Распределение фон Мизеса–Фишера

В направленной статистике распределение фон Мизеса–Фишера (названное в честь Ричарда фон Мизеса и Рональда Фишера ) — это распределение вероятностей на - сфере в . Если распределение сводится к распределению фон Мизеса на окружности .${\displaystyle (p-1)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$${\displaystyle p=2}$

Функция плотности вероятности распределения фон Мизеса–Фишера для случайного p -мерного единичного вектора определяется выражением:${\displaystyle \mathbf {x} }$

${\displaystyle f_ {p}(\mathbf {x}; {\boldsymbol {\mu }},\kappa)=C_ {p}(\kappa)\exp \left({\kappa {\boldsymbol {\mu} }^{\mathsf {T}}\mathbf {x} }\right),}$

где и константа нормировки равна${\displaystyle \каппа \geq 0,\left\Vert {\boldsymbol {\mu }}\right\Vert =1}$${\displaystyle C_{p}(\kappa)}$

${\displaystyle C_{p}(\kappa)={\frac {\kappa ^{p/2-1}}{(2\pi)^{p/2}I_{p/2-1}(\kappa )}},}$

где обозначает модифицированную функцию Бесселя первого рода при порядке . Если , то константа нормировки уменьшается до${\displaystyle I_{v}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle p=3}$

${\displaystyle C_{3}(\kappa)={\frac {\kappa }{4\pi \sinh \kappa }} = {\frac {\kappa }{2\pi (e^{\kappa } -e ^{-\каппа })}}.}$

Параметры и называются средним направлением и параметром концентрации соответственно. Чем больше значение , тем выше концентрация распределения вокруг среднего направления . Распределение унимодально для , и равномерно на сфере для .${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$${\displaystyle \каппа >0}$${\displaystyle \каппа =0}$

Распределение фон Мизеса–Фишера для также называется распределением Фишера . ^{[1] [2]} Впервые оно было использовано для моделирования взаимодействия электрических диполей в электрическом поле . ^[3] Другие приложения можно найти в геологии , биоинформатике и анализе текстов .${\displaystyle p=3}$

В учебнике « Направленная статистика ^{» [3]} Мардиа и Джаппа константа нормализации, данная для плотности вероятности Мизеса-Фишера, по-видимому, отличается от приведенной здесь: . В этой книге константа нормализации указана как:${\displaystyle C_{p}(\kappa)}$

${\displaystyle C_{p}^{*}(\kappa )={\frac {({\frac {\kappa }{2}})^{p/2-1}}{\Gamma (p/2)I_{p/2-1}(\kappa )}}}$

где - гамма-функция . Это решается, если отметить, что Мардиа и Юпп дают плотность "относительно равномерного распределения", тогда как плотность здесь указана обычным образом, относительно меры Лебега . Плотность (относительно меры Лебега) равномерного распределения является обратной величиной площади поверхности (p-1)-сферы , так что функция равномерной плотности задается константой:${\displaystyle \Гамма}$

${\displaystyle C_{p}(0)={\frac {\Gamma (p/2)}{2\pi ^{p/2}}}}$

Из этого следует, что:

${\displaystyle C_{p}^{*}(\каппа )={\frac {C_{p}(\каппа )}{C_{p}(0)}}}$

Хотя значение для было получено выше через площадь поверхности, тот же результат можно получить, установив в приведенной выше формуле для . Это можно сделать, заметив, что разложение ряда для , деленное на , имеет только один ненулевой член при . (Чтобы оценить этот член, нужно использовать определение .)${\displaystyle C_{p}(0)}$${\displaystyle \каппа =0}$${\displaystyle C_{p}(\kappa)}$${\displaystyle I_{p/2-1}(\ каппа)}$${\displaystyle \ каппа ^{p/2-1}}$${\displaystyle \каппа =0}$ ${\displaystyle 0^{0}=1}$

Носителем распределения Мизеса–Фишера является гиперсфера , или , точнее, -сфера , обозначаемая как ${\displaystyle (p-1)}$

${\displaystyle S^{p-1}=\left\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{p}:\left\|\mathbf {x} \right\|=1\right\}}$

Это -мерное многообразие, вложенное в -мерное евклидово пространство .${\displaystyle (p-1)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$

Начиная с нормального распределения с изотропной ковариацией и средним значением длины , функция плотности которого имеет вид: ${\displaystyle \каппа ^{-1}\mathbf {I} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$${\displaystyle r>0}$

