Магнитогидродинамическая турбулентность
Турбулентность, касающаяся режимов течения магнитной жидкости при высоких числах Рейнольдса

Магнитогидродинамическая турбулентность касается хаотических режимов течения магнитной жидкости при высоком числе Рейнольдса . Магнитогидродинамика (МГД) имеет дело с квазинейтральной жидкостью с очень высокой проводимостью . Приближение жидкости подразумевает, что основное внимание уделяется макромасштабам длины и времени, которые намного больше длины и времени столкновения соответственно.

Уравнения несжимаемой МГД

Уравнения несжимаемой МГД для постоянной плотности массы имеют вид ρ = 1 {\displaystyle \ро =1}

∂ ты ∂ т + ты ⋅ ∇ ты = − ∇ п + Б ⋅ ∇ Б + ν ∇ 2 ты ∂ Б ∂ т + ты ⋅ ∇ Б = Б ⋅ ∇ ты + η ∇ 2 Б ∇ ⋅ ты = 0 ∇ ⋅ Б = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {u} {\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} &=-\nabla p+\mathbf {B} \cdot \nabla \mathbf {B} +\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} \\[5pt]{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {B} &=\mathbf {B} \cdot \nabla \ mathbf {u} +\eta \nabla ^{2}\mathbf {B} \\[5pt]\nabla \cdot \mathbf {u} &=0\\[5pt]\nabla \cdot \mathbf {B} &=0.\end{выровнено}}}

где

  • u представляет скорость,
  • B представляет магнитное поле,
  • p представляет собой полное давление (тепловое + магнитное) полей,
  • ν {\displaystyle \nu} кинематическая вязкость и
  • η {\displaystyle \эта} представляет собой магнитную диффузию .

Третье уравнение — условие несжимаемости . В приведенном выше уравнении магнитное поле выражено в единицах Альвена (таких же, как и единицы скорости).

Общее магнитное поле можно разделить на две части: (среднее значение + флуктуации). Б = Б 0 + б {\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {B_{0}} +\mathbf {b} }

Приведенные выше уравнения в терминах переменных Эльзессера ( ) имеют вид z ± = u ± b {\displaystyle \mathbf {z} ^{\pm }=\mathbf {u} \pm \mathbf {b} }

∂ z ± ∂ t ∓ ( B 0 ⋅ ∇ ) z ± + ( z ∓ ⋅ ∇ ) z ± = − ∇ p + ν + ∇ 2 z ± + ν − ∇ 2 z ∓ {\displaystyle {\frac {\partial {\mathbf {z} ^{\pm }}}{\partial t}}\mp \left(\mathbf {B} _{0}\cdot {\mathbf {\nabla } }\right){\mathbf {z} ^{\pm }}+\left({\mathbf {z} ^{\mp }}\cdot {\mathbf {\nabla } }\right){\mathbf {z} ^{\pm }}=-{\mathbf {\nabla } }p+\nu _{+}\nabla ^{2}\mathbf {z} ^{\pm }+\nu _{-}\nabla ^{2}\mathbf {z} ^{\mp }}

где . Нелинейные взаимодействия происходят между альфвеновскими флуктуациями . ν ± = 1 2 ( ν ± η ) {\displaystyle \nu _{\pm }={\frac {1}{2}}(\nu \pm \eta )} z ∓ {\displaystyle z^{\mp }}

Важными безразмерными параметрами для МГД являются

Reynolds number  R e = U L / ν Magnetic Reynolds number  R e M = U L / η Magnetic Prandtl number  P M = ν / η . {\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\text{Reynolds number }}Re&=&UL/\nu \\{\text{Magnetic Reynolds number }}Re_{M}&=&UL/\eta \\{\text{Magnetic Prandtl number }}P_{M}&=&\nu /\eta .\end{array}}}

Магнитное число Прандтля является важным свойством жидкости. Жидкие металлы имеют малые магнитные числа Прандтля, например, жидкий натрий имеет около . Но плазма имеет большие . P M {\displaystyle P_{M}} 10 − 5 {\displaystyle 10^{-5}} P M {\displaystyle P_{M}}

