Локальная жесткость
Класс алгебраических теорем

Теоремы локальной жесткости в теории дискретных подгрупп групп Ли — это результаты, которые показывают, что малые деформации некоторых таких подгрупп всегда тривиальны. Это отличается от жесткости Мостова и слабее (но имеет место чаще), чем сверхжесткость .

История

Первая такая теорема была доказана Атле Сельбергом для кокомпактных дискретных подгрупп унимодулярных групп . [1] Вскоре после этого аналогичное утверждение было доказано Эудженио Калаби в случае фундаментальных групп компактных гиперболических многообразий. Наконец, теорема была распространена на все кокомпактные подгруппы полупростых групп Ли Андре Вейлем . [2] [3] Позднее Говард Гарланд и Мадабуси Сантанам Рагхунатхан сделали ее распространение на некокомпактные решетки . [4] Результат теперь иногда называют жесткостью Калаби—Вейля (или просто Вейля). С Л н ( Р ) {\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {n} (\ mathbb {R})}

Заявление

Деформации подгрупп

Пусть — группа, порожденная конечным числом элементов и группой Ли. Тогда отображение, определенное с помощью , инъективно, и это наделяет топологией, индуцированной топологией . Если — подгруппа , то деформация — любой элемент из . Два представления называются сопряженными, если существует такое, что для всех . См. также многообразие характеров . Г {\displaystyle \Гамма} г 1 , … , г н {\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n}} Г {\displaystyle G} ЧАС о м ( Г , Г ) → Г н {\displaystyle \mathrm {Hom} (\Gamma,G)\to G^{n}} ρ ↦ ( ρ ( г 1 ) , … , ρ ( г н ) ) {\displaystyle \rho \mapsto (\rho (g_{1}),\ldots ,\rho (g_{n}))} ЧАС о м ( Г , Г ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (\Gamma,G)} Г н {\displaystyle G^{n}} Г {\displaystyle \Гамма} Г {\displaystyle G} Г {\displaystyle \Гамма} ЧАС о м ( Г , Г ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (\Gamma,G)} ϕ , ψ {\displaystyle \фи ,\пси } г ∈ Г {\displaystyle g\in G} ϕ ( γ ) = г ψ ( γ ) г − 1 {\displaystyle \phi (\gamma)=g\psi (\gamma)g^{-1}} γ ∈ Г {\displaystyle \gamma \in \Gamma}

Решетки в простых группах не типа A1 или A1 × A1

Простейшее утверждение имеет место, когда является решеткой в ​​простой группе Ли и последняя локально не изоморфна или и (это означает, что ее алгебра Ли не является алгеброй Ли одной из этих двух групп). Г {\displaystyle \Гамма} Г {\displaystyle G} С Л 2 ( Р ) {\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R})} С Л 2 ( С ) {\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C})} Г {\displaystyle \Гамма}

Существует окрестность включения такая , что любое сопряжено с . У {\displaystyle U} ЧАС о м ( Г , Г ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (\Gamma,G)} я : Г ⊂ Г {\displaystyle i:\Gamma \subset G} ϕ ∈ У {\displaystyle \фи \in U} я {\displaystyle я}

Всякий раз, когда такое утверждение справедливо для пары, мы будем говорить, что имеет место локальная жесткость. Г ⊃ Г {\displaystyle G\supset \Гамма}

Решетки в SL(2,C)

Локальная жесткость сохраняется для кокомпактных решеток в . Решетка в , которая не является кокомпактной, имеет нетривиальные деформации, вытекающие из гиперболической теории хирургии Дена Терстона. Однако, если добавить ограничение, что представление должно отправлять параболические элементы в параболические элементы, то локальная жесткость сохраняется. С Л 2 ( С ) {\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C})} Г {\displaystyle \Гамма} С Л 2 ( С ) {\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C})} Г {\displaystyle \Гамма}

Решетки в SL(2,R)

В этом случае локальная жесткость никогда не выполняется. Для кокомпактных решеток малая деформация остается кокомпактной решеткой, но она может не быть сопряжена с исходной (см. пространство Тейхмюллера для более подробной информации). Некокомпактные решетки фактически свободны и, следовательно, имеют нерешеточные деформации.