${\displaystyle G_{p}(\mathbf {x};{\boldsymbol {\mu }},\kappa)=\left({\sqrt {\frac {\kappa }{2\pi }}}\right) ^{p}\exp \left(-\kappa {\frac {(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})^{\mathsf {T}}(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})}{2}}\right),}$

Распределение Мизеса–Фишера получается путем обусловливания . Разлагая${\displaystyle \left\|\mathbf {x} \right\|=1}$

${\displaystyle (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})^{\mathsf {T}}(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} +{\boldsymbol {\mu }}^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\mu }}-2{\boldsymbol {\mu }}^{\mathsf {T}}\mathbf {x} ,}$

и используя тот факт, что первые два члена правой стороны фиксированы, плотность Мизеса-Фишера восстанавливается путем пересчета константы нормализации путем интегрирования по единичной сфере. Если , мы получаем равномерное распределение с плотностью .${\displaystyle f_{p}(\mathbf {x};r^{-1}{\boldsymbol {\mu }},r\kappa)}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle r=0}$${\displaystyle f_{p}(\mathbf {x} ;{\boldsymbol {0}},0)}$

Более кратко, ограничение любой изотропной многомерной нормальной плотности единичной гиперсферой дает плотность Мизеса-Фишера с точностью до нормализации.

Эту конструкцию можно обобщить, начав с нормального распределения с общей ковариационной матрицей, в этом случае обусловливание дает распределение Фишера-Бингама .${\displaystyle \left\|\mathbf {x} \right\|=1}$

Серия из N независимых единичных векторов выводится из распределения фон Мизеса-Фишера. Максимальные оценки правдоподобия среднего направления — это просто нормализованное арифметическое среднее , достаточная статистика : ^[3]${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \мю}$

${\displaystyle \mu ={\bar {x}}/{\bar {R}},{\text{where }}{\bar {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{i}^{N}x_{i},{\text{and }}{\bar {R}}=\|{\bar {x}}\|,}$

Используйте модифицированную функцию Бесселя первого рода для определения

${\displaystyle A_{p}(\kappa )={\frac {I_{p/2}(\kappa )}{I_{p/2-1}(\kappa )}}.}$

Затем:

${\displaystyle \kappa =A_{p}^{-1}({\bar {R}}).}$

Вот решение${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle A_{p}(\kappa )={\frac {\left\|\sum _{i}^{N}x_{i}\right\|}{N}}={\bar {R}}.}$

Простейшее приближение к (Sra, 2011)${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle {\hat {\kappa }}={\frac {{\bar {R}}(p-{\bar {R}}^{2})}{1-{\bar {R}}^{2}}},}$

Более точную инверсию можно получить, повторив метод Ньютона несколько раз.

${\displaystyle {\hat {\kappa }}_{1}={\hat {\kappa }}-{\frac {A_{p}({\hat {\kappa }})-{\bar {R}}}{1-A_{p}({\hat {\kappa }})^{2}-{\frac {p-1}{\hat {\kappa }}}A_{p}({\hat {\kappa }})}},}$

${\displaystyle {\hat {\kappa }}_{2}={\hat {\kappa }}_{1}-{\frac {A_{p}({\hat {\kappa }}_{1})-{\bar {R}}}{1-A_{p}({\hat {\kappa }}_{1})^{2}-{\frac {p-1}{{\hat {\kappa }}_{1}}}A_{p}({\hat {\kappa }}_{1})}}.}$

Для N  ≥ 25 предполагаемая сферическая стандартная ошибка выборочного среднего направления может быть вычислена как: ^[4]

${\displaystyle {\hat {\sigma }}=\left({\frac {d}{N{\bar {R}}^{2}}}\right)^{1/2}}$

где

${\displaystyle d=1-{\frac {1}{N}}\sum _{i}^{N}\left(\mu ^{T}x_{i}\right)^{2}}$

Тогда можно аппроксимировать сферический доверительный интервал ( доверительный конус ) с полувертикальным углом:${\displaystyle 100(1-\alpha )\%}$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle q=\arcsin \left(e_{\alpha }^{1/2}{\hat {\sigma }}\right),}$где${\displaystyle e_{\alpha }=-\ln(\alpha ).}$

Например, для конуса уверенности 95%, и, таким образом,${\displaystyle \alpha =0.05,e_{\alpha }=-\ln(0.05)=2.996,}$${\displaystyle q=\arcsin(1.731{\hat {\sigma }}).}$

Ожидаемое значение распределения Мизеса–Фишера не находится на единичной гиперсфере, но вместо этого имеет длину меньше единицы. Эта длина задается как определено выше. Для распределения Мизеса–Фишера со средним направлением и концентрацией ожидаемое значение равно: ${\displaystyle A_{p}(\kappa )}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$${\displaystyle \kappa >0}$

${\displaystyle A_{p}(\kappa ){\boldsymbol {\mu }}}$.

