \omega _{n}}$${\displaystyle n\in \mathbb {Z}}$

Бозонные частоты:${\displaystyle \omega _{n}={\frac {2n\pi }{\beta }},}$

Фермионные частоты:${\displaystyle \omega _{n}={\frac {(2n+1)\pi }{\beta }},}$

которые соответственно обеспечивают периодические и антипериодические граничные условия на поле . ${\displaystyle \фи (\тау)}$

После того, как такие замены сделаны, некоторые диаграммы, участвующие в действии, принимают форму так называемого суммирования Мастубара.

${\displaystyle S_{\eta}={\frac {1}{\beta}}\sum _{i\omega _{n}}g(i\omega _{n}).}$

Суммирование будет сходиться, если стремится к 0 в пределе быстрее, чем . Суммирование по бозонным частотам обозначается как (с ), а по фермионным частотам обозначается как (с ). — статистический знак.${\displaystyle g(z=i\omega)}$${\displaystyle z\to \infty }$${\displaystyle z^{-1}}$${\displaystyle S_{\rm {B}}}$${\displaystyle \эта =+1}$${\displaystyle S_{\rm {F}}}$${\displaystyle \эта =-1}$${\displaystyle \эта}$

В дополнение к тепловой квантовой теории поля, метод суммирования частот Мацубары также играет существенную роль в диаграммном подходе к физике твердого тела, а именно, если рассматривать диаграммы при конечной температуре. ^{[2] [3] [4]}

Вообще говоря, если при , то определенная диаграмма Фейнмана представлена ​​интегралом , то при конечной температуре она задается суммой .${\displaystyle T=0\,{\text{K}}}$${\displaystyle \int _{T=0}\mathrm {d} \omega \ g(\omega )}$${\displaystyle S_{\eta }}$

Хитрость оценки суммирования частот Мацубары заключается в использовании весовой функции Мацубары h _η ( z ), которая имеет простые полюса, расположенные точно в . ^[4] Весовые функции в случае бозона η  = +1 и фермиона η  = −1 различаются. Выбор весовой функции будет обсужден позже. С весовой функцией суммирование можно заменить контурным интегралом, окружающим мнимую ось.${\displaystyle z=i\omega _ {n}}$

${\displaystyle S_{\eta }={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega }g(i\omega) = {\frac {1}{2\pi i\beta }} \oint g(z)h_{\eta }(z)\,dz,}$

Как и на рис. 1, весовая функция генерирует полюса (красные кресты) на мнимой оси. Контурный интеграл подбирает остаток этих полюсов, что эквивалентно суммированию. Эту процедуру иногда называют преобразованием Зоммерфельда-Ватсона. ^[5]

Деформируя контурные линии так, чтобы они охватывали полюса g ( z ) (зеленый крест на рис. 2), суммирование можно формально выполнить, суммируя остаток g ( z ) h _η ( z ) по всем полюсам g ( z ),

${\displaystyle S_{\eta }=-{\frac {1}{\beta }}\sum _{z_{0}\in g(z){\text{poles}}}\operatorname {Res} g( z_{0})h_{\eta }(z_{0}).}$

Обратите внимание, что получается знак минус, поскольку контур деформируется, охватывая полюса по часовой стрелке, что приводит к отрицательному остатку.

Для создания простых полюсов на бозонных частотах можно выбрать любой из следующих двух типов весовых функций Мацубары:${\displaystyle z=i\omega _ {n}}$

${\displaystyle h_{\rm {B}}^{(1)}(z)={\frac {\beta }{1-e^{-\beta z}}}=-\beta n_{\rm { B}}(-z)=\beta (1+n_{\rm {B}}(z)),}$

${\displaystyle h_{\rm {B}}^{(2)}(z)={\frac {-\beta {1-e^{\beta z}}}=\beta n_ {\rm {B }}(г),}$

