Кольцо Лоуи

В математике левое (правое) кольцо Лёви или левое (правое) полуартиново кольцо — это кольцо , в котором каждый ненулевой левый (правый) модуль имеет ненулевой цоколь , или, что эквивалентно, если определена длина Лёви каждого левого (правого) модуля. Понятия названы в честь Альфреда Лёви .

Длина и ряд Лоуи были введены Эмилем Артином , Сесилом Дж. Несбиттом и Робертом М. Траллом  (1944).

Если M — модуль, то определим ряд Лёви M _α для ординалов α следующим образом: M ₀  = 0, M _α+1 / M _α  = socle( M / M _α ), и M _α  = ∪ _λ<α  M _{λ ,} если α — предельный ординал . Длина Лёви M определяется как наименьшее α с M  =  M _α , если оно существует.

${\displaystyle {}_{Р}М}$является полуартиновым модулем , если для всех эпиморфизмов , где , цоколь существенен в${\displaystyle M\rightarrow N}$${\displaystyle N\neq 0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle Н.}$

Обратите внимание, что если — артинов модуль , то — полуартинов модуль. Очевидно, что 0 — полуартинов.${\displaystyle {}_{Р}М}$${\displaystyle {}_{Р}М}$

Если является точным , то и являются полуартиновыми тогда и только тогда, когда является полуартиновыми.${\displaystyle 0\rightarrow M'\rightarrow M\rightarrow M''\rightarrow 0}$${\displaystyle М'}$${\displaystyle М''}$${\displaystyle М}$

Если - семейство -модулей , то является полуартиновым тогда и только тогда, когда является полуартиновым для всех${\displaystyle \{M_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \oplus _{i\in I}M_{i}}$${\displaystyle M_{j}}$${\displaystyle j\in I.}$

${\displaystyle R}$называется левым полуартиновым, если является полуартиновым, то есть является левым полуартиновым, если для любого левого идеала содержит простой подмодуль .${\displaystyle _{R}R}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle Я}$${\displaystyle Р/И}$

Обратите внимание, что левое полуартинирование не означает, что оно левое артинирование.${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

• Assem, Ibrahim; Simson, Daniel; Skowroński, Andrzej (2006), Элементы теории представлений ассоциативных алгебр. Том 1: Методы теории представлений , London Mathematical Society Student Texts, том 65, Кембридж: Cambridge University Press , ISBN 0-521-58631-3, ЗБЛ  1092.16001
• Артин, Эмиль ; Несбитт, Сесил Дж.; Тралл, Роберт М. (1944), Кольца с минимальным условием, Публикации Мичиганского университета по математике, т. 1, Энн-Арбор, Мичиган: Издательство Мичиганского университета, MR  0010543, Zbl  0060.07701
• Настасеску, Константин; Попеску, Николае (1968), «Anneaux semi-artiniens», Bulletin de la Société Mathématique de France , 96 : 357–368, ISSN  0037-9484, MR  0238887, Zbl  0227.16014
• Настасеску, Константин; Попеску, Николае (1966), «Сюр-ла-структура предметов определенных категорий животных», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A , 262 , GAUTHIER-VILLARS/EDITIONS ELSEVIER 23 RUE LINOIS, 75015 ПАРИЖ, ФРАНЦИЯ: A1295– А1297