Логарифмическая система счисления

Логарифмическая система счисления ( ЛСС ) — это арифметическая система, используемая для представления действительных чисел в компьютерах и цифровом оборудовании , особенно для цифровой обработки сигналов .

Обзор

Число, , представлено в LNS двумя компонентами: логарифмом ( ) его абсолютного значения (как двоичное слово, обычно в дополнительном коде ) и его знаковым битом ( ): Х {\displaystyle X} х {\displaystyle x} с {\displaystyle с}

Х → { х = бревно б ⁡ | Х | , с = { 0  если  Х > 0 , 1  если  Х < 0. {\displaystyle X\rightarrow {\begin{cases}x=\log _{b}{\big |}X{\big |},\\s={\begin{cases}0{\text{ если }}X>0,\\1{\text{ если }}X<0.\end{cases}}\end{cases}}}

LNS можно рассматривать как число с плавающей точкой , у которого мантисса всегда равна 1, а показатель степени нецелый . Такая формулировка упрощает операции умножения, деления, возведения в степень и извлечения корней, поскольку они сводятся к сложению, вычитанию, умножению и делению соответственно.

С другой стороны, операции сложения и вычитания более сложны и вычисляются по формулам

бревно б ⁡ ( | Х | + | И | ) = х + с б ( у − х ) , {\displaystyle \log _{b}{\big (}|X|+|Y|{\big )}=x+s_{b}(yx),}
бревно б ⁡ | | Х | − | И | | = х + г б ( у − х ) , {\displaystyle \log _{b}{\big |}|X|-|Y|{\big |}=x+d_{b}(yx),}

где функция «сумма» определяется как , а функция «разность» как . Эти функции и также известны как гауссовские логарифмы . с б ( з ) = бревно б ⁡ ( 1 + б з ) {\displaystyle s_{b}(z)=\log _{b}(1+b^{z})} г б ( з ) = бревно б ⁡ | 1 − б з | {\displaystyle d_{b}(z)=\log _{b}|1-b^{z}|} с б ( з ) {\displaystyle s_{b}(z)} г б ( з ) {\displaystyle d_{b}(z)}

Упрощение умножения, деления, корней и степеней уравновешивается стоимостью оценки этих функций для сложения и вычитания. Эта дополнительная стоимость оценки может не быть критической при использовании LNS в первую очередь для повышения точности математических операций с плавающей точкой.

История

Логарифмические системы счисления были независимо изобретены и опубликованы по крайней мере трижды в качестве альтернативы системам с фиксированной и плавающей точкой . [1]

Николас Кингсбери и Питер Рейнер ввели «логарифмическую арифметику» для цифровой обработки сигналов (ЦОС) в 1971 году. [2]

Похожая система LNS, названная «знаковой логарифмической системой счисления» (SLNS), была описана в 1975 году Эрлом Шварцлендером и Аристидесом Алексопулосом ; вместо того, чтобы использовать для логарифмов дополнительный код, они смещают их (масштабируют представляемые числа), чтобы избежать отрицательных логарифмов. [3]

Сэмюэл Ли и Альберт Эдгар в 1977 году описали похожую систему, которую они назвали числовой системой «Фокус». [4] [1] [5] [6]

Математические основы сложения и вычитания в LNS восходят к работам Дзеккини Леонелли и Карла Фридриха Гаусса начала 1800-х годов. [7] [8] [9] [10] [11]

Приложения

В конце 1800-х годов испанский инженер Леонардо Торрес Кеведо задумал серию аналоговых вычислительных механических машин [12] [13] и разработал одну, которая могла решать алгебраические уравнения с восемью членами, находя корни, в том числе и комплексные. Одна часть этой машины, называемая «бесконечным шпинделем», позволяла механически выразить соотношение , [14] с целью извлечения логарифма суммы как суммы логарифмов. у = бревно ⁡ ( 1 + 10 х ) {\displaystyle y=\log(1+10^{x})}

LNS использовался в специализированном суперкомпьютере Gravity Pipe ( GRAPE-5 ) [15] , который получил премию Гордона Белла в 1999 году.

Значительные усилия по исследованию применимости LNS в качестве жизнеспособной альтернативы плавающей точке для универсальной обработки действительных чисел одинарной точности описаны в контексте Европейского логарифмического микропроцессора (ELM). [16] [17] Изготовленный прототип процессора, который имеет 32-битное копреобразование на основе арифметико-логического устройства (АЛУ) LNS, продемонстрировал LNS как «более точную альтернативу плавающей точке» с улучшенной скоростью. Дальнейшее улучшение конструкции LNS на основе архитектуры ELM показало его способность предлагать значительно более высокую скорость и точность, чем плавающая точка. [18]