в зависимости от того, в какой полуплоскости необходимо контролировать сходимость. контролирует сходимость в левой полуплоскости (Re  z  < 0), а контролирует сходимость в правой полуплоскости (Re  z  > 0). Вот функция распределения Бозе-Эйнштейна .${\displaystyle h_{\rm {B}}^{(1)}(z)}$${\displaystyle h_{\rm {B}}^{(2)}(z)}$${\displaystyle n_{\rm {B}}(z)=(e^{\beta z}-1)^{-1}}$

Аналогичный случай для фермионных частот. Существуют также два типа весовых функций Мацубары, которые производят простые полюса при${\displaystyle z=i\omega _{m}}$

${\displaystyle h_{\rm {F}}^{(1)}(z)={\frac {\beta }{1+e^{-\beta z}}}=\beta n_ {\rm {F }}(-z)=\beta (1-n_{\rm {F}}(z)),}$

${\displaystyle h_{\rm {F}}^{(2)}(z)={\frac {-\beta }{1+e^{\beta z}}}=-\beta n_{\rm { F}}(z).}$

${\displaystyle h_{\rm {F}}^{(1)}(z)}$контролирует сходимость в левой полуплоскости (Re  z  < 0), а контролирует сходимость в правой полуплоскости (Re  z  > 0). Вот функция распределения Ферми–Дирака .${\displaystyle h_{\rm {F}}^{(2)}(z)}$${\displaystyle n_{\rm {F}}(z)=(e^{\beta z}+1)^{-1}}$

В приложении к вычислению функции Грина g ( z ) всегда имеет структуру

${\displaystyle g(z)=G(z)e^{-z\tau },}$

которая расходится в левой полуплоскости при 0 <  τ  <  β . Для контроля сходимости всегда выбирается весовая функция первого типа . Однако нет необходимости контролировать сходимость, если суммирование Мацубары не расходится. В этом случае любой выбор весовой функции Мацубары приведет к идентичным результатам.${\displaystyle h_{\eta }(z)=h_{\eta }^{(1)}(z)}$

Следующая таблица содержит некоторые простые рациональные функции g ( z ). Символ η  = ±1 является статистическим знаком, +1 для бозонов и -1 для фермионов.${\displaystyle S_{\eta }={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega }g(i\omega )}$

