Матричное дифференциальное уравнение

Связь матрицы переменных между двумя точками времени

Матричное разностное уравнение — это разностное уравнение , в котором значение вектора (или иногда матрицы) переменных в один момент времени связано с его собственным значением в один или несколько предыдущих моментов времени с помощью матриц . ^[1]^[2] Порядок уравнения — это максимальный временной промежуток между любыми двумя указанными значениями вектора переменных. Например,

\mathbf {x} _{t}=\mathbf {Ax} _{t-1}+\mathbf {Bx} _{t-2}

является примером матричного дифференциального уравнения второго порядка, в котором $x$ — вектор переменных размером $n \times 1 , а$ $A$ и $B$ — матрицы размером $n \times n$ . Это уравнение однородно, поскольку в конце уравнения не добавляется векторный постоянный член. Это же уравнение можно записать как

\mathbf {x} _{t+2}=\mathbf {Ax} _{t+1}+\mathbf {Bx} _{t}

или как

\mathbf {x} _{n}=\mathbf {Ax} _{n-1}+\mathbf {Bx} _{n-2}

Наиболее часто встречающиеся матричные разностные уравнения имеют первый порядок.

Неоднородный случай первого порядка и стационарное состояние

Примером неоднородного матричного разностного уравнения первого порядка является

\mathbf {x} _{t}=\mathbf {Ax} _{t-1}+\mathbf {b}

с аддитивным постоянным вектором $b$ . Устойчивое состояние этой системы — это значение $x *$ вектора $x,$ которое, если достигнуто, не будет отклоняться от него впоследствии. $x *$ находится путем подстановки $x t = x t -1 = x *$ в разностное уравнение и решения относительно $x *$ для получения

\mathbf {x} ^{*}=[\mathbf {I} -\mathbf {A} ]^{-1}\mathbf {b}

где $I$ — единичная матрица $n \times n$ , и где предполагается, что [I − A] обратимо $.$ $Тогда$ $неоднородное$ $уравнение$ $можно$ переписать в однородной форме в терминах отклонений от стационарного состояния:

\left[\mathbf {x} _{t}-\mathbf {x} ^{*}\right]=\mathbf {A} \left[\mathbf {x} _{t-1}-\mathbf {x} ^{*}\right]

Устойчивость случая первого порядка

Матричное разностное уравнение первого порядка $[x t - x *] = A [x t -1 - x *]$ устойчиво , то есть $x t$ асимптотически сходится к стационарному состоянию $x *$ , тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы перехода $A$ (действительные или комплексные) имеют абсолютное значение , меньшее 1.

Решение случая первого порядка

Предположим, что уравнение приведено к однородной форме $y t = Ay t -1$ . Тогда мы можем итерировать и подставлять многократно из начального условия $y 0$ , которое является начальным значением вектора $y$ и которое должно быть известно для нахождения решения:

{\begin{aligned}\mathbf {y} _{1}&=\mathbf {Ay} _{0} \\\mathbf {y} _{2} &=\mathbf {Ay} _{1 }=\mathbf {A} ^{2}\mathbf {y} _{0}\\\mathbf {y} _{3}&=\mathbf {Ay} _{2}=\mathbf {A} ^{ 3}\mathbf {y} _{0}\end{aligned}}

и так далее, так что по математической индукции решение в терминах $t$ равно

\mathbf {y} _{t}=\mathbf {A} ^{t}\mathbf {y} _{0}

Далее, если $A$ диагонализируемо, мы можем переписать $A$ в терминах его собственных значений и собственных векторов , получив решение в виде

\mathbf {y} _{t}=\mathbf {PD} ^{t}\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {y} _{0},

где $P$ — матрица $n \times n$ $,$ столбцы которой являются собственными векторами A (предполагая, что все собственные значения различны), а $D$ — диагональная матрица $n$ $\times$ $n,$ диагональные элементы которой являются собственными значениями $A.$ Это решение мотивирует приведенный выше результат устойчивости: $A$ $t$ сжимается до нулевой матрицы с течением времени тогда и только тогда, когда все собственные значения $A$ меньше единицы по абсолютной величине.

