Теорема Торелли

Описывает, когда компактная риманова поверхность определяется своим якобиевым многообразием.

В математике теорема Торелли , названная в честь Руджеро Торелли , является классическим результатом алгебраической геометрии над полем комплексных чисел , утверждающим, что неособая проективная алгебраическая кривая ( компактная риманова поверхность ) C определяется своим якобиевым многообразием J ( C ), когда последнее задано в виде главно поляризованного абелева многообразия . Другими словами, комплексного тора J ( C ), с определенными «отметками», достаточно, чтобы восстановить C . То же самое утверждение справедливо над любым алгебраически замкнутым полем . ^[1] Из более точной информации о построенном изоморфизме кривых следует, что если канонически главно поляризованные якобиевы многообразия кривых рода k -изоморфны для k любого совершенного поля , то таковыми являются и кривые. ^[2] $\geq 2$

Этот результат имел много важных расширений. Его можно переформулировать так, чтобы он читал, что определенный естественный морфизм , отображение периодов , из пространства модулей кривых фиксированного рода в пространство модулей абелевых многообразий , является инъективным (на геометрических точках ). Обобщения идут в двух направлениях. Во-первых, к геометрическим вопросам об этом морфизме, например, локальной теореме Торелли . Во-вторых, к другим отображениям периодов. Случай, который был глубоко исследован, относится к K3-поверхностям (Виктор С. Куликов, Илья Пятецкий-Шапиро , Игорь Шафаревич и Федор Богомолов ) ^[3] и гиперкэлеровы многообразия ( Миша Вербицкий , Эяль Маркман и Даниэль Хейбрехтс ). ^[4]

Примечания

^ Джеймс С. Милн , Якобиановские многообразия , теорема 12.1 в Cornell & Silverman (1986)
^ Джеймс С. Милн, Якобианские многообразия , следствие 12.2 в Cornell & Silverman (1986)
^ Компактные расслоения с гиперкэлеровыми волокнами
^ Автоморфизмы гиперкэлеровых многообразий

Руджеро Торелли (1913). «Сулле разнообразие ди Якоби». Rendiconti della Reale Accademia Nationale dei Lincei . 22 (5): 98–103.
Андре Вейль (1957). «Zum Beweis des Torellischen Satzes». Нахр. Акад. Висс. Геттинген, Матем.-Физ. кл . IIа : 32–53.
Корнелл, Гэри; Сильверман, Джозеф , ред. (1986), Арифметическая геометрия , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-96311-0, МР 0861969

Эта статья, связанная с алгебраической геометрией , является заглушкой . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.