Число Рейнольдса — это отношение нелинейного члена уравнения Навье–Стокса к вязкому члену. В то время как магнитное число Рейнольдса — это отношение нелинейного члена к диффузионному члену уравнения индукции. u ⋅ ∇ u {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} }

Во многих практических ситуациях число Рейнольдса потока довольно велико. Для таких потоков обычно скорость и магнитные поля случайны. Такие потоки называются демонстрирующими МГД-турбулентность. Обратите внимание, что не обязательно должно быть большим для МГД-турбулентности. играет важную роль в проблеме динамо (генерации магнитного поля). R e {\displaystyle Re} R e M {\displaystyle Re_{M}} R e M {\displaystyle Re_{M}}

Среднее магнитное поле играет важную роль в МГД-турбулентности, например, оно может сделать турбулентность анизотропной; подавить турбулентность, уменьшив каскад энергии и т. д. Более ранние модели МГД-турбулентности предполагали изотропность турбулентности, в то время как более поздние модели изучали анизотропные аспекты. В последующих обсуждениях будут обобщены эти модели. Дополнительные обсуждения МГД-турбулентности можно найти в работах Бискампа, [1] Вермы. [2] и Галтье.

Изотропные модели

Ирошников [3] и Крайчнан [4] сформулировали первую феноменологическую теорию МГД-турбулентности. Они утверждали, что в присутствии сильного среднего магнитного поля и волновые пакеты движутся в противоположных направлениях с фазовой скоростью и слабо взаимодействуют. Соответствующий масштаб времени — время Альвена . В результате энергетический спектр равен z + {\displaystyle z^{+}} z − {\displaystyle z^{-}} B 0 {\displaystyle B_{0}} ( B 0 k ) − 1 {\displaystyle (B_{0}k)^{-1}}

E u ( k ) ≈ E b ( k ) ≈ A ( Π V A ) 1 / 2 k − 3 / 2 . {\displaystyle E^{u}(k)\approx E^{b}(k)\approx A(\Pi V_{A})^{1/2}k^{-3/2}.}

где - скорость каскада энергии. Π {\displaystyle \Pi }

Позднее Добровольный и др. [5] вывели следующие обобщенные формулы для каскадных скоростей переменных: z ± {\displaystyle z^{\pm }}

Π + ≈ Π − ≈ τ k ± E + ( k ) E − ( k ) k 4 ≈ E + ( k ) E − ( k ) k 3 / B 0 {\displaystyle \Pi ^{+}\approx \Pi ^{-}\approx \tau _{k}^{\pm }E^{+}(k)E^{-}(k)k^{4}\approx E^{+}(k)E^{-}(k)k^{3}/B_{0}}

где — временные шкалы взаимодействия переменных. τ ± {\displaystyle \tau ^{\pm }} z ± {\displaystyle z^{\pm }}

Феноменология Ирошникова и Крайчнана следует, как только мы выбираем . τ ± ≈ 1 / ( k V A ) {\displaystyle \tau ^{\pm }\approx 1/(kV_{A})}

Марш [6] выбрал нелинейную шкалу времени в качестве шкалы времени взаимодействия вихрей и вывел энергетический спектр, подобный спектру Колмогорова, для переменных Эльзассера: T N L ± ≈ ( k z k ∓ ) − 1 {\displaystyle T_{NL}^{\pm }\approx (kz_{k}^{\mp })^{-1}}

E ± ( k ) = K ± ( Π ± ) 4 / 3 ( Π ∓ ) − 2 / 3 k − 5 / 3 {\displaystyle E^{\pm }(k)=K^{\pm }(\Pi ^{\pm })^{4/3}(\Pi ^{\mp })^{-2/3}k^{-5/3}}

где и — скорости каскада энергии и соответственно, а — константы. Π + {\displaystyle \Pi ^{+}} Π − {\displaystyle \Pi ^{-}} z + {\displaystyle z^{+}} z − {\displaystyle z^{-}} K ± {\displaystyle K^{\pm }}

Маттеус и Чжоу [7] попытались объединить две вышеуказанные шкалы времени, постулируя, что время взаимодействия является гармоническим средним альфвеновского времени и нелинейного времени.

