Топология нижнего предела

В математике топология нижнего предела или топология правого полуоткрытого интервала — это топология , определённая на множестве действительных чисел ; она отличается от стандартной топологии на (порождённой открытыми интервалами ) и имеет ряд интересных свойств. Это топология, порожденная базисом всех полуоткрытых интервалов [ a , b ), где a и b — действительные числа.${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Полученное топологическое пространство называется линией Зоргенфрея в честь Роберта Зоргенфрея или стрелкой и иногда обозначается . Подобно множеству Кантора и длинной линии , линия Зоргенфрея часто служит полезным контрпримером ко многим в остальном правдоподобно звучащим гипотезам в общей топологии . Произведение с самим собой также является полезным контрпримером, известным как плоскость Зоргенфрея .${\displaystyle \mathbb {R} _{л}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{л}}$

По полной аналогии можно также определить топологию верхнего предела , или топологию левого полуоткрытого интервала .

• Топология нижнего предела тоньше (имеет больше открытых множеств), чем стандартная топология на действительных числах (которая генерируется открытыми интервалами). Причина в том, что каждый открытый интервал может быть записан как (счетно бесконечное) объединение полуоткрытых интервалов.
• Для любого вещественного и интервал является открыто-замкнутым в (т.е. одновременно открытым и замкнутым ). Более того, для всех вещественных множеств и также являются открыто-замкнутыми. Это показывает, что линия Зоргенфрея полностью несвязна .${\displaystyle а}$${\displaystyle б}$${\displaystyle [а,б)}$${\displaystyle \mathbb {R} _{л}}$${\displaystyle а}$${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x<a\}}$${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x\geq a\}}$
• Любое компактное подмножество должно быть не более чем счетным множеством . Чтобы увидеть это, рассмотрим непустое компактное подмножество . Зафиксируем , рассмотрим следующее открытое покрытие :${\displaystyle \mathbb {R} _{л}}$${\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} _{l}}$${\displaystyle x\in C}$${\displaystyle С}$

${\displaystyle {\bigl \{}[x,+\infty ){\bigr \}}\cup {\Bigl \{}{\bigl (}-\infty ,x-{\tfrac {1}{n}}{\bigr )}\,{\Big |}\,n\in \mathbb {N} {\Bigr \}}.}$

Так как компактно, то это покрытие имеет конечное подпокрытие, и, следовательно, существует действительное число такое, что интервал не содержит точек, кроме . Это верно для всех . Теперь выберем рациональное число . Так как интервалы , параметризованные , попарно не пересекаются, функция инъективна и, следовательно, не более чем счетна.${\displaystyle С}$${\displaystyle а(х)}$${\displaystyle (a(x),x]}$${\displaystyle С}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\in C}$${\displaystyle q(x)\in (a(x),x]\cap \mathbb {Q} }$${\displaystyle (a(x),x]}$${\displaystyle x\in C}$${\displaystyle q:C\to \mathbb {Q} }$${\displaystyle С}$

• Название «топология нижнего предела» происходит от следующего факта: последовательность (или сеть ) в сходится к пределу тогда и только тогда, когда она «приближается справа», то есть для каждого существует индекс такой, что . Таким образом, линия Зоргенфрея может быть использована для изучения правосторонних пределов : если — функция , то обычный правосторонний предел при (когда область значений имеет стандартную топологию) совпадает с обычным пределом при , когда область значений снабжена топологией нижнего предела, а область значений имеет стандартную топологию.${\displaystyle (x_{\альфа})}$${\displaystyle \mathbb {R} _{л}}$${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \альфа _{0}}$${\displaystyle \forall \alpha \geq \alpha _{0}:L\leq x_{\alpha }<L+\epsilon }$${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$
• С точки зрения аксиом разделимости , является совершенно нормальным хаусдорфовым пространством .${\displaystyle \mathbb {R} _{л}}$
• С точки зрения аксиом счетности , является счетным по первой степени и отделимым , но не счетным по второй степени .${\displaystyle \mathbb {R} _{л}}$
• С точки зрения свойств компактности является линделёфовым и паракомпактным , но не σ-компактным и не локально компактным .${\displaystyle \mathbb {R} _{л}}$
• ${\displaystyle \mathbb {R} _{л}}$не метризуемо , поскольку сепарабельные метрические пространства являются вторично счетными. Однако топология линии Зоргенфрея порождается квазиметрикой .
• ${\displaystyle \mathbb {R} _{л}}$является пространством Бэра . ^[1]
• ${\displaystyle \mathbb {R} _{л}}$не имеет никаких связанных компактификаций. ^[2]

• Список топологий

• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур-младший (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( переиздание Дувра 1978 г.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, МР  0507446