Извлечение динамики одной скалярной переменной из матричной системы первого порядка

Начиная с $n$ -мерной системы $y t = Ay t -1$ , мы можем извлечь динамику одной из переменных состояния, скажем, $y 1$ . Вышеприведенное уравнение решения для $y t$ показывает, что решение для $y 1, t$ находится в терминах $n$ собственных значений $A$ . Поэтому уравнение, описывающее эволюцию $y 1$ само по себе должно иметь решение, включающее те же собственные значения. Это описание интуитивно мотивирует уравнение эволюции $y 1$ , которое является

y_{1,t}=a_{1}y_{1,t-1}+a_{2}y_{1,t-2}+\dots +a_{n}y_{1,tn}

где параметры $a i$ берутся из характеристического уравнения матрицы $A$ :

\lambda ^{n}-a_{1}\lambda ^{n-1}-a_{2}\lambda ^{n-2}-\dots -a_{n}\lambda ^{0}=0.

Таким образом, каждая отдельная скалярная переменная $n$ -мерной линейной системы первого порядка развивается в соответствии с одномерным разностным уравнением $n$ -й степени, которое имеет то же свойство устойчивости (устойчивое или неустойчивое), что и матричное разностное уравнение.

Решение и устойчивость случаев высшего порядка

Матричные дифференциальные уравнения более высокого порядка, то есть с временным лагом больше одного периода, можно решить, а их устойчивость проанализировать, преобразовав их в форму первого порядка с помощью блочной матрицы (матрицы матриц). Например, предположим, что у нас есть уравнение второго порядка

\mathbf {x} _{t}=\mathbf {Ax} _{t-1}+\mathbf {Bx} _{t-2}

с переменным вектором $x,$ равным $n \times 1$ , и $A$ и $B,$ равными $n \times n$ . Это можно сложить в виде

{\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{t}\\\mathbf {x} _{t-1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {I} &\mathbf {0} \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{t-1}\\\mathbf {x} _{t-2}\end{bmatrix}}

где $I$ — единичная матрица $n \times n$ , а $0$ — нулевая матрица $n$ $\times$ $n$ . Тогда, обозначая сложенный вектор $2$ $n$ $\times 1$ текущих и однократно запаздывающих переменных как $z$ $t$ и блочную матрицу $2$ $n$ $\times 2$ $n$ как $L$ , мы имеем, как и прежде, решение

\mathbf {z} _{t}=\mathbf {L} ^{t}\mathbf {z} _{0}

Как и прежде, это составное уравнение, а значит, и исходное уравнение второго порядка, устойчивы тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы $L$ по абсолютной величине меньше единицы.

Нелинейные матричные разностные уравнения: уравнения Риккати

В линейно-квадратично-гауссовском управлении возникает нелинейное матричное уравнение для обратной эволюции матрицы текущих и будущих затрат , обозначаемое ниже как $H.$ Это уравнение называется дискретным динамическим уравнением Риккати , и оно возникает, когда переменный вектор, развивающийся в соответствии с линейным матричным разностным уравнением, управляется путем манипулирования экзогенным вектором с целью оптимизации квадратичной функции затрат . Это уравнение Риккати принимает следующую или подобную форму:

\mathbf {H} _{t-1}=\mathbf {K} +\mathbf {A} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {A} -\mathbf {A} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {C} \left[\mathbf {C} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {C} +\mathbf {R} \right]^{-1}\mathbf {C} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {A}

где $H$ , $K$ , и $A$ являются $n \times n$ , $C$ является $n \times k$ , $R$ является $k \times k$ , $n$ является числом элементов в векторе для управления, а $k$ является числом элементов в векторе управления. Матрицы параметров $A$ и $C$ являются из линейного уравнения, а матрицы параметров $K$ и $R$ являются из квадратичной функции стоимости. Подробности см. здесь .

В общем случае это уравнение не может быть решено аналитически для $H t$ в терминах $t$ ; скорее, последовательность значений для $H t$ находится путем итерации уравнения Риккати. Однако было показано ^[3] , что это уравнение Риккати может быть решено аналитически, если $R = 0$ и $n = k + 1$ , путем сведения его к скалярному рациональному разностному уравнению ; более того, для любых $k$ и $n$ , если матрица перехода $A$ невырождена, то уравнение Риккати может быть решено аналитически в терминах собственных значений матрицы, хотя их может потребоваться найти численно. ^[4]

В большинстве контекстов эволюция $H$ назад во времени стабильна, что означает, что $H$ сходится к определенной фиксированной матрице $H *$ , которая может быть иррациональной, даже если все остальные матрицы рациональны. См. также Стохастическое управление § Дискретное время .