LNS иногда используются в приложениях на базе FPGA , где большинство арифметических операций — это умножение или деление. [19]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ ab Lee, Samuel C.; Edgar, Albert D. (сентябрь 1979 г.). "Дополнение к "Системе чисел фокуса"". Труды IEEE по компьютерам . C-28 (9). IEEE : 693. doi : 10.1109/TC.1979.1675442. ISSN  0018-9340.(Примечание. Имя Николаса Кингсбери в этой цитате написано неправильно.)
  2. ^ Кингсбери, Николас Г.; Рейнер, Питер Дж. В. (1971-01-28). «Цифровая фильтрация с использованием логарифмической арифметики». Electronics Letters . 7 (2). Институт инженерии и технологий (IET): 56– 58. doi :10.1049/el:19710039. ISSN  0013-5194.Также перепечатано в: Swartzlander, Jr., Earl E., ed. (1990). Computer Arithmetic . Vol. I. Los Alamitos, CA, USA: IEEE Computer Society Press .
  3. ^ Шварцлендер, младший, Эрл Э.; Алексопулос, Аристидес Георгиу (декабрь 1975 г.). «Система знаковых/логарифмических чисел». Труды IEEE по компьютерам . C-24 (12). IEEE : 1238– 1242. doi :10.1109/TC.1975.224172. ISSN  0018-9340.Также перепечатано в: Swartzlander, Jr., Earl E., ed. (1990). Computer Arithmetic . Vol. I. Los Alamitos, CA, USA: IEEE Computer Society Press .
  4. ^ Ли, Сэмюэл С.; Эдгар, Альберт Д. (ноябрь 1977 г.). «Система чисел Focus». Труды IEEE по компьютерам . C-26 (11). IEEE : 1167– 1170. doi :10.1109/TC.1977.1674770. ISSN  0018-9340.
  5. ^ Ли, Сэмюэл С.; Эдгар, Альберт Д. (1977). "Глава I.1.: Проектирование микрокомпьютеров – Focus Microcomputer Number System". В Lee, Сэмюэл С. (ред.). Проектирование и применение микрокомпьютеров . Academic Press, Inc. стр.  1– 40. doi :10.1016/B978-0-12-442350-3.50005-5. ISBN 0-12-442350-7.[1]
  6. ^ Эдгар, Альберт Д.; Ли, Сэмюэл К. (март 1979 г.). «Система микрокомпьютеров FOCUS». Сообщения ACM . 22 (3). ACM Press : 166–177 . doi : 10.1145/359080.359085 .
  7. ^ Леонелли, Зеккини (1803) [1802]. Дополнение к логарифмике. Теория сложений и дидуктивов логарифмов (на французском языке). Бордо: Броссье.(Примечание. 1802/1803 — это XI год по французскому республиканскому календарю .)
  8. ^ Леонарди, Готфрид Вильгельм (1806). LEONELLIs logarithmische Supplemente, als ein Beitrag, Mängel der gewöhnlichen Logarithmentafeln zu ersetzen. Aus dem Französischen nebst einigen Zusätzen von GOTTFRIED WILHELM LEONHARDI, младший лейтенант beim kurfürstlichen sächsischen Feldartilleriecorps (на немецком языке). Дрезден: Walther'sche Hofbuchhandlung.(Примечание. Расширенный перевод « Supplement logarithmique. Théorie des logarithmes addels et diductifs» Зеккини Леонелли .)
  9. ^ Гаус, Иоганн Карл Фридрих (12 февраля 1808 г.). «ЛЕОНЕЛЛИ, Приложение к логарифму». Allgemeine Literaturzeitung (на немецком языке) (45). Галле-Лейпциг: 353–356 .
  10. ^ «Логарифм: сложение и вычитание, или гауссовы логарифмы». Энциклопедия Британника, одиннадцатое издание .
  11. ^ Даннингтон, Гай Уолдо (2004) [1955]. Грей, Джереми; Дозе, Фриц-Эгберт (ред.). Карл Фридрих Гаусс – титан науки. Серия Spectrum (пересмотренное издание). Математическая ассоциация Америки (MAA). ISBN 978-0-88385-547-8.
  12. ^ Хорсбург, Эллис Мартин (1914). «Инструментальное решение численных уравнений Д. Гибба, МА». Написано на выставке в честь трехсотлетия Нейпира. Современные приборы и методы расчета: справочник выставки в честь трехсотлетия Нейпира . Герштейн – Университет Торонто. Лондон, Великобритания: G. Bell. стр. 263.
  13. ^ Мехмке, Рудольф [на немецком языке] (1908). «И23». Энциклопедия чистых и прикладных математических наук . Париж, Франция: Готье-Виллар. п. 351.
  14. ^ Ф. Томас. Краткий отчет о бесконечном веретене Леонардо Торреса , Теория механизмов и машин, т. 43, № 8, стр. 1055-1063, 2008.
  15. ^ Макино, Дзюнъитиро; Тайдзи, Макото (1998). Научное моделирование с использованием компьютеров специального назначения: системы GRAPE. John Wiley & Sons . Bibcode : 1998sssc.book.....M. ISBN 978-0-471-96946-4.
  16. ^ Коулмен, Джон Николас; Софтли, Кристофер И.; Кадлец, Иржи; Матоусек, Рудольф; Личко, Мирослав; Поль, Зденек; Херманек, Антонин (2002-08-07) [2001-11-04]. "Европейский логарифмический микропроцессор – приложение QR RLS". Протокол конференции Тридцать пятой Асиломарской конференции по сигналам, системам и компьютерам (Cat.No.01CH37256) . Том 1. Монтерей, Калифорния, США: IEEE . С.  155–159 . doi :10.1109/ACSSC.2001.986897. ISBN 0-7803-7147-X. ISSN  1058-6393.
  17. ^ Коулмен, Джон Николас; Софтли, Кристофер И.; Кадлец, Иржи; Матоусек, Рудольф; Тихи, Милан; Поль, Зденек; Херманек, Антонин; Беншоп, Нико Ф. (апрель 2008 г.) [2008-02-26]. «Европейский логарифмический микропроцессор». IEEE Transactions on Computers . 57 (4). IEEE : 532– 546. doi :10.1109/TC.2007.70791. ISSN  0018-9340.
  18. ^ Исмаил, Р. Че; Коулман, Джон Николас (2011-08-18) [2011-07-25]. "ROM-less LNS". 20-й симпозиум IEEE по компьютерной арифметике 2011 г. IEEE . стр.  43–51 . doi :10.1109/ARITH.2011.15. ISBN 978-1-4244-9457-6. ISSN  1063-6889.
  19. ^ Фу, Хаохуань; Менсер, Оскар; Лук, Уэйн (2007-01-02) [2006-12-13]. "Сравнение представлений чисел с плавающей точкой и логарифмических чисел для реконфигурируемого ускорения". Международная конференция IEEE по программируемым полям технологиям 2006 года . IEEE . стр.  337–340 . doi :10.1109/FPT.2006.270342. ISBN 978-0-7803-9728-6.