${\displaystyle g(i\omega )}$	${\displaystyle S_{\eta }}$
${\displaystyle (i\omega -\xi )^{-1}}$	${\displaystyle -\eta n_{\eta }(\xi )}$[1]
${\displaystyle (i\omega -\xi )^{-2}}$	${\displaystyle -\eta n_{\eta }^{\prime }(\xi )=\beta n_{\eta }(\xi )(\eta +n_{\eta }(\xi ))}$
${\displaystyle (i\omega -\xi )^{-n}}$	${\displaystyle -{\frac {\eta }{(n-1)!}}\partial _{\xi }^{n-1}n_{\eta }(\xi )}$
${\displaystyle {\frac {1}{(i\omega -\xi _{1})(i\omega -\xi _{2})}}}$	${\displaystyle -{\frac {\eta (n_{\eta }(\xi _{1})-n_{\eta }(\xi _{2}))}{\xi _{1}-\xi _{2}}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{(i\omega -\xi _{1})^{2}(i\omega -\xi _{2})^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {\eta }{(\xi _{1}-\xi _{2})^{2}}}\left({\frac {2(n_{\eta }(\xi _{1})-n_{\eta }(\xi _{2}))}{\xi _{1}-\xi _{2}}}-(n_{\eta }^{\prime }(\xi _{1})+n_{\eta }^{\prime }(\xi _{2}))\right)}$
${\displaystyle {\frac {1}{(i\omega -\xi _{1})^{2}-\xi _{2}^{2}}}}$	${\displaystyle \eta c_{\eta }(\xi _{1},\xi _{2})\equiv -\eta {\frac {n_{\eta }(\xi _{1}+\xi _{2})-n_{\eta }(\xi _{1}-\xi _{2})}{2\xi _{2}}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{(i\omega )^{2}-\xi ^{2}}}}$	${\displaystyle \eta c_{\eta }(0,\xi )=-{\frac {1}{2\xi }}(1+2\eta n_{\eta }(\xi ))}$
${\displaystyle {\frac {(i\omega )^{2}}{(i\omega )^{2}-\xi ^{2}}}}$	${\displaystyle -{\frac {\xi }{2}}(1+2\eta n_{\eta }(\xi ))}$[1]
${\displaystyle {\frac {1}{((i\omega )^{2}-\xi ^{2})^{2}}}}$	${\displaystyle -{\frac {\eta }{2\xi ^{2}}}(c_{\eta }(0,\xi )+n_{\eta }^{\prime }(\xi ))}$
${\displaystyle {\frac {(i\omega )^{2}}{((i\omega )^{2}-\xi ^{2})^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {\eta }{2}}(c_{\eta }(0,\xi )-n_{\eta }^{\prime }(\xi ))}$
${\displaystyle {\frac {(i\omega )^{2}+\xi ^{2}}{((i\omega )^{2}-\xi ^{2})^{2}}}}$	${\displaystyle -\eta n_{\eta }^{\prime }(\xi )=\beta n_{\eta }(\xi )(\eta +n_{\eta }(\xi ))}$
${\displaystyle {\frac {1}{((i\omega )^{2}-\xi _{1}^{2})((i\omega )^{2}-\xi _{2}^{2})}}}$	${\displaystyle {\frac {\eta (c_{\eta }(0,\xi _{1})-c_{\eta }(0,\xi _{2}))}{\xi _{1}^{2}-\xi _{2}^{2}}}}$
${\displaystyle \left({\frac {1}{(i\omega )^{2}-\xi _{1}^{2}}}+{\frac {1}{(i\omega )^{2}-\xi _{2}^{2}}}\right)^{2}}$	${\displaystyle \eta \left({\frac {3\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2}}{2\xi _{1}^{2}(\xi _{1}^{2}-\xi _{2}^{2})}}c_{\eta }(0,\xi _{1})-{\frac {n_{\eta }^{\prime }(\xi _{1})}{2\xi _{1}^{2}}}\right)+(1\leftrightarrow 2)}$[2]
${\displaystyle \left({\frac {1}{(i\omega )^{2}-\xi _{1}^{2}}}-{\frac {1}{(i\omega )^{2}-\xi _{2}^{2}}}\right)^{2}}$	${\displaystyle \eta \left(-{\frac {5\xi _{1}^{2}-\xi _{2}^{2}}{2\xi _{1}^{2}(\xi _{1}^{2}-\xi _{2}^{2})}}c_{\eta }(0,\xi _{1})-{\frac {n_{\eta }^{\prime }(\xi _{1})}{2\xi _{1}^{2}}}\right)+(1\leftrightarrow 2)}$[2]

[1] Поскольку суммирование не сходится, результат может отличаться при различном выборе весовой функции Мацубары.

[2] (1 ↔ 2) обозначает то же самое выражение, что и предыдущее, но с поменянными местами индексами 1 и 2.

В этом пределе суммирование частот Мацубары эквивалентно интегрированию мнимой частоты по мнимой оси.${\displaystyle \beta \rightarrow \infty }$

${\displaystyle {\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega }=\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\mathrm {d} (i\omega )}{2\pi i}}.}$

Некоторые интегралы не сходятся. Их следует регуляризировать, введя частотную границу , а затем вычитая расходящуюся часть ( зависящую от ) из интеграла перед тем, как взять предел . Например, свободная энергия получается интегралом логарифма,${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega \rightarrow \infty }$

${\displaystyle \eta \lim _{\Omega \rightarrow \infty }\left[\int _{-i\Omega }^{i\Omega }{\frac {\mathrm {d} (i\omega )}{2\pi i}}\left(\ln(-i\omega +\xi )-{\frac {\pi \xi }{2\Omega }}\right)-{\frac {\Omega }{\pi }}(\ln \Omega -1)\right]=\left\{{\begin{array}{cc}0&\xi \geq 0,\\-\eta \xi &\xi <0,\end{array}}\right.}$