Полупростые группы Ли

Локальная жесткость сохраняется для решеток в полупростых группах Ли при условии, что последние не имеют множителей типа A1 (т.е. локально изоморфны или ) или первая неприводима. С Л 2 ( Р ) {\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R})} С Л 2 ( С ) {\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C})}

Другие результаты

Существуют также результаты локальной жесткости, где окружающая группа изменяется, даже в случае, когда супержесткость терпит неудачу. Например, если является решеткой в ​​унитарной группе , и тогда включение локально жесткое. [5] Г {\displaystyle \Гамма} С У ( н , 1 ) {\displaystyle \mathrm {SU} (n,1)} н ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} Г ⊂ С У ( н , 1 ) ⊂ С У ( н + 1 , 1 ) {\displaystyle \Gamma \subset \mathrm {SU} (n,1) \subset \mathrm {SU} (n+1,1)}

Равномерная решетка в любой компактно порождённой топологической группе является топологически локально жёсткой , в том смысле, что любая достаточно малая деформация включения инъективна и является равномерной решеткой в ​​. Неприводимая равномерная решетка в группе изометрий любого собственного геодезически полного -пространства, не изометричного гиперболической плоскости и не содержащего евклидовых факторов, является локально жёсткой. [6] Г {\displaystyle \Гамма} Г {\displaystyle G} φ {\displaystyle \varphi} я : Г ⊂ Г {\displaystyle i:\Gamma \subset G} φ ( Г ) {\displaystyle \varphi (\Gamma)} Г {\displaystyle G} С А Т ( 0 ) {\displaystyle \mathrm {CAT} (0)}

Доказательства теоремы

Первоначальное доказательство Вейля основано на связывании деформаций подгруппы в с первой группой когомологий с коэффициентами в алгебре Ли , а затем на показе того, что эта когомология исчезает для кокомпактных решеток, когда не имеет простого фактора абсолютного типа A1. Более геометрическое доказательство, которое также работает в некомпактных случаях, использует теорию структур Чарльза Эресмана (и Уильяма Терстона ) . [7] Г {\displaystyle \Гамма} Г {\displaystyle G} Г {\displaystyle \Гамма} Г {\displaystyle G} Г {\displaystyle G} ( Г , Х ) {\displaystyle (G,X)}

Ссылки

  1. ^ Сельберг, Атле (1960). «О разрывных группах в многомерных симметричных пространствах». Вклад в функциональную теорию . Tata Institut, Бомбей. С.  100–110 .
  2. ^ Вайль, Андре (1960), «О дискретных подгруппах групп Ли», Annals of Mathematics , вторая серия, 72 (2): 369–384 , doi :10.2307/1970140, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970140, MR  0137792
  3. ^ Вайль, Андре (1962), «О дискретных подгруппах групп Ли. II», Annals of Mathematics , вторая серия, 75 (3): 578– 602, doi :10.2307/1970212, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970212, MR  0137793
  4. ^ Гарланд, Ховард ; Рагхунатхан, М.~С. (1970). "Фундаментальные области для решеток в группах Ли R -ранга 1". Annals of Mathematics . 92 : 279–326 . doi :10.2307/1970838. JSTOR  1970838.
  5. ^ Голдман, Уильям ; Миллсон, Джон (1987), «Локальная жесткость дискретных групп, действующих в комплексном гиперболическом пространстве», Inventiones Mathematicae , 88 (3): 495– 520, Bibcode : 1987InMat..88..495G, doi : 10.1007/bf01391829, S2CID  15347622
  6. ^ Геландер, Цачик ; Левит, Ари (2017), «Локальная жесткость однородных решеток», Commentarii Mathematici Helvetici , arXiv : 1605.01693
  7. ^ Бержерон, Николя ; Геландер, Цачик (2004). «Заметка о местной жесткости». Геометрии Дедиката . 107 . Клювер: 111–131 . arXiv : 1702.00342 . doi :10.1023/b:geom.0000049122.75284.06. S2CID  54064202.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Local_rigidity&oldid=1251268468"