Главное различие между двумя конкурирующими феноменологиями (−3/2 и −5/3) заключается в выбранных временных масштабах для времени взаимодействия. Основное базовое предположение заключается в том, что феноменология Ирошникова и Крайчнана должна работать для сильного среднего магнитного поля, тогда как феноменология Марша должна работать, когда флуктуации доминируют над средним магнитным полем (сильная турбулентность).

Однако, как мы обсудим ниже, наблюдения солнечного ветра и численное моделирование имеют тенденцию отдавать предпочтение энергетическому спектру −5/3, даже когда среднее магнитное поле сильнее по сравнению с флуктуациями. Эта проблема была решена Вермой [8] с помощью анализа ренормгруппы , показав, что альвеновские флуктуации подвержены влиянию зависящего от масштаба «локального среднего магнитного поля». Локальное среднее магнитное поле масштабируется как , подстановка которого в уравнение Добровольного дает энергетический спектр Колмогорова для МГД-турбулентности. k − 1 / 3 {\displaystyle k^{-1/3}}

Анализ ренормгруппы также был выполнен для вычисления перенормированной вязкости и сопротивления. Было показано, что эти диффузионные величины масштабируются, что снова дает энергетические спектры, соответствующие модели Колмогорова для МГД-турбулентности. Вышеуказанный расчет ренормгруппы был выполнен как для нулевой, так и для ненулевой перекрестной спиральности. k − 4 / 3 {\displaystyle k^{-4/3}} k − 5 / 3 {\displaystyle k^{-5/3}}

Вышеуказанные феноменологии предполагают изотропную турбулентность, которая не имеет места в присутствии среднего магнитного поля. Среднее магнитное поле обычно подавляет энергетический каскад вдоль направления среднего магнитного поля. [9]

Анизотропные модели

Среднее магнитное поле делает турбулентность анизотропной. Этот аспект изучался в последние два десятилетия. В пределе , Галтье и др. [10] показали, используя кинетические уравнения, что δ z ± ≪ B 0 {\displaystyle \delta z^{\pm }\ll B_{0}}

E ( k ) ∼ ( Π B 0 ) 1 / 2 k ∥ 1 / 2 k ⊥ − 2 {\displaystyle E(k)\sim (\Pi B_{0})^{1/2}k_{\parallel }^{1/2}k_{\perp }^{-2}}

где и — компоненты волнового числа, параллельные и перпендикулярные среднему магнитному полю. Вышеуказанный предел называется пределом слабой турбулентности . k ∥ {\displaystyle k_{\parallel }} k ⊥ {\displaystyle k_{\perp }}

В пределе сильной турбулентности Голдерих и Шридхар [11] утверждают, что («критическое сбалансированное состояние») подразумевает, что δ z ± ∼ B 0 {\displaystyle \delta z^{\pm }\sim B_{0}} k ⊥ z k ⊥ ∼ k ∥ B 0 {\displaystyle k_{\perp }z_{k_{\perp }}\sim k_{\parallel }B_{0}}

E ( k ) ∝ k ⊥ − 5 / 3 ; k ∥ ∝ k ⊥ 2 / 3 {\displaystyle {\begin{aligned}E(k)&\propto k_{\perp }^{-5/3};\\[5pt]k_{\parallel }&\propto k_{\perp }^{2/3}\end{aligned}}}

Вышеуказанная феноменология анизотропной турбулентности была расширена для МГД с большой перекрестной спиральностью.