Дальнейшее чтение

  • Muller, Jean-Michel; Scherbyna, Alexandre; Tisserand, Arnaud (февраль 1998 г.). "Semi-Logarithmic Number Systems" (PDF) . IEEE Transactions on Computers . 47 (2): 145– 151. doi :10.1109/12.663760. ISSN  0018-9340. Архивировано (PDF) из оригинала 2018-07-13 . Получено 2018-07-11 .Ранее опубликовано в: Muller, Jean-Michel; Scherbyna, Alexandre; Tisserand, Arnaud (июль 1995 г.). "Полулогарифмические системы счисления". Труды 12-го симпозиума IEEE по компьютерной арифметике ( ARITH 12 ) . Бат, Великобритания.
  • Kahrs, Mark; Brandenburg, Karlheinz, ред. (2002) [1998]. Применение цифровой обработки сигналов в аудио и акустике (PDF) . Kluwer Academic Publishing . ISBN 0-7923-8130-0. Архивировано (PDF) из оригинала 2018-07-07 . Получено 2018-07-07 .(Примечание. Описывает 13-битный LNS, использовавшийся в музыкальных синтезаторах Yamaha в 1980-х годах.)
  • Кремер, Герман (29 августа 2002 г.). «Гауссовские дополнения к логарифмам Feiern 200. Geburtstag». de.sci.mathematik (на немецком языке). Архивировано из оригинала 7 июля 2018 г. Проверено 7 июля 2018 г.
  • Цехенднер, Эберхард (лето 2008 г.). «Rechnerarithmetik: Logarithmische Zahlensysteme» (PDF) (сценарий лекции) (на немецком языке). Йенский университет имени Фридриха Шиллера . Архивировано (PDF) из оригинала 9 июля 2018 г. Проверено 9 июля 2018 г.[2]
  • Хейс, Брайан (сентябрь–октябрь 2009 г.). «Высшая арифметика». American Scientist . 97 (5): 364– 368. doi :10.1511/2009.80.364. Архивировано из оригинала 2018-07-09 . Получено 2018-07-09 .[3]. Также перепечатано в: Hayes, Brian (2017). "Глава 8: Высшая арифметика". Foolproof, and Other Mathematical Meditations (1-е изд.). The MIT Press . стр.  113–126 . ISBN 978-0-26203686-3. ISBN 0-26203686-X . 
  • Амир Саббах, Молахоссейни; де Соуза, Леонель Сибра; Чип-Хонг Чанг, ред. (2017-03-21). Проектирование встраиваемых систем со специальной арифметикой и числовыми системами (1-е изд.). Springer International Publishing AG . doi :10.1007/978-3-319-49742-6. ISBN 978-3-319-49741-9. LCCN  2017934074.(389 страниц)
  • Сайт, на котором перечислены статьи LNS
  • esprit – Европейский логарифмический микропроцессор (ранее проект «Высокоскоростная логарифмическая арифметика» (HSLA))
  • Библиотека VHDL для генерации оборудования LNS
  • Краткий отчет о «Бесконечном веретене» Леонардо Торреса
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Логарифмическая_числовая_система&oldid=1263876392"