Это означает, что при нулевой температуре свободная энергия просто относится к внутренней энергии ниже химического потенциала. Также функция распределения получается следующим интегралом

${\displaystyle \eta \lim _{\Omega \rightarrow \infty }\int _{-i\Omega }^{i\Omega }{\frac {\mathrm {d} (i\omega )}{2\pi i}}\left({\frac {1}{-i\omega +\xi }}-{\frac {\pi }{2\Omega }}\right)=\left\{{\begin{array}{cc}0&\xi \geq 0,\\-\eta &\xi <0,\end{array}}\right.}$

который демонстрирует ступенчатое поведение функции при нулевой температуре.

Рассмотрим функцию G ( τ ), определенную на мнимом интервале времени (0, β ). Ее можно задать в виде ряда Фурье,

${\displaystyle G(\tau )={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega }G(i\omega )e^{-i\omega \tau },}$

где частота принимает только дискретные значения, отстоящие друг от друга на 2π / β .

Конкретный выбор частоты зависит от граничного условия функции G ( τ ). В физике G ( τ ) обозначает мнимое временное представление функции Грина

${\displaystyle G(\tau )=-\langle {\mathcal {T}}_{\tau }\psi (\tau )\psi ^{*}(0)\rangle .}$

Он удовлетворяет периодическому граничному условию G ( τ + β )= G ( τ ) для бозонного поля. В то время как для фермионного поля граничное условие является антипериодическим G ( τ  +  β ) = − G ( τ ).

Учитывая функцию Грина G ( iω ) в частотной области, ее мнимое временное представление G ( τ ) можно оценить с помощью суммирования частот Мацубары. В зависимости от частот бозона или фермиона, по которым нужно суммировать, результирующее G ( τ ) может быть разным. Чтобы различать, определите

${\displaystyle G_{\eta }(\tau )={\begin{cases}G_{\rm {B}}(\tau ),&{\text{if }}\eta =+1,\\G_{\rm {F}}(\tau ),&{\text{if }}\eta =-1,\end{cases}}}$

с

${\displaystyle G_{\rm {B}}(\tau )={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{n}}G(i\omega _{n})e^{-i\omega _{n}\tau },}$

${\displaystyle G_{\rm {F}}(\tau )={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{m}}G(i\omega _{m})e^{-i\omega _{m}\tau }.}$

Обратите внимание, что τ ограничено в основном интервале (0, β ). Граничное условие может быть использовано для расширения G ( τ ) за пределы основного интервала. Некоторые часто используемые результаты приведены в следующей таблице.

${\displaystyle G(i\omega )}$	${\displaystyle G_{\eta }(\tau )}$
${\displaystyle (i\omega -\xi )^{-1}}$	${\displaystyle -e^{\xi (\beta -\tau )}n_{\eta }(\xi )}$
${\displaystyle (i\omega -\xi )^{-2}}$	${\displaystyle e^{\xi (\beta -\tau )}n_{\eta }(\xi )\left(\tau +\eta \beta n_{\eta }(\xi )\right)}$
${\displaystyle (i\omega -\xi )^{-3}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}e^{\xi (\beta -\tau )}n_{\eta }(\xi )\left(\tau ^{2}+\eta \beta (\beta +2\tau )n_{\eta }(\xi )+2\beta ^{2}n_{\eta }^{2}(\xi )\right)}$
${\displaystyle (i\omega -\xi _{1})^{-1}(i\omega -\xi _{2})^{-1}}$	${\displaystyle -{\frac {e^{\xi _{1}(\beta -\tau )}n_{\eta }(\xi _{1})-e^{\xi _{2}(\beta -\tau )}n_{\eta }(\xi _{2})}{\xi _{1}-\xi _{2}}}}$
${\displaystyle (\omega ^{2}+m^{2})^{-1}}$	${\displaystyle {\frac {e^{-m\tau }}{2m}}+{\frac {\eta }{m}}\cosh {m\tau }\;n_{\eta }(m)}$
${\displaystyle i\omega (\omega ^{2}+m^{2})^{-1}}$	${\displaystyle {\frac {e^{-m\tau }}{2}}-\eta \,\sinh {m\tau }\;n_{\eta }(m)}$

Малое мнимое время играет здесь решающую роль. Порядок операторов изменится, если малое мнимое время изменит знак.