Для , ожидаемое значение находится в начале координат. Для конечного , длина ожидаемого значения строго между нулем и единицей и является монотонно возрастающей функцией .${\displaystyle \kappa =0}$${\displaystyle \kappa >0}$${\displaystyle \kappa }$

Эмпирическое среднее ( арифметическое среднее ) набора точек на единичной гиперсфере ведет себя аналогичным образом, находясь близко к началу координат для широко распространенных данных и близко к сфере для концентрированных данных. Действительно, для распределения Мизеса–Фишера ожидаемое значение оценки максимального правдоподобия, основанной на наборе точек, равно эмпирическому среднему этих точек.

Ожидаемое значение можно использовать для вычисления дифференциальной энтропии и дивергенции KL .

Дифференциальная энтропия равна :${\displaystyle {\text{VMF}}({\boldsymbol {\mu }},\kappa )}$

${\displaystyle {\bigl \langle }-\log f_{p}(\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\mu }},\kappa ){\bigr \rangle }_{\mathbf {x} \sim {\text{VMF}}({\boldsymbol {\mu }},\kappa )}=-\log f_{p}(A_{p}(\kappa ){\boldsymbol {\mu }};{\boldsymbol {\mu }},\kappa )=-\log C_{p}(\kappa )-\kappa A_{p}(\kappa )}$

где угловые скобки обозначают ожидание. Обратите внимание, что энтропия является функцией только.${\displaystyle \kappa }$

Расхождение KL между и равно:${\displaystyle {\text{VMF}}({\boldsymbol {\mu _{0}}},\kappa _{0})}$${\displaystyle {\text{VMF}}({\boldsymbol {\mu _{1}}},\kappa _{1})}$

${\displaystyle {\Bigl \langle }\log {\frac {f_{p}(\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\mu _{0}}},\kappa _{0})}{f_{p}(\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\mu _{1}}},\kappa _{1})}}{\Bigr \rangle }_{\mathbf {x} \sim {\text{VMF}}({\boldsymbol {\mu _{0}}},\kappa _{0})}=\log {\frac {f_{p}(A_{p}(\kappa _{0}){\boldsymbol {\mu _{0}}};{\boldsymbol {\mu _{0}}},\kappa _{0})}{f_{p}(A_{p}(\kappa _{0}){\boldsymbol {\mu _{0}}};{\boldsymbol {\mu _{1}}},\kappa _{1})}}}$

Распределения Мизеса-Фишера (VMF) замкнуты относительно ортогональных линейных преобразований. Пусть будет матрицей ортогональности . Пусть и применим обратимое линейное преобразование: . Обратное преобразование равно , поскольку обратная ортогональной матрица является ее транспонированной : . Якобиан преобразования равен , для которого абсолютное значение его определителя равно 1, также из-за ортогональности. Используя эти факты и форму плотности VMF, следует, что: ${\displaystyle \mathbf {U} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \sim {\text{VMF}}({\boldsymbol {\mu }},\kappa )}$${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {Ux} }$${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {U'y} }$${\displaystyle \mathbf {U} ^{-1}=\mathbf {U} '}$${\displaystyle \mathbf {U} }$

${\displaystyle \mathbf {y} \sim {\text{VMF}}(\mathbf {U} {\boldsymbol {\mu }},\kappa ).}$

Можно проверить, что поскольку и являются единичными векторами, то по ортогональности также являются и .${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {U} {\boldsymbol {\mu }}}$${\displaystyle \mathbf {y} }$

Алгоритм для получения псевдослучайных выборок из распределения Мизеса Фишера (VMF) был предложен Ульрихом ^[5] и позднее исправлен Вудом. ^[6] Реализация на языке R дана Хорником и Грюном; ^[7] а быстрая реализация на Python описана Пинзоном и Юнгом. ^[8]

