Мартин мера

В дескриптивной теории множеств мера Мартина — это фильтр на множестве степеней Тьюринга множеств натуральных чисел , названный в честь Дональда А. Мартина . Согласно аксиоме определенности, можно показать, что это ультрафильтр .

Пусть будет множеством степеней Тьюринга множеств натуральных чисел. При некотором классе эквивалентности мы можем определить конус (или восходящий конус ) как множество всех степеней Тьюринга, таких что ; ^[1] то есть множество степеней Тьюринга, которые являются «по крайней мере такими же сложными», как при редукции Тьюринга . В терминах теории порядка конус является верхним множеством .${\displaystyle D}$${\displaystyle [X]\in D}$${\displaystyle [X]}$${\displaystyle [Y]}$${\displaystyle X\leq _{T}Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [X]}$${\displaystyle [X]}$

Предполагая аксиому детерминированности , лемма о конусе утверждает, что если A — множество степеней Тьюринга, то либо A включает конус, либо дополнение A содержит конус. ^[1] Она похожа на лемму Вэджа для степеней Вэджа и важна для следующего результата.

Мы говорим, что множество степеней Тьюринга имеет меру 1 по мере Мартина именно тогда , когда содержит некоторый конус. Поскольку для любого возможно построить игру, в которой у игрока I есть выигрышная стратегия именно тогда, когда содержит конус, и в которой у игрока II есть выигрышная стратегия именно тогда, когда дополнение содержит конус, аксиома определенности подразумевает, что множества меры 1 степеней Тьюринга образуют ультрафильтр.${\displaystyle А}$${\displaystyle А}$${\displaystyle А}$${\displaystyle А}$${\displaystyle А}$

Легко показать, что счетное пересечение конусов само является конусом; мера Мартина, таким образом, является счетно полным фильтром. Этот факт, в сочетании с тем фактом, что мера Мартина может быть преобразована в простым отображением, говорит нам, что является измеримым по аксиоме определенности. Этот результат показывает часть важной связи между определенностью и большими кардиналами .${\displaystyle \омега _{1}}$${\displaystyle \омега _{1}}$

• Мошовакис, Яннис Н. (2009). Описательная теория множеств. Математические обзоры и монографии. Т. 155 (2-е изд.). Американское математическое общество. стр. 338. ISBN 9780821848135.