Наблюдения за солнечным ветром

Плазма солнечного ветра находится в турбулентном состоянии. Исследователи вычислили энергетические спектры плазмы солнечного ветра на основе данных, полученных с космического корабля. Спектры кинетической и магнитной энергии, а также ближе к по сравнению с , что благоприятствует феноменологии, подобной Колмогорову, для МГД-турбулентности. [12] [13] Флуктуации межпланетной и межзвездной электронной плотности также предоставляют окно для исследования МГД-турбулентности. E ± {\displaystyle E^{\pm }} k − 5 / 3 {\displaystyle k^{-5/3}} k − 3 / 2 {\displaystyle k^{-3/2}}

Численное моделирование

Теоретические модели, обсуждаемые выше, проверяются с использованием прямого численного моделирования высокого разрешения (DNS). В ряде недавних симуляций спектральные индексы сообщаются ближе к 5/3. [14] Есть и другие, которые сообщают о спектральных индексах около 3/2. Режим степенного закона обычно составляет менее десятилетия. Поскольку 5/3 и 3/2 довольно близки численно, довольно сложно установить достоверность моделей МГД-турбулентности из энергетических спектров.

Потоки энергии могут быть более надежными величинами для проверки моделей турбулентности МГД. Когда (жидкость с высокой перекрестной спиральностью или несбалансированная МГД) прогнозы потоков энергии модели Крайчнана и Ирошникова сильно отличаются от прогнозов модели типа Колмогорова. С помощью DNS было показано, что потоки, вычисленные с помощью численного моделирования, лучше согласуются с моделью типа Колмогорова по сравнению с моделью Крайчнана и Ирошникова. [15] Π ± {\displaystyle \Pi ^{\pm }} E + ( k ) ≫ E − ( k ) {\displaystyle E^{+}(k)\gg E^{-}(k)} Π ± {\displaystyle \Pi ^{\pm }}

Анизотропные аспекты МГД-турбулентности также изучались с использованием численного моделирования. Предсказания Голдрайха и Шридхара [11] ( ) были проверены во многих моделированиях. k | | ∼ k ⊥ 2 / 3 {\displaystyle k_{||}\sim k_{\perp }^{2/3}}

Передача энергии

Передача энергии между различными масштабами между скоростью и магнитным полем является важной проблемой в МГД-турбулентности. Эти величины были рассчитаны как теоретически, так и численно. [2] Эти расчеты показывают значительную передачу энергии из крупномасштабного поля скорости в крупномасштабное магнитное поле. Кроме того, каскад магнитной энергии обычно направлен вперед. Эти результаты имеют решающее значение для проблемы динамо.

В этой области существует множество нерешенных проблем, которые, как мы надеемся, будут решены в ближайшем будущем с помощью численного моделирования, теоретического моделирования, экспериментов и наблюдений (например, солнечного ветра).