Для моделирования из распределения VMF на -мерной единичной сфере , со средним направлением , эти алгоритмы используют следующее радиально-тангенциальное разложение для точки  :${\displaystyle (p-1)}$${\displaystyle S^{p-1}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\in S^{p-1}}$${\displaystyle \mathbf {x} \in S^{p-1}\subset \mathbb {R} ^{p}}$

${\displaystyle \mathbf {x} =t{\boldsymbol {\mu }}+{\sqrt {1-t^{2}}}\mathbf {v} }$

где живет в тангенциальной -мерной единичной подсфере, которая центрирована в и перпендикулярна ; в то время как . Чтобы извлечь выборку из VMF с параметрами и , необходимо извлечь из равномерного распределения на тангенциальной подсфере; а радиальная составляющая, , должна быть извлечена независимо из распределения с плотностью:${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{p}}$${\displaystyle (p-2)}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$${\displaystyle t\in [-1,1]}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle t}$

${\displaystyle f_{\text{radial}}(t;\kappa ,p)={\frac {(\kappa /2)^{\nu }}{\Gamma ({\frac {1}{2}})\Gamma (\nu +{\frac {1}{2}})I_{\nu }(\kappa )}}e^{t\kappa }(1-t^{2})^{\nu -{\frac {1}{2}}}}$

где . Нормировочную константу для этой плотности можно проверить, используя:${\displaystyle \nu ={\frac {p}{2}}-1}$

${\displaystyle I_{\nu }(\kappa )={\frac {(\kappa /2)^{\nu }}{\Gamma ({\frac {1}{2}})\Gamma (\nu +{\frac {1}{2}})}}\int _{-1}^{1}e^{t\kappa }(1-t^{2})^{\nu -{\frac {1}{2}}}\,dt}$

как указано в Приложении 1 (A.3) в Направленной статистике . ^[3] Рисование выборок из этой плотности с использованием алгоритма выборки с отклонением объясняется в приведенных выше ссылках. Чтобы нарисовать равномерные выборки перпендикулярно , см. алгоритм в ^[8] или в противном случае можно использовать преобразование Хаусхолдера , как описано в Алгоритме 1 в ^[9]${\displaystyle t}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$

Чтобы сгенерировать распределенный по Мизесу–Фишеру псевдослучайный сферический трехмерный единичный вектор ^{[10] [11]} на сфере для заданных и , определим${\textstyle \mathbf {X} _{s}}$${\textstyle S^{2}}$${\textstyle \mu }$${\textstyle \kappa }$

${\displaystyle \mathbf {X} _{s}=[r,\theta ,\phi ]}$

где - полярный угол, азимутальный угол и расстояние до центра сферы${\textstyle \theta }$${\textstyle \phi }$${\textstyle r=1}$

для псевдослучайного триплета тогда задается выражением${\textstyle \mathbf {\mu } =[0,(.),1]}$

${\displaystyle \mathbf {X} _{s}=[1,\arccos W,V]}$

где выбирается из непрерывного равномерного распределения с нижней границей и верхней границей${\textstyle V}$ ${\textstyle U(a,b)}$${\textstyle a}$${\textstyle b}$

${\displaystyle V\sim U(0,2\pi )}$

и

${\displaystyle W=\cos \theta =1+{\frac {1}{\kappa }}(\ln \xi +\ln(1-{\frac {\xi -1}{\xi }}e^{-2\kappa }))}$

где выбирается из стандартного непрерывного равномерного распределения${\textstyle \xi }$${\textstyle U(0,1)}$

${\displaystyle \xi \sim U(0,1)}$

здесь следует установить значение when и повернуть для соответствия любому другому желаемому значению .${\textstyle W}$${\textstyle W=1}$${\textstyle \mathbf {\xi } =0}$${\textstyle \mathbf {X} _{s}}$${\textstyle \mu }$

Для , угол θ между и удовлетворяет . Он имеет распределение${\displaystyle p=3}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$${\displaystyle \cos \theta ={\boldsymbol {\mu }}^{\mathsf {T}}\mathbf {x} }$

${\displaystyle p(\theta )=\int d^{2}xf(x;{\boldsymbol {\mu }},\kappa )\,\delta \left(\theta -{\text{arc cos}}({\boldsymbol {\mu }}^{\mathsf {T}}\mathbf {x} )\right)}$,

что можно легко оценить как

${\displaystyle p(\theta )=2\pi C_{3}(\kappa )\,\sin \theta \,e^{\kappa \cos \theta }}$.