${\displaystyle \langle \psi \psi ^{*}\rangle =\langle {\mathcal {T}}_{\tau }\psi (\tau =0^{+})\psi ^{*}(0)\rangle =-G_{\eta }(\tau =0^{+})=-{\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega }G(i\omega )e^{-i\omega 0^{+}}}$

${\displaystyle \langle \psi ^{*}\psi \rangle =\eta \langle {\mathcal {T}}_{\tau }\psi (\tau =0^{-})\psi ^{*}(0)\rangle =-\eta G_{\eta }(\tau =0^{-})=-{\frac {\eta }{\beta }}\sum _{i\omega }G(i\omega )e^{i\omega 0^{+}}}$

Оценка функции распределения становится сложной из-за разрыва функции Грина G ( τ ) при τ  = 0. Для оценки суммы

${\displaystyle G(0)=\sum _{i\omega }(i\omega -\xi )^{-1},}$

Оба варианта весовой функции приемлемы, но результаты разные. Это можно понять, если  немного отодвинуть G ( τ ) от τ = 0, тогда для управления сходимостью мы должны взять в качестве весовой функции для , а для .${\displaystyle h_{\eta }^{(1)}(z)}$${\displaystyle G(\tau =0^{+})}$${\displaystyle h_{\eta }^{(2)}(z)}$${\displaystyle G(\tau =0^{-})}$

Бозоны

${\displaystyle G_{\rm {B}}(\tau =0^{-})={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{n}}{\frac {e^{i\omega _{n}0^{+}}}{i\omega _{n}-\xi }}=-n_{\rm {B}}(\xi ),}$

${\displaystyle G_{\rm {B}}(\tau =0^{+})={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{n}}{\frac {e^{-i\omega _{n}0^{+}}}{i\omega _{n}-\xi }}=-(n_{\rm {B}}(\xi )+1).}$

Фермионы

${\displaystyle G_{\rm {F}}(\tau =0^{-})={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{m}}{\frac {e^{i\omega _{m}0^{+}}}{i\omega _{m}-\xi }}=n_{\rm {F}}(\xi ),}$

${\displaystyle G_{\rm {F}}(\tau =0^{+})={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{m}}{\frac {e^{-i\omega _{m}0^{+}}}{i\omega _{m}-\xi }}=-(1-n_{\rm {F}}(\xi )).}$

Бозоны

${\displaystyle {\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{n}}\ln(\beta (-i\omega _{n}+\xi ))={\frac {1}{\beta }}\ln(1-e^{-\beta \xi }),}$

Фермионы

${\displaystyle -{\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{m}}\ln(\beta (-i\omega _{m}+\xi ))=-{\frac {1}{\beta }}\ln(1+e^{-\beta \xi }).}$

Часто встречающиеся диаграммы оцениваются здесь с настройкой одного режима. Многомодовые проблемы могут быть рассмотрены с помощью интеграла спектральной функции. Здесь — фермионная частота Мацубары, а — бозонная частота Мацубары.${\displaystyle \omega _{m}}$${\displaystyle \omega _{n}}$

${\displaystyle \Sigma (i\omega _{m})=-{\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{n}}{\frac {1}{i\omega _{m}+i\omega _{n}-\varepsilon }}{\frac {1}{i\omega _{n}-\Omega }}={\frac {n_{\rm {F}}(\varepsilon )+n_{\rm {B}}(\Omega )}{i\omega _{m}-\varepsilon +\Omega }}.}$