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Д. Бискамп (2003), Магнитогидродинамическая турбулентность, (Издательство Кембриджского университета, Кембридж.)
  2. ^ ab Verma, Mahendra K. (2004). "Статистическая теория магнитогидродинамической турбулентности: последние результаты". Physics Reports . 401 ( 5– 6): 229– 380. arXiv : nlin/0404043 . Bibcode :2004PhR...401..229V. doi :10.1016/j.physrep.2004.07.007. ISSN  0370-1573. S2CID  119352240.
  3. ^ П.С. Ирошников (1964), Турбулентность проводящей жидкости в сильном магнитном поле, Советская астрономия, 7, 566.
  4. ^ Kraichnan, Robert H. (1965). "Спектр гидромагнитной турбулентности в инерционном диапазоне". Physics of Fluids . 8 (7). AIP Publishing: 1385. Bibcode : 1965PhFl....8.1385K. doi : 10.1063/1.1761412. ISSN  0031-9171.
  5. ^ Dobrowolny, M.; Mangeney, A.; Veltri, P. (1980-07-14). «Полностью развитая анизотропная гидромагнитная турбулентность в межпланетном пространстве». Physical Review Letters . 45 (2). Американское физическое общество (APS): 144– 147. Bibcode : 1980PhRvL..45..144D. doi : 10.1103/physrevlett.45.144. ISSN  0031-9007.
  6. ^ Э. Марш (1990), Турбулентность солнечного ветра, в: Г. Клар (ред.), Обзоры современной астрономии, Springer, Берлин, стр. 43.
  7. ^ Маттеус, Уильям Х.; Чжоу, Йе (1989). «Расширенная инерционная феноменология магнитогидродинамической турбулентности». Физика жидкостей B: Физика плазмы . 1 (9). Издательство AIP: 1929–1931 . Bibcode : 1989PhFlB...1.1929M. doi : 10.1063/1.859110. ISSN  0899-8221.
  8. ^ Верма, Махендра К. (1999). «Перенормировка среднего магнитного поля и энергетический спектр Колмогорова в магнитогидродинамической турбулентности». Физика плазмы . 6 (5). AIP Publishing: 1455–1460 . arXiv : chao-dyn/9803021 . Bibcode :1999PhPl....6.1455V. doi :10.1063/1.873397. ISSN  1070-664X. S2CID  2218981.
  9. ^ Шебалин, Джон В.; Маттеус, Уильям Х.; Монтгомери, Дэвид (1983). «Анизотропия в МГД-турбулентности из-за среднего магнитного поля». Журнал физики плазмы . 29 (3). Издательство Кембриджского университета (CUP): 525– 547. Bibcode : 1983JPlPh..29..525S. doi : 10.1017/s0022377800000933. hdl : 2060/19830004728 . ISSN  0022-3778. S2CID  122509800.
  10. ^ Галтье, С.; Назаренко, С.В.; Ньюэлл, А.С.; Пуке, А. (2000). "Теория слабой турбулентности для несжимаемой магнитогидродинамики" (PDF) . Журнал физики плазмы . 63 (5). Издательство Кембриджского университета (CUP): 447–488 . arXiv : astro-ph/0008148 . Bibcode : 2000JPlPh..63..447G. doi :10.1017/s0022377899008284. ISSN  0022-3778. S2CID  15528846.
  11. ^ ab Goldreich, P.; Sridhar, S. (1995). "К теории межзвездной турбулентности. 2: Сильная альфвеновская турбулентность" (PDF) . The Astrophysical Journal . 438 . IOP Publishing: 763. Bibcode :1995ApJ...438..763G. doi :10.1086/175121. ISSN  0004-637X.
  12. ^ Маттеус, Уильям Х.; Голдштейн, Мелвин Л. (1982). «Измерение грубых инвариантов магнитогидродинамической турбулентности в солнечном ветре». Журнал геофизических исследований . 87 (A8). Американский геофизический союз (AGU): 6011. Bibcode : 1982JGR....87.6011M. doi : 10.1029/ja087ia08p06011. hdl : 11603/30515 . ISSN  0148-0227.
  13. ^ DA Roberts, ML Goldstein (1991), Турбулентность и волны в солнечном ветре, Rev. Geophys., 29, 932.
  14. ^ Мюллер, Вольф-Кристиан; Бискамп, Дитер (2000-01-17). «Масштабные свойства трехмерной магнитогидродинамической турбулентности». Physical Review Letters . 84 (3). Американское физическое общество (APS): 475– 478. arXiv : physics/9906003 . Bibcode : 2000PhRvL..84..475M. doi : 10.1103/physrevlett.84.475. ISSN  0031-9007. PMID  11015942. S2CID  43131956.
  15. ^ Verma, MK; Roberts, DA; Goldstein, ML; Ghosh, S.; Stribling, WT (1996-10-01). "Численное исследование нелинейного каскада энергии в магнитогидродинамической турбулентности". Journal of Geophysical Research: Space Physics . 101 (A10). Американский геофизический союз (AGU): 21619– 21625. Bibcode : 1996JGR...10121619V. doi : 10.1029/96ja01773. hdl : 11603/30574 . ISSN  0148-0227.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Magnetohydrodynamic_turbulence&oldid=1254587136"