Для общего случая распределение для косинуса этого угла:${\displaystyle p\geq 2}$

${\displaystyle \cos \theta =t={\boldsymbol {\mu }}^{\mathsf {T}}\mathbf {x} }$

определяется как , как объяснено выше.${\displaystyle f_{\text{radial}}(t;\kappa ,p)}$

При , распределение Мизеса–Фишера на упрощается до равномерного распределения на . Плотность постоянна со значением . Псевдослучайные выборки могут быть получены путем генерации выборок в из стандартного многомерного нормального распределения с последующей нормализацией до единичной нормы.${\displaystyle \kappa =0}$${\displaystyle {\text{VMF}}({\boldsymbol {\mu }},\kappa )}$${\displaystyle S^{p-1}}$${\displaystyle S^{p-1}\subset \mathbb {R} ^{p}}$${\displaystyle C_{p}(0)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$

Для пусть будет любой компонентой . Маргинальное распределение для имеет плотность: ^{[12] [13]}${\displaystyle 1\leq i\leq p}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \mathbf {x} \in S^{p-1}}$${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle f_{i}(x_{i};p)=f_{\text{radial}}(x_{i};\kappa =0,p)={\frac {(1-x_{i}^{2})^{{\frac {p-1}{2}}-1}}{B{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {p-1}{2}}{\bigr )}}}}$

где бета -функция . Это распределение можно лучше понять, выделив его связь с бета-распределением :${\displaystyle B(\alpha ,\beta )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}^{2}&\sim {\text{Beta}}{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {p-1}{2}}{\bigr )}&&{\text{and}}&{\frac {x_{i}+1}{2}}&\sim {\text{Beta}}{\bigl (}{\frac {p-1}{2}},{\frac {p-1}{2}}{\bigr )}\end{aligned}}}$

где формула удвоения Лежандра полезна для понимания взаимосвязей между константами нормализации различных плотностей, указанных выше.

Обратите внимание, что компоненты не являются независимыми, поэтому равномерная плотность не является произведением предельных плотностей и не может быть собрана путем независимой выборки компонентов.${\displaystyle \mathbf {x} \in S^{p-1}}$${\displaystyle \mathbf {x} }$

В машинном обучении , особенно в классификации изображений , классифицируемые входные данные (например, изображения) часто сравниваются с использованием косинусного сходства , которое является скалярным произведением между промежуточными представлениями в форме единичных векторов (называемых вложениями ). Размерность обычно высока, по крайней мере, несколько сотен. Глубокие нейронные сети , которые извлекают вложения для классификации, должны научиться распределять классы как можно дальше друг от друга, и в идеале это должно давать классы, которые равномерно распределены по . ^[14] Для лучшего статистического понимания межклассового косинусного сходства может быть полезным распределение скалярных произведений между единичными векторами, независимо выбранными из равномерного распределения.${\displaystyle p}$${\displaystyle S^{p-1}}$

Пусть будут единичными векторами в , независимо выбранными из равномерного распределения. Определим:${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in S^{p-1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}t&=\mathbf {x} '\mathbf {y} \in [-1,1],&r&={\frac {t+1}{2}}\in [0,1],&s&={\text{logit}}(r)=\log {\frac {1+t}{1-t}}\in \mathbb {R} \end{aligned}}}$

где — скалярное произведение, а — его преобразованные версии. Тогда распределение для совпадает с распределением маргинальных компонентов , приведенным выше ; ^[13] распределение для — симметричная бета, а распределение для — симметричная логистическая бета :${\displaystyle t}$${\displaystyle r,s}$${\displaystyle t}$${\displaystyle r}$${\displaystyle s}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r&\sim {\text{Beta}}{\bigl (}{\frac {p-1}{2}},{\frac {p-1}{2}}{\bigr )},&s&\sim B_{\sigma }{\bigl (}{\frac {p-1}{2}},{\frac {p-1}{2}}{\bigr )}\end{aligned}}}$

Средние значения и дисперсии:

${\displaystyle {\begin{aligned}E[t]&=0,&E[r]&={\frac {1}{2}},&E[s]&=0,\end{aligned}}}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{var}}[t]&={\frac {1}{p}},&{\text{var}}[r]&={\frac {1}{4p}},&{\text{var}}[s]&=2\psi '{\bigl (}{\frac {p-1}{2}}{\bigr )}\approx {\frac {4}{p-1}}\end{aligned}}}$