${\displaystyle \Pi (i\omega _{n})={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{m}}{\frac {1}{i\omega _{m}+i\omega _{n}-\varepsilon }}{\frac {1}{i\omega _{m}-\varepsilon '}}=-{\frac {n_{\rm {F}}(\varepsilon )-n_{\rm {F}}\left(\varepsilon '\right)}{i\omega _{n}-\varepsilon +\varepsilon '}}.}$

${\displaystyle \Pi (i\omega _{n})=-{\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{m}}{\frac {1}{i\omega _{m}+i\omega _{n}-\varepsilon }}{\frac {1}{-i\omega _{m}-\varepsilon '}}={\frac {1-n_{\rm {F}}\left(\varepsilon '\right)-n_{\rm {F}}(\varepsilon )}{i\omega _{n}-\varepsilon -\varepsilon '}}.}$

Общее обозначение обозначает либо функцию распределения Бозе ( η  = +1), либо функцию распределения Ферми ( η  = −1)${\displaystyle n_{\eta }}$

${\displaystyle n_{\eta }(\xi )={\frac {1}{e^{\beta \xi }-\eta }}.}$

При необходимости для обозначения функций распределения Бозе и Ферми используются специальные обозначения n _B и n _{F соответственно.}

${\displaystyle n_{\eta }(\xi )={\begin{cases}n_{\rm {B}}(\xi ),&{\text{if }}\eta =+1,\\n_{\rm {F}}(\xi ),&{\text{if }}\eta =-1.\end{cases}}}$

Функция распределения Бозе связана с гиперболической функцией котангенса соотношением

${\displaystyle n_{\rm {B}}(\xi )={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {\beta \xi }{2}}-1\right).}$

Функция распределения Ферми связана с функцией гиперболического тангенса соотношением

${\displaystyle n_{\rm {F}}(\xi )={\frac {1}{2}}\left(1-\operatorname {tanh} {\frac {\beta \xi }{2}}\right).}$

Обе функции распределения не имеют определенной четности,

${\displaystyle n_{\eta }(-\xi )=-\eta -n_{\eta }(\xi ).}$

Другая формула находится в терминах функции${\displaystyle c_{\eta }}$

${\displaystyle n_{\eta }(-\xi )=n_{\eta }(\xi )+2\xi c_{\eta }(0,\xi ).}$

Однако их производные имеют определенную четность.

Функции распределения Бозе и Ферми преобразуются при сдвиге переменной на фермионную частоту,

${\displaystyle n_{\eta }(i\omega _{m}+\xi )=-n_{-\eta }(\xi ).}$

Однако сдвиг по бозонным частотам не имеет никакого значения.

${\displaystyle n_{\rm {B}}^{\prime }(\xi )=-{\frac {\beta }{4}}\mathrm {csch} ^{2}{\frac {\beta \xi }{2}},}$

${\displaystyle n_{\rm {F}}^{\prime }(\xi )=-{\frac {\beta }{4}}\mathrm {sech} ^{2}{\frac {\beta \xi }{2}}.}$

С точки зрения продукта:

${\displaystyle n_{\eta }^{\prime }(\xi )=-\beta n_{\eta }(\xi )(1+\eta n_{\eta }(\xi )).}$

В пределе нулевой температуры:

${\displaystyle n_{\eta }^{\prime }(\xi )=\eta \delta (\xi ){\text{ as }}\beta \rightarrow \infty .}$

${\displaystyle n_{\rm {B}}^{\prime \prime }(\xi )={\frac {\beta ^{2}}{4}}\operatorname {csch} ^{2}{\frac {\beta \xi }{2}}\operatorname {coth} {\frac {\beta \xi }{2}},}$

${\displaystyle n_{\rm {F}}^{\prime \prime }(\xi )={\frac {\beta ^{2}}{4}}\operatorname {sech} ^{2}{\frac {\beta \xi }{2}}\operatorname {tanh} {\frac {\beta \xi }{2}}.}$

${\displaystyle n_{\eta }(a+b)-n_{\eta }(a-b)=-{\frac {\mathrm {sinh} \beta b}{\mathrm {cosh} \beta a-\eta \,\mathrm {cosh} \beta b}}.}$

