Лагранжев Грассманиан

В математике лагранжев грассманиан — это гладкое многообразие лагранжевых подпространств вещественного симплектического векторного пространства V. Его размерность равна ⁠1/2⁠ n ( n + 1) (где размерность V равна 2n ). Его можно отождествить с однородным пространством

U( n )/O( n ) ,

где U( n ) — унитарная группа , а O( n ) — ортогональная группа . Согласно Владимиру Арнольду, она обозначается как Λ( n ). Лагранжев грассманиан — это подмногообразие обычного грассманиана V .

Комплексный лагранжев грассманиан — это комплексное однородное многообразие лагранжевых подпространств комплексного симплектического векторного пространства V размерности 2 n . Его можно отождествить с однородным пространством комплексной размерности ⁠1/2⁠ н ( н + 1)

Sp( n )/U( n ) ,

где Sp( n ) — компактная симплектическая группа .

Чтобы увидеть, что лагранжев грассманиан Λ( n ) можно отождествить с U( n )/O( n ) , заметим, что является 2 n -мерным вещественным векторным пространством, причем мнимая часть его обычного скалярного произведения превращает его в симплектическое векторное пространство. Лагранжевы подпространства в тогда являются вещественными подпространствами вещественной размерности n , на которых мнимая часть скалярного произведения обращается в нуль. Примером является . Унитарная группа U( n ) действует транзитивно на множестве этих подпространств, а стабилизатором является ортогональная группа . Из теории однородных пространств следует , что Λ( n ) изоморфно U( n )/O( n ) как однородное пространство U( n ) .${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle L\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {O} (n) \ subseteq \ mathrm {U} (n)}$

Стабильная топология лагранжева грассманиана и комплексного лагранжева грассманиана полностью понята, поскольку эти пространства появляются в теореме Ботта о периодичности : , и – таким образом, они являются в точности гомотопическими группами стабильной ортогональной группы , с точностью до сдвига индексации (размерности).${\displaystyle \Omega (\mathrm {Sp} /\mathrm {U})\simeq \mathrm {U} /\mathrm {O} }$${\displaystyle \Omega (\mathrm {U} /\mathrm {O})\simeq \mathbb {Z} \times \mathrm {BO} }$

В частности, фундаментальная группа бесконечна циклична . Поэтому ее первая группа гомологий также бесконечна циклична, как и ее первая группа когомологий , с выделенным генератором, заданным квадратом определителя унитарной матрицы , как отображение на единичную окружность . Арнольд показал, что это приводит к описанию индекса Маслова , введенного В. П. Масловым .${\displaystyle U/O}$

Для лагранжева подмногообразия M пространства V на самом деле существует отображение

${\displaystyle M\to \Лямбда (n)}$

который классифицирует его касательное пространство в каждой точке (ср. отображение Гаусса ). Индекс Маслова является обратным путем через это отображение, в

${\displaystyle H^{1}(M,\mathbb {Z})}$

выдающегося генератора

${\displaystyle H^{1}(\Lambda (n),\mathbb {Z})}$.

Пути симплектоморфизмов симплектического векторного пространства можно присвоить индекс Маслова , названный в честь В. П. Маслова ; он будет целым числом, если путь является петлей, и полуцелым числом в общем случае.

Если этот путь возникает из тривиализации симплектического векторного расслоения над периодической орбитой гамильтонова векторного поля на симплектическом многообразии или векторного поля Риба на контактном многообразии , он известен как индекс Конли–Цендера. Он вычисляет спектральный поток операторов типа Коши–Римана , которые возникают в гомологиях Флоера . ^[1]

Первоначально он появился при изучении приближения ВКБ и часто появляется при изучении квантования , формул следа квантового хаоса , а также в симплектической геометрии и топологии. Его можно описать, как указано выше, в терминах индекса Маслова для линейных лагранжевых подмногообразий.

• В.И. Арнольд, Характеристический класс, входящий в условия квантования , Функциональный анализ и его приложения, 1967 , 1,1, 1-14, doi :10.1007/BF01075861.
• Маслов В. П. Теория возмущений и асимптотические методы . 1972 год
• Раницки, Эндрю, Домашняя страница индекса Маслова, архивировано из оригинала 2015-12-01 , извлечено 2009-10-23Разнообразные исходные материалы, касающиеся индекса Маслова.