где — первая полигамма-функция . Дисперсии уменьшаются, распределения всех трех переменных становятся более гауссовыми, а окончательное приближение улучшается по мере увеличения размерности, .${\displaystyle \psi '=\psi ^{(1)}}$${\displaystyle p}$

Матричное распределение фон Мизеса-Фишера (также известное как матричное распределение Ланжевена ^{[15] [16]} ) имеет плотность

${\displaystyle f_{n,p}(\mathbf {X} ;\mathbf {F} )\propto \exp(\operatorname {tr} (\mathbf {F} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X} ))}$

поддерживаемый на многообразии Штифеля ортонормированных p-фреймов , где — произвольная вещественная матрица. ^{[17] [18} ]${\displaystyle n\times p}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle n\times p}$

Ульрих ^[5] при разработке алгоритма выборки из распределения VMF использует семейство распределений, названное в честь Джона Г. Со и исследованное им. ^[19] Распределение Со представляет собой распределение на -сфере , с модальным вектором и концентрацией , и функция плотности которого имеет вид:${\displaystyle (p-1)}$${\displaystyle S^{p-1}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\in S^{p-1}}$${\displaystyle \kappa \geq 0}$

${\displaystyle f_{\text{Saw}}(\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\mu }},\kappa )={\frac {g(\kappa \mathbf {x} '{\boldsymbol {\mu }})}{K_{p}(\kappa )}}}$

где - неотрицательная, возрастающая функция; и где - константа нормировки. Вышеупомянутое радиально-тангенциальное разложение обобщается на семейство Saw и радиальный компонент, имеет плотность:${\displaystyle g}$${\displaystyle K_{P}(\kappa )}$ ${\displaystyle t=\mathbf {x} '{\boldsymbol {\mu }}}$

${\displaystyle f_{\text{Saw-radial}}(t;\kappa )={\frac {2\pi ^{p/2}}{\Gamma (p/2)}}{\frac {g(\kappa t)(1-t^{2})^{(p-3)/2}}{B{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {p-1}{2}}{\bigr )}K_{p}(\kappa )}}.}$

где — бета-функция. Также обратите внимание, что левый множитель радиальной плотности — это площадь поверхности .${\displaystyle B}$${\displaystyle S^{p-1}}$

Установив , можно восстановить распределение VMF.${\displaystyle g(\kappa \mathbf {x} '{\boldsymbol {\mu }})=e^{\kappa \mathbf {x} '{\boldsymbol {\mu }}}}$

Определение распределения Мизеса-Фишера можно расширить, включив также случай, когда , так что носитель представляет собой 0-мерную гиперсферу, которая при встраивании в 1-мерное евклидово пространство является дискретным множеством, . Среднее направление равно , а концентрация равна . Функция массы вероятности для равна:${\displaystyle p=1}$${\displaystyle \{-1,1\}}$${\displaystyle \mu \in \{-1,1\}}$${\displaystyle \kappa \geq 0}$${\displaystyle x\in \{-1,1\}}$

${\displaystyle f_{1}(x\mid \mu ,\kappa )={\frac {e^{\kappa \mu x}}{e^{-\kappa }+e^{\kappa }}}=\sigma (2\kappa \mu x)}$

где — логистический сигмоид . Ожидаемое значение равно . В однородном случае при это распределение вырождается в распределение Радемахера .${\displaystyle \sigma (z)=1/(1+e^{-z})}$${\displaystyle \mu \,{\text{tanh}}(\kappa )}$${\displaystyle \kappa =0}$

• Распределение Кента , родственное распределение на двумерной единичной сфере
• Распределение фон Мизеса , распределение фон Мизеса–Фишера, где p  = 2, одномерная единичная окружность
• Двумерное распределение фон Мизеса
• Направленная статистика

• Диллон, И., Сра, С. (2003) «Моделирование данных с использованием направленных распределений». Технический представитель, Техасский университет, Остин.
• Банерджи, А., Диллон, И. С., Гош, Дж. и Сра, С. (2005). «Кластеризация на единичной гиперсфере с использованием распределений фон Мизеса-Фишера». Журнал исследований машинного обучения, 6 (сентябрь), 1345-1382.
• Sra, S. (2011). "Краткая заметка о параметрической аппроксимации распределений фон Мизеса-Фишера: и быстрая реализация I_s(x)". Computational Statistics . 27 : 177– 190. CiteSeerX  10.1.1.186.1887 . doi :10.1007/s00180-011-0232-x. S2CID  3654195.