${\displaystyle n_{\rm {B}}(b)-n_{\rm {B}}(-b)=\mathrm {coth} {\frac {\beta b}{2}},}$

${\displaystyle n_{\rm {F}}(b)-n_{\rm {F}}(-b)=-\mathrm {tanh} {\frac {\beta b}{2}}.}$

${\displaystyle n_{\rm {B}}(a+b)-n_{\rm {B}}(a-b)=\operatorname {coth} {\frac {\beta b}{2}}+n_{\rm {B}}^{\prime \prime }(b)a^{2}+\cdots ,}$

${\displaystyle n_{\rm {F}}(a+b)-n_{\rm {F}}(a-b)=-\operatorname {tanh} {\frac {\beta b}{2}}+n_{\rm {F}}^{\prime \prime }(b)a^{2}+\cdots .}$

${\displaystyle n_{\rm {B}}(a+b)-n_{\rm {B}}(a-b)=2n_{\rm {B}}^{\prime }(a)b+\cdots ,}$

${\displaystyle n_{\rm {F}}(a+b)-n_{\rm {F}}(a-b)=2n_{\rm {F}}^{\prime }(a)b+\cdots .}$

Определение:

${\displaystyle c_{\eta }(a,b)\equiv -{\frac {n_{\eta }(a+b)-n_{\eta }(a-b)}{2b}}.}$

Для типа Бозе и Ферми:

${\displaystyle c_{\rm {B}}(a,b)\equiv c_{+}(a,b),}$

${\displaystyle c_{\rm {F}}(a,b)\equiv c_{-}(a,b).}$

${\displaystyle c_{\eta }(a,b)={\frac {\sinh \beta b}{2b(\cosh \beta a-\eta \cosh \beta b)}}.}$

Очевидно, что она положительно определена.${\displaystyle c_{\rm {F}}(a,b)}$

Чтобы избежать переполнения при численных вычислениях, используются функции tanh и coth.

${\displaystyle c_{\rm {B}}(a,b)={\frac {1}{4b}}\left(\operatorname {coth} {\frac {\beta (a-b)}{2}}-\operatorname {coth} {\frac {\beta (a+b)}{2}}\right),}$

${\displaystyle c_{\rm {F}}(a,b)={\frac {1}{4b}}\left(\operatorname {tanh} {\frac {\beta (a+b)}{2}}-\operatorname {tanh} {\frac {\beta (a-b)}{2}}\right).}$

${\displaystyle c_{\rm {B}}(0,b)=-{\frac {1}{2b}}\operatorname {coth} {\frac {\beta b}{2}},}$

${\displaystyle c_{\rm {F}}(0,b)={\frac {1}{2b}}\operatorname {tanh} {\frac {\beta b}{2}}.}$

${\displaystyle c_{\rm {B}}(a,0)={\frac {\beta }{4}}\operatorname {csch} ^{2}{\frac {\beta a}{2}},}$

${\displaystyle c_{\rm {F}}(a,0)={\frac {\beta }{4}}\operatorname {sech} ^{2}{\frac {\beta a}{2}}.}$

Для а = 0:${\displaystyle c_{\rm {F}}(0,b)={\frac {1}{2|b|}}.}$

Для b = 0:${\displaystyle c_{\rm {F}}(a,0)=\delta (a).}$

В общем,

${\displaystyle c_{\rm {F}}(a,b)={\begin{cases}{\frac {1}{2|b|}},&{\text{if }}|a|<|b|\\0,&{\text{if }}|a|>|b|\end{cases}}}$

• Воображаемое время
• Тепловая квантовая теория поля

Агустин Ньето: Оценка сумм по частотам Мацубары. arXiv:hep-ph/9311210

Репозиторий Github: MatsubaraSum Пакет Mathematica для суммирования частот Matsubara.

А. Тахеридекорди, С. Курно, Дж. П. Ф. ЛеБлан: Алгоритмическая интеграция Мацубары для моделей, подобных Хаббарду. arXiv: cond-mat/1808.05188