Соответствующее уравнение Риккати ^[5] имеет вид

\mathbf {X} _{t+1}=-\left[\mathbf {E} +\mathbf {B} \mathbf {X} _{t}\right]\left[\mathbf {C} +\mathbf {A} \mathbf {X} _{t}\right]^{-1}

в котором матрицы $X, A, B, C, E$ все $n \times n$ . Это уравнение можно решить явно. Предположим, что, безусловно, выполняется для $t$ $= 0$ с $N$ $0$ $=$ $X$ $0$ и с $D$ $0$ $=$ $I$ . Тогда использование этого в разностном уравнении дает $\mathbf {X} _{t}=\mathbf {N} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1},$

{\begin{aligned}\mathbf {X} _{t+1}&=-\left[\mathbf {E} +\mathbf {BN} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\right]\mathbf {D} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\left[\mathbf {C} +\mathbf {AN} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\right]^{-1}\\&=-\left[\mathbf {ED} _{t}+\mathbf {BN} _{t}\right]\left[\left[\mathbf {C} +\mathbf {AN} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\right]\mathbf {D} _{t}\right]^{-1}\\&=-\left[\mathbf {ED} _{t}+\mathbf {BN} _{t}\right]\left[\mathbf {CD} _{t}+\mathbf {AN} _{t}\right]^{-1}\\&=\mathbf {N} _{t+1}\mathbf {D} _{t+1}^{-1}\end{aligned}}

поэтому по индукции форма справедлива для всех $t$ . Тогда эволюцию $N$ и $D$ можно записать как $\mathbf {X} _{t}=\mathbf {N} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}$

{\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t+1}\\\mathbf {D} _{t+1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\mathbf {B} &-\mathbf {E} \\\mathbf {A} &\mathbf {C} \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t}\\\mathbf {D} _{t}\end{bmatrix}}\equiv \mathbf {J} {\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t}\\\mathbf {D} _{t}\end{bmatrix}}

Таким образом, по индукции

{\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t}\\\mathbf {D} _{t}\end{bmatrix}}=\mathbf {J} ^{t}{\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{0}\\\mathbf {D} _{0}\end{bmatrix}}

Смотрите также

Ссылки

^ Калл, Пол; Флэхайв, Мэри ; Робсон, Робби (2005). Разностные уравнения: от кроликов к хаосу . Springer. гл. 7. ISBN 0-387-23234-6.
^ Чианг, Альфа С. (1984). Фундаментальные методы математической экономики (3-е изд.). McGraw-Hill. стр. 608–612. ISBN 9780070107809.
^ Балверс, Рональд Дж.; Митчелл, Дуглас В. (2007). «Уменьшение размерности линейных квадратичных задач управления» (PDF) . Журнал экономической динамики и управления . 31 (1): 141–159. doi :10.1016/j.jedc.2005.09.013. S2CID 121354131.
^ Vaughan, DR (1970). «Нерекурсивное алгебраическое решение для дискретного уравнения Риккати». IEEE Transactions on Automatic Control . 15 (5): 597–599. doi :10.1109/TAC.1970.1099549.
^ Мартин, CF; Аммар, Г. (1991). «Геометрия матричного уравнения Риккати и связанный с ним метод собственных значений». В Биттани; Лауб; Виллемс (ред.). Уравнение Риккати . Спрингер-Верлаг. дои : 10.1007/978-3-642-58223-3_5. ISBN 978-3-642-63508-3.

[1] Калл, Пол; Флэхайв, Мэри ; Робсон, Робби (2005). Разностные уравнения: от кроликов к хаосу . Springer. гл. 7. ISBN 0-387-23234-6.

[2] Чианг, Альфа С. (1984). Фундаментальные методы математической экономики (3-е изд.). McGraw-Hill. стр. 608–612. ISBN 9780070107809.

[3] Балверс, Рональд Дж.; Митчелл, Дуглас В. (2007). «Уменьшение размерности линейных квадратичных задач управления» (PDF) . Журнал экономической динамики и управления . 31 (1): 141–159. doi :10.1016/j.jedc.2005.09.013. S2CID 121354131.

[4] Vaughan, DR (1970). «Нерекурсивное алгебраическое решение для дискретного уравнения Риккати». IEEE Transactions on Automatic Control . 15 (5): 597–599. doi :10.1109/TAC.1970.1099549.

[5] Мартин, CF; Аммар, Г. (1991). «Геометрия матричного уравнения Риккати и связанный с ним метод собственных значений». В Биттани; Лауб; Виллемс (ред.). Уравнение Риккати . Спрингер-Верлаг. дои : 10.1007/978-3-642-58223-3_5. ISBN 978-